关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨

1、关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨数学学院 数学（师范）专业 2008级 范佳利指导教师 刘学文摘要：矩阵是高等代数中非常重要的内容之一，而在矩阵理论中较为基础的就是求矩阵的逆矩阵。本文在阶方阵求逆的方法基础上，归纳了几类特殊矩阵逆的求法，并从中找出一些初步的、具有应用价值的规律，简化了类似矩阵求逆问题的计算。关键词：阶矩阵；逆矩阵；伴随矩阵；线性变换abstract: matrix in linear algebra is a very important part of content, and the matrix inverse matrix is of more important p

2、iece, in this paper the inverse square n order based on method, the three kinds of special inverse matrix is also given, and find out some preliminary has application value of the law, simplify the inverse problem of similar matrix calculation.key word: order matrix; inverse matrix; adjoint matrix;

3、linear conversion矩阵是高等代数的一个最基本的概念，其内容贯穿于高等代数的始终，而矩阵问题中的求逆是矩阵内容中不可或缺的重要的一部分。本文在矩阵的逆的概念和相关性质、及其求逆矩阵的基本方法的基础上，归纳总结出几类特殊矩阵的逆矩阵的求法。1 逆矩阵的基本概念与判定、性质1.1 逆矩阵的定义定义11 对于级方阵，如果存在n级方阵，使得，则称是可逆矩阵（可逆的），称为的逆矩阵并记为.注1 可逆矩阵必为方阵，其逆必唯一，且与为同阶方阵，即.1.2 可逆矩阵的判定定理11 设矩阵为阶可逆矩阵，矩阵可逆的充要条件是存在阶矩阵使得.定理21 设矩阵为可逆矩阵，则以下几个命题是等价的：(1)

4、矩阵可逆；(2) 矩阵的行列式；(3) 矩阵的伴随矩阵可逆；(4) 矩阵的伴随矩阵的行列式；定理31 矩阵可逆的充要条件是存在阶矩阵使得().定理41 矩阵可逆的充要条件是矩阵为满秩矩阵(即).定理51 矩阵可逆的充要条件是矩阵与单位矩阵等价(对矩阵施行初等变换可以使矩阵转化为单位矩阵)定理61 矩阵可逆的充要条件是以矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组的解唯一.定理71 矩阵可逆的充要条件是矩阵可表示为一些初等矩阵的乘积.定理81 矩阵可逆的充要条件是矩阵的特征值均不为0. 1.3 可逆矩阵的性质(1) 若可逆，则也可逆且；(2) 若可逆，则也可逆且;(3) 若可逆，数，则也可逆且；(4) 若，都

5、可逆，则也可逆且.若； 若；可推广为：若均可逆，则可逆且；若可逆，若，(5) 若可逆，则；(6) 若可逆，则；注2 若为同阶可逆矩阵，则不一定可逆.如不可逆. 注3 (4)的逆命题成立，即若可逆，则也可逆.这是因为：由于可逆，,所以也可逆.2 逆矩阵的求法2.1 定义法利用定义，当条件中有矩阵方程时，通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出的形式，从而可得.这一方法适用于抽象矩阵求逆.2.2 公式法当级方阵可逆时，有.其中是的伴随矩阵.其中：.2.3 初等变换法设阶矩阵，作矩阵 ，然后对此矩阵施以初等行变换,若把子块变为,则子块将变为.即同样也可以作矩阵，然后对此矩阵只施以初等列变换，即2.4 高斯-

6、约当法由定义，设（均为维向量），则，若将改写成，则。具体方法如下：写出的矩阵形式=由矩阵乘法写成方程形式经消元后将上式转化为如下形式即 所以2.5 分块矩阵法 定理13 矩阵是一个满秩矩阵，若中存在阶非零主子式，则一定可以分解成一个下三角分块矩阵与一个上三角分块矩阵的乘积，并且 对于零元素特别多的矩阵，可以考虑用分块矩阵求逆，为可逆矩阵，则 ,， .2.6 解线性方程组法 设是非奇异矩阵，且令.因为，从而由分块矩阵性质可知，计算的问题等价于求解下列个线性方程组. ， 求解上述方程组即可求得的个列向量，也就求得.由于这n个方程组的系数矩阵相同，故可采用三角分解法进行计算以节省工作量. 三角分解法

