高中函数典型例题

1、 1.2.1 函数的概念知识要点：1. 设a、b是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合a中的任意一个数，在集合b中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：ab为从集合a到集合b的一个函数，记作=，其中，x叫自变量，x的取值范围a叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域.2. 设a、b是两个实数，且ab，则：x|axba,b 叫闭区间； x|axb(a,b) 叫开区间；x|axb， x|a1， f()=()3+()-3=2+=，即ff(0)=.【例3】画出下列函数的图象：（1）； （教材p26 练习题3）（2）. 解：（1）由绝对值的概念，有.所以，函数的图象如右图所示

2、.（2），所以，函数的图象如右图所示. 点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，当时，写出的解析式，并作出函数的图象. 解：. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号的概念，抓住分段函数的对应函数式.1.3.1 函数的单调性知识要点：1. 增函数：设函数y=f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间d上是增函数（increasing functio

3、n）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f(x)在某个区间d上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间d叫f(x)的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x、x给定区间，且xx；计算f(x)f(x) 判断符号下结论.例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数在区间（0，1）上的单调性.解：任取(0,1)，且. 则. 由于，故，即. 所以，函数在（0，1）上是减函数. 【例2】

4、求下列函数的单调区间：（1）；（2）.解：（1），其图象如右. 由图可知，函数在上是增函数，在上是减函数.（2），其图象如右.由图可知，函数在、上是增函数，在、上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例3】已知，指出的单调区间.解： ， 把的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象，如图所示.由图象得在单调递增，在上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分

5、式函数的图象. 需知平移变换规律. 1.3.1 函数最大（小）值知识要点：1. 定义最大值：设函数的定义域为i，如果存在实数m满足：对于任意的xi，都有m；存在x0i，使得 = m. 那么，称m是函数的最大值（maximum value）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（minimum value）的定义.2. 配方法：研究二次函数的最大（小）值，先配方成后，当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.例题精讲：【例1】求函数的最大值.解：配方为，由，得.所以函数的最大值为8.【例3】求函数的最小值. 解：此函数的定义域为，且函数在定义域上是增函数， 所以当时，函数的最小值为2.点评：形如的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令，则，所以，在时是增函数，当时，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）； （2）.解：（1）二次函数的对称轴为，即.画出函数的图象，由图可知，当时，； 当时，. 所以函数的最大值为4,最小值为.（2）.作出函数的图象，由图可知，. 所以函数的最大值为3, 最小值为-