第四章(2)NFE.ppt

1、第四章 (II) 能带计算,在单电子近似和晶格周期场假定下，把多电子体系问题简化为在晶格周期势场V(r)的单电子定态问题，即,尽管作了上述近似和假定，但由于晶格周期势场V(r)的形式一般都比较复杂，严格求解单电子薛定谔方程仍是不可能的。因此在处理实际问题时需要根据具体情况采取不同的近似方法。,为了计算晶体的能带，曾发展了许多近似方法，如近自由电子近似法、紧束缚近似法、原胞法、赝势法等。这是本部分重点讲解的内容。,相对论,非相对论,全电子势（Muffin-tin）,赝势,凝胶模型（自由电子气的背景）,局域密度泛函近似,非局域修正,非周期性,周期性,对称性,非自旋极化,自旋极化,平面波,缀加平面波

2、,线性组合缀加平面波,散射函数,原子轨道线性组合,数值,能带计算方法的物理思想,能带计算方法分类,各种能带计算方法基本上可分为,对晶体势场U(r)的不同近似 对组成晶体电子波函数的基函数的不同选取,根据不同的研究对象，根据计算条件对势场和基函数作不同的近似处理，发展了不同的物理思想,Muffin-tin势 赝势,能带计算方法从构成晶体波函数的基函数上可分为两大类：,紧束缚近似 近自由电子近似,能带计算的两种途径,用自由原子的轨道波函数作为传导电子波函数基础的方法有：,用自由电子平面波波函数作为传导电子波函数基础的方法有：,紧束缚法,原胞法,APW法,赝势法,OPW法,近自由电子,能带如何形成近

3、自由电子观点,近自由电子近似认为晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(k)是连续的能级,由于受周期性势场的微扰，E(k)在Brillouin边界产生分裂、突变，进而形成禁带，连续的能级形成能带,这时晶体电子行为与自由电子相差不大,可以用自由电子波函数（平面波）的线性组合来构成晶体电子波函数，描写晶体电子行为。,能带如何形成紧束缚观点,紧束缚近似认为晶体电子好像孤立原子的电子一样紧紧束缚在该原子周围,孤立原子的分裂能级由于孤立原子互相靠拢，有相互作用，孤立原子能级从而扩展成能带。,由于与周围的束缚在其它原子上的电子仅有很小的相互作用,可以用孤立原子的电子波函数构成晶体波函数，并且只考虑与紧邻原子的

4、相互作用。,晶体电子共有化与紧束缚思想矛盾吗？,晶体电子共有化在紧束缚方法中如何体现？,紧束缚方法用局域波函数和周期性的相因子来构成满足Bloch函数的基函数,近自由电子用平面波基函数是自然的,平面波本身就是非局域的！ 平面波本身就是调幅为常数的Bloch函数！,第四章(II-1) 近自由电子近似 平面波方法,4.5 理论基础：微扰理论,4.6 自由电子模型,4.7 近自由电子模型,4.8 近自由电子模型的主要成果,5.7.1 近自由电子模型,5.7.2 微扰计算,5.7.3 能隙,5.7.4 三维情形,研究原子通常要加一外场，观察它对原子性能的影响。磁场和电场都会改变原子光谱，从而得到有关原

5、子结构的信息。有外场存在时，势能变为：,式中，V0(r)是原子的势能，v(r)为外场引起的势能。,微扰理论：如果外场很弱，附加势很小，可以把波函数用泰勒级数展开为外场的幂，只要展开式中包括足够高的幂就能使能量和波函数达到所希望的精度。,微扰理论分为两类，不含时微扰理论和含时微扰理论。不含时微扰理论的微扰哈密顿量不相依于时间。我们只考虑不含时微扰理论。,4.5 理论基础：微扰理论,原则上，必须用新的、包括外场作用的势能去求解薛定谔方程。可惜，只有极个别的特殊情况才可以这样做。,(1),假定体系的哈密顿量H不显含时间，能量的本征值方程 ，满足,H(0)的本征方程 中能级 及波函数 都是已知的，且满

6、足,H(0)的能级无简并。严格说来，是要求通过微扰理论计算它的修正的那个能级无简并。例如，要通过微扰论计算H对H(0)的第n个能级 的修正，就要求 不简并，它相应的波函数 只有一个。其它能级既可以是简并的，也可以是不简并的。,H(0)的能级组成分立谱。严格说来，至少必须要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级 处于分立谱内， 是束缚态。,1、一般方法（适用于非简并及简并的情况）,H可分解为H(0)和H两部分，且H远小于H(0)，H可视为H(0)上的微扰,(2),在满足上述条件下，定态非简并微扰论的目的是从已知的H(0)必须的本征值和本征函数近似求出H的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常