7、：设有方程组，并设，于是，其中 于是求解的问题等价于求解两方程组和 3 特殊矩阵逆的求法3.1 类型一 观察此题有比较明显的特点，现将矩阵分块，可根据分块矩阵逆矩阵性质求矩阵的逆.分块如下：可利用这个结论，在解决一些类似问题上可更加简便，如：则可直接利用以上结论，可清楚的得知：3.2 类型23.2.1 已知： 观察矩阵可发现此矩阵有一定的规律，如用公式法或者定义法，则计算肯定相对比较复杂。不妨从线性的角度来解答。 先设线性方程组 . 其中，将这个方程相加，可得：由第一个方程减去第二个方程得：由些得出 从而 类似的，从第个方程减去第个方程 ()可求出：.从第n个方程减去第一个方程，可求出： 此线

8、性方程组的解即为矩阵的逆.记 分别令 得由以上的解答，我们可知，这种类型的求矩阵逆利用线性方程组法比利用初等变换法简单得多.3.2.1 已知： 先设线性方程组 则原方程组可写成：由此得出从而记，从上述一次方程解得 于是分别令 得：3.3 类型3 已知矩阵 此矩阵为对角线全为0，上三角和下三角全为1的特殊矩阵.当然此题可用一般的初等变换法来求逆矩阵。但仔细观察，我们可利用此矩阵的特殊特点来解答此题. 可分析如下：令，则易算出：，其中 让 即可求的逆矩阵. 在此令 便可求出矩阵，即为的逆矩阵.而此时矩阵即是矩阵,所以现依照以上的分析开始进行计算：=令可解得：代入可得所求逆矩阵为：本题利用逆矩阵的定

9、义，简便了计算，使题目变得更加容易解答.3.4 类型4 其中：和分别为两组互不相同的个数，且观察此矩阵，可发现，若矩阵去任一行和任一列所得到的阶矩阵都与原矩阵同型，所以此题可以考虑用求伴随矩阵的方法来求它的逆.令用第一行乘以（-1）加到其余的每一行得：将每行及每列的公因子提出来，等于将上述行列式的第1行乘以加到第行，得将此行列式按第1列展开降为阶行列式，再将该阶行列式的所有行和列的公共因子提出即得：所以由数学归纳法得由此可得出行列式中第 其中：“”表示去掉该字母，于是从本题可以看出，此类题型的计算量是比较大的，利用伴随矩阵公式法，找寻规律解答此题.3.5 类型5 观察此矩阵，是一个有一定规律的

10、矩阵，下三角全为0，上三角每一行的数以等比递增. 则现在可设一个矩阵h，由表示可得：又因为矩阵的对角线全为0所以 于是 从而 =利用这个结论，可以比较方便快速的解决填空选择题，如：就可知上述的,所以直接代入可知：4 结语 通过上述归纳总结可以看出，在求逆矩阵的过程中，必须熟练的运用可逆矩阵相关的定理以及结论，利用方法技巧可使得矩阵可逆的计算更加简便，而可逆矩阵的运用远远不止在大学数学中，在其他方面中也有及其广泛的运用，这就需要我们不断的去探索和研究。参考文献:1 田孝贵.高等代数m.首都师范大学出版社，1994.2 苏明珍.陈晓萌.分块矩阵求逆方法的探讨j.滨州教育学院学报，1996,5（2）：49-52.3 沈剑华.数值计算基础（第二版）m.同济大学出版社，2004.4 陈文灯.线性代数解题方法与技巧m.中国