7、可引入一个小参数，将H写成H，将H的微小程度通过的微小程度反映出来。体系经微扰后的薛定谔方程是,将能级En和波函数 按展开,分别表示能级En和波函数 的一级、二级，n级修正,(3),(4),(5),将（4）、（5）式代入（3）式,比较（6）式两端的同次幂，可得出各级近似下的方程式，,零级近似是无微扰时的定态薛定谔方程。 同样，还可以列出准确到3、4，等各级的近似方程式。,(6),(7),(8),(9),由于 应是归一化的，,（11）式两边同幂次项的系数应相等，,(10),(11),(12),(13),(14),H(0)的本征函数系 具有完全性（正交、归一、完备、封闭系），可将 展开：,将（15

8、）式代入（13）式中，得到,其中,若 为实数，则有,（取 为虚数，最后也得到 ）,(15),(16),(17),(18),(19),表示除 项,(20),同理，由（14）式可得，,引进的目的是为了更清楚方便地从方程,按的幂次得到逐级近似方程，达到目的后，将省去，即取=1。,(21),(6),2、非简并情况下的微扰理论,一级修正项,以 左乘（8）式两边，且对整个空间积分,左边=,右边=,能量的一级修正 等于微扰哈密顿 在 态中的平均值,(8),(22),(23),以 左乘（8）式两边，且对整个空间积分,把（20）式代入（25）式,(24),(25),(26),(27),(28),当 即 时，,(

9、29),(30),(31),能量和波函数的一级近似值为：,(23),(31),二级修正项,与上述方法类似，推导过程省略。,由于更高级修正对体系影响很小，一般来说，对能量只考虑到二级修正，对波函数只考虑到一级修正，,(32),(33),(32),讨论,微扰的适用条件：要保证级数收敛的很快，,即要求 ，也就是H很小的明确表达式。,a、一方面，H要足够小（即 ），可把它看成扰动项；,b、另一方面，能级间距要足够大，即 不要太小，所有 要足够远离被修正的能级,例如：在库仑场中， ，当n很大时，能级间的距离 很小，故微扰理论只适用于计算较低能级（n较小）的修正，而不能用来计算高能级（n大）的修正。,H在

10、H(0)表象中的矩阵形式,在H(0)表象中，H的对角线就是各能级的一级修正，H矩阵的对角元素为一级近似值，二级修正与非对角元素有关。,例题1、如果假设氢原子核是一个半径为10-15m的均匀带电球壳而不是点电荷，用微扰法计算氢原子1s态的能量的一级修正。,若核为点电荷：,若核为球壳（半径为a）：,H(0)的本征函数 ，1s态n=1，l=0，m=0，基态,由于n=1，所以1s态的能级是非简并的；a0为玻尔半径,r a = 10-15m，玻尔半径为a0=0.510-10m，所以,微扰使 有微小的提高。,例题2、粒子在势阱 中运动。 把此势阱中的粒子看成是受到微扰的无限深势阱中的粒子，求一级近似能量。

11、,0 a/2 a,U0,H,0 a/2 a,H(0),+,0 a/2 a,U0,H,=,1、求 和,薛定谔方程为,这是二阶常系数线性微分方程，其通解为：,波函数 在势阱内外相等，即x=0和x=a时， ，则,得到c1=0，再由,，得,（n=整数，称为量子数）,把零级近似的能量本征值代入通解中，得波函数：,综上所述，得到一维势阱中粒子的波函数和能量公式如下：,（n=1, 2, 正整数）,由这个波函数看来，n为负整数和正整数时是一样的，只相当于c2换个负号，因此可以只取正整数。但n不能为零，因为若n=0，则在全空间波函数恒等于0，这显然是不合理的。波函数的系数c2可由归一化条件求出：,(0xa),(

12、xa, x0),2、求,一级近似：,3、求,求基态的二级修正，n=1基态。,0 （m=2l+1奇数）,（m=2l 偶数）,3、简并情况下的微扰理论,如果 简并，上节的微扰理论就不再适用。非简并的例子很少，多数问题为能级简并的情形。如氢原子，只有基态（n=1）时，可应用上节公式计算修正项。假设有两个态 ，它们所属能级为 且 ，即这两态属于同一能级，由于第 态应包含在公式的求和式中，因而出现分母为零的情况，造成困难，必须另外探讨一种方法。,假设 是k度简并，即属于H(0)的本征值 有k个本征函数 本征方程表示为,在简并情况下，我们只讨论波函数的零级近似和能量的一级修正。,(34),尽管不知道零级近

13、似波函数究竟是k个简并本征函数中的哪一个，但总可以将零级近似波函数 写成带有待定系数的k个 的线性组合的形式：,其中假设 是正交归一化的，否则可通过Schmit方法化为正交归一的。,从k个i中选取零级近似波函数,(35),将 代入（8）式，,以 左乘（36）式两边且对整个空间积分有：,确定系数 和能量的一级修正,而 ，则上式左边为零，即：,其中,(36),(37),(38),这实际上是以系数 为未知量的一次线性齐次方程组，它有不全为零的解得充要条件是应满足久期方程：,写成矩阵的形式为（第一行是l=1，第二行是l=2，等等）,由此可解得能量的一级修正 的k个根 。,(39),(40),4.6 自

14、由电子模型：Sommerfeld模型,既然Drude模型在定性方面是正确的，那么问题的来源就是不能把电子气看作是经典粒子，不应服从Maxwell-Boltzman经典统计分布，而应该服从量子统计规律。 1927年，Sommerfeld应用量子力学重新建立了自由电子论，正确地解释了金属的大多数性质，使自由电子论成为解释金属物理性质的一个方便而直观的模型。虽然以后能带论以更严格的数学处理得到了更加完美的理论结果，但在很多情形下，我们仍乐于方便地使用自由电子论来讨论金属问题。,自由电子近似：忽略电子和离子实之间的相互作用，相对于离子实而言，电子是自由的，其运动范围仅因存在表面势垒而限制在样品内部。这

15、相当于将离子实系统看成是保持体系电中性的均匀电荷背景，类似于凝胶，也称为凝胶模型（Jellium model）。由于正电荷均匀分布，施加在电子上的电场为零，对电子并无作用。,1、Sommerfeld模型的基本假设,独立电子近似：忽略电子和电子之间的相互作用。,能量量子化：Sommerfeld认为，电子气应该服从量子力学规律，在上述近似的基础上，通过求解薛定谔方程给出电子的本征态和本征能量。,在自由电子近似和独立电子近似下，可以将多电子问题化为单电子问题。单电子近似是固体物理学电子学部分的基础。,单电子的运动方程：,2、能量和波函数,采用Sommerfeld模型，忽略电子-离子实的相互作用，V(

16、r)=0,和电子在自由空间的情形一样，其解为平面波：,其中用以标记波函数的k是波矢，它的方向为平面波的传播方向。将上式代入方程后，得到电子的相应能量为：,(41),(42),(43),由于 同时也是动量算符 的本征态：,3、动量和速度,因而处于 态的电子具有确定的动量：,相应的速度：,本征能量也可以写成熟悉的经典形式：,(44),(45),(46),(47),4、周期性边界条件,应用Born-Karman周期性边界条件,L1、L2、L3为三个方向晶体尺度，如果认为晶体各向同性，L1=L2=L3,取值量子化：,单电子本征态能量量子化,(48),(49),(50),以势场严格为零的薛定谔方程的解（

17、即电子完全是自由的）为出发点，但必须同时满足晶体平移对称性，这种模型称之为空格子模型（Empty Lattice Approximation）。,5、空格子模型,在一维情况下，空格子模型中的态密度和能量表达式为：,（上标“0”表示未受微扰的解）,(51),(52),空格子模型的色散关系,自由电子的能量和波矢关系是抛物线。,考虑到平移对称性的要求，Ek曲线被布里渊区边界分成多段。可以平移倒易基矢 的整数倍，以便任意两个等效点的能量相同。,第一区,第二区,第二区,第一带,第二带,第三带,2,2,2,2,3,3,3,3,空格子模型中，同一粒子的色散关系，示出了平移对称性和各个能带,晶体中的波矢k只在

18、第一布里渊区内取值，能量可以通过一个k值对应多个能量来包容。,A,A,C,C,B,3,2,1,K,E,4.7 近自由电子近似,近自由电子（Nearly Free ElectronNFE）模型是指在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的，从而使电子的行为很接近自由电子时采用的处理方法。 作为零级近似，可用势场的平均值U0代替晶格势U(r)，若要进一步讨论可把周期势的起伏U(r)-U0作为微扰处理。这样就可用微扰论来求解薛定谔方程。 金属晶体中，离子实对价电子的束缚较弱，价电子的行为与自由电子相近，NFE模型可作为一些

19、简单金属（如Na、K、Al等）价电子的粗略近似。,在一维晶格的离子实场内传导电子的势能变化,离子实,Omar,Kittel,离子实,a,设由N个原子组成的一维晶格，基矢为ai，则倒格子基矢为b=(2/a)i，晶格周期性势场为,展开系数表示为,由于电子势能为实数， ，因而展开系数满足,4.7.1 近自由电子模型,周期势U(x)可展开为,U0是展开系数中n=0项的系数，它等于势场的平均值 ，可视为常数,(L=Na是1D晶体的线度),(53),(54),(55),(56),(57),单电子哈密顿算符为,零级近似,代表周期势场的起伏，作为微扰项处理,其中,(58),(59),(60),适当选择势能零点

20、，使U0=0，可得到零级近似，由5.6节得,零级近似的本征能量和波函数表示为,式中，k在周期性边界条件下只能取,即零级近似是自由电子，故称为自由电子近似。对于更高级次的解，可用微扰理论求得。,(61),(62),(63),(51),(52),由于在零级近似解中，能量E是k的二次函数，即+k与-k所标志的电子状态有相同的能量，因此是二重简并的，必须采用简并态微扰理论来讨论哈密顿算符H对波函数和能量的影响。,4.7.2 微扰计算,按照简并态微扰理论，零级近似的波函数是相互简并的零级波函数的线性组合，在此可选用能量几乎相等的一对波矢为k和k（k=-k）的波函数 的线性组合作为零级近似波函数,有,(6

21、5),(64),把（61）式代入（65）式，得到,（66）式先后左乘 ，并对x积分，由于,(67),(66),(68),=,Un,0,式中， 为1D晶格的倒格矢，（68）式运算中用到了,于是由（66）式得到两个线性代数方程式,(69),此方程组有非零解的条件是,(70),由（70）式解得能量本征值为,(71),把（71）式所示的能量本征值E+、E-分别代入（69）式，可求得两组系数A和B，即可对应E+、E-分别所对应的本征函数。分两种情况讨论。,当 ，且 时，即 。由（71）、（68）得，,按照微扰理论的一般方法，能量的二次修正,(32),(72),1、远离布里渊区界面情况,表明此时晶格微扰势

22、H对电子能量的一次修正项 为零。要使得简并解除必须考虑能量的二次修正。,只有 时，,因此，二级近似能量,相应的一级近似波函数为,(74),(73),由于 ，式（73）第二项的分母远大于分子，满足微扰理论的基本条件。这里用非简并微扰理论来处理是合理的。,容易证明 是以a为周期的周期函数。可见，将势能随位置变化的部分当作微扰而求出的近似波函数的确满足Bloch定理。这种波由两部分组成：,第一部分是波数为k的行进平面波,第二部分是该平面波受周期场的影响而产生的散射波。 因子 是波数为 的散射波的振幅。,一般情况下，各原子所产生的散射波的相位之间无固定的关系，彼此相互抵消，因而对前进的平面波影响不大，

23、即波矢k远离布里渊区界面时电子仍以近自由电子的状态存在。,(75),2、布里渊区界面附近的情况,当k和k都非常靠近布里渊区界面时，考虑到式（68），k和k分别表示为,(76),分如下三种情况讨论： = 0 1 1,（1） = 0,当=0，即k = -k = -Gh = -n/a，在布里渊区界面上，由（71）和（68）式得，,该式表明，k=n/a时，简并的状态受到周期场的微扰作用后，能级发生劈裂，产生能隙,(77),其中，,为动能项,(78),把E+、E-分别代入（70）式，可求得系数A、B，即可得到两个能量所对应的波函数。,当E = E+时，有,(79),若 ，则 ，因此,(80),当E =

24、E-时，有,(81),同理有,(82),（2） 1,当 1时，即k极接近布里渊区界面，由（71）式得，,(83),由于0，使 ，利用二项式定理，上式化简为,当0时，k态的能量比k态低，微扰的结果使k态的能量升高，而k态的能量降低。,两个相互影响的状态 与 微扰后能量为E+和E- 。 当0时， 态原来能量 较高，微扰使它升高； 态原来能量 较低，微扰使它下降。当0时， 分别以抛物线方式趋于,(84),(85),0的情形,（3） 1,当 1，但并非无穷小，即当k离布里渊区界面较远时，由于 较大，因而有 ，此时式（71）在一级近似下可写成,(86),表明微扰的结果使能量高的 更高，使能量低的 更低，

25、能量差进一步加大，并随 的增加，（86）式右边的第二项愈来愈小，与自由电子逐渐相当。,4.7.3 能隙,1、能隙表达式,当电子的波矢k从零逐渐靠近n/a时，起初电子的能量与k的关系可近似用自由电子的能谱,表示,随着k逼近n/a，电子能谱E(k)与 的差别增大。由于微扰的结果使能量高的（k较大） 变得更高，使能量低的 （k较小）变得更低，所以当k逐渐增大逼近n/a时，能量为,当k逐渐减小逼近n/a时，能量为,当k=n/a时，出现了大小为,的能隙。原来自由电子的连续能谱在弱周期场作用下劈裂成为被能隙分开的许多能带，能隙的大小等于周期势场傅里叶分量 的2倍。,(84),(85),由于是小量的限制，（

26、84）式只适用于禁带之上的能带底部（导带底），（85）式只适用于禁带之下的能带顶部（价带顶）。在导带底，能量随波矢k的关系是向上弯的抛物线，在价带顶是向下弯曲的抛物线。,定性说明：把电子看成是近自由的，它的零级近似波函数是平面波，它在晶体中的传播就像X射线通过晶体一样。当波矢k不满足Bragg条件时，晶格的影响很弱，电子几乎不受阻碍地通过晶体。但当k = n/a，波长 = 2/k = 2a/n，正好满足Bragg反射条件，受到晶格的全反射。反射波与入射波的干涉形成驻波。,2、能隙产生的原因,1D晶格的Bragg反射,向右的箭头代表前进波，向左的箭头代表格点引起的散射波。格点2的散射波与格点1的

27、散射波的波程差为2a，格点3的散射波与格点1的散射波的波程差为4a，。这说明，当k=n/a时，各格点产生的散射波的波程差都是波长的整数倍，即位相差为2的整数倍，各格点的散射波相互加强，形成一个强烈的散射波。 需要指出的是，k=n/a = -k，2a=n的条件是一维情况下的Bragg反射条件，此时对应sin=1,半定量说明：若选某原子为坐标系原点，并使其满足U(x)=U(-x)，由（54）式可知U(x)的展开系数Un为实数，即 ，又因为U(x)0，由（55）式可知Un0，此时（79）式化为,即（80）、（82）式中的=/2。这两种状态所对应的电子分布密度分别为：,(87),(88),(89),当

28、电子处于 态时，电子的电子云主要分布在离子之间的区域；而处于 态的电子主要分布在离子周围。因离子实周围的电子电荷受到较强的吸引力，势能是较大的负值；而离子间的电荷受到离子的吸引较弱，势能较高，故与电子的平面波状态比较，状态 的能量升高，状态 的能量降低，因而出现能隙。,在一般情况下，由各原子产生的散射波的位相各不相同，因而彼此相互抵消，周期场对行进平面波的影响不大，散射波中各成分的振幅均较小，可用微扰法处理。,但是，如果由相邻原子所产生的散射波（即反射波）成分有相同的位相，如行进平面波的波长 正好满足条件 时，相邻两原子的反射波就会有相同的位相，它们将相互加强，从而使行进的平面波受到很大干涉。

29、这时，周期场的影响就不能当作微扰了。,从能量角度看：,当 时，,散射波中，这种成分的振幅变得无限大，一级修正项太大，微扰不适用了，此时：,或,这实际上是Bragg反射条件 在正入射情况 的结果。,当 时，,这正是布里渊区边界方程。也就是说，在布里渊区边界上，,4.7.4 三维情形,采用和前面类似的方法来讨论3D情况。设a1、a2、a3为原胞基矢，b1、b2、b3为相应的倒格基矢，倒格点的位置矢量为,则周期势场可展开为,(90),(91),(92),此式和（54）式对应，接下去按类似的步骤，可得出波矢k满足,或,出现能级劈裂。,(93),(94),即在倒格矢Gh相应的布里渊区界面上，能隙为,其中

30、U(Gh)为U(r)的傅里叶展开系数,如果把电子波矢k看成倒格空间的矢量，当k的端点落在布里渊区的界面上时，或者说波矢k的Bloch波满足Laue方程（Bragg条件）时，与1D情况完全类似的原因，能级将发生劈裂，EE时,这些能隙把能谱分成一个个能带。,1、布里渊区与能带,引入周期性边界条件后，在k空间中，波矢k的取值不连续，k的取值密度为,V为晶体体积,而简约区的体积 = 倒格子原胞体积 = b,简约区中k的取值总数= 晶体原胞数,每一个k确定一个电子能级，根据Pauli原理，每一个能级可以填充自旋相反的两个电子，因此，简约区中可填充2N个电子。,由于每一个布里渊区的体积都等于倒格子原胞体积

31、，所以，每一个布里渊区都可以填充2N个电子。,2、能带重叠的条件,在布里渊区内部，电子能量是连续的（严格应为准连续），而在布里渊区边界上，电子能量不连续，会发生能量的突变。在一维情况下，布里渊区边界上能量的突变为 这就是禁带宽度（能隙）。,但在三维情况下，在布里渊区边界上电子能量的突变并不意味着能带间一定有禁带的存在，而且还可能发生能带与能带的交叠。这是由于在三维情况下，在布里渊区边界上沿不同的k方向上，电子能量的不连续可能出现的不同的能量范围。因此，在某些k方向上不允许有某些能量值，而在其它k方向上仍有可能允许有这种能量，所以，在布里渊区边界面上能量的不连续并不一定意味着有禁带。这是3D和1

32、D的一个重要区别。,能量交叠示意图,由于属于同一布里渊区的k所对应的能级构成一个能带，不同布里渊区k构成不同的能带。 B点表示第二布里渊区能量的最低点，即第二能带的带底。A是与B相邻而在第一布里渊区的点，A点的能量与B点的能量是不连续的，即A、B间的能量是断开的。 C点是布里渊区能量的最高点，即第一能带的带顶。若C点的能量高于B点的能量，两个能带将发生交叠。也就是说，沿各个方向（如OA、OC），在布里渊区界面上E(k)函数是间断的，但在不同方向上断开时的能量取值不同，断开的能量宽度也不同，因而能带可能发生交叠。,除上述原因外，在布里渊区是否出现能隙还与以下因素有关：,与周期势场的具体形式有关。

33、若在某布里渊区界面上，U(r)的展开系数U(G)=0时，则在此布里渊区界面上将不出现能隙，两个能带连成一体。,由于能隙的出现是入射的Block波和反射的Block波干涉的结果，对多原子原胞（复式格子）晶体，类似于电子衍射，其结构因子（与几何结构因子仅差原子散射因子）为,时，在相应布里渊区界面上的Bragg全反射将不出现，因而在此界面上的能隙为零。,1、存在能带和禁带,在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 作为k的函数具有抛物线形式。由于周期势场的微扰，E(k)函数将在k=2n/a处断开，本征能量发生突变，出现能量间隔 ，间隔内不存在允许的电子能级，称禁带；其余区域仍基本保持自由电子时的

34、数值。周期势场的变化愈激烈，各傅里叶系数也愈大，能量间隔也将更宽，周期势场中电子的能级形成能带是能带论最基本和最重要的结果。,4.8 近自由电子模型的主要成果,（a）自由电子的能量对波矢的关系曲线； （b）晶格常数为a的单原子线型晶格中电子的能量对波矢的关系曲线。所示能隙Eg 与k=/a的第一级布拉格反射相联系，其它能隙出现在n/a处，这里n取整数,在k=n/a处（布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为,在k=n/a附近，能带底的电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶是向下弯曲的抛物线。,在k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。,空格子模型的能量波矢关系,“在晶格常

35、数为a的一维晶格中，当周期势振幅为零时，能量是波矢的连续函数。在第一布里渊区（简约区）图像中，能量是波矢的多值函数。,NFE模型的能量波矢关系,“在晶格常数为a的一维晶格中，当周期势振幅有限时，仅可以在阴影区建立性质良好的非定域波函数，这些阴影区为导带，分割导带的是能量禁带。,弱周期势场对能带的影响,当考虑微弱的周期势场影响时，空格子能谱的明显变化只发生在布里渊区区心和边界处，原先相互连接的，现在分开了，出现了一个能隙，也就是说，在这些点上，能谱的形状受到弱晶体势场的修正。实际上，晶体势的作用是使空格子模型中能带结构中的尖角变得平滑了。,在区域的其它部分，能谱的形状受到的影响很小，基本上保持了

36、空格子模型的抛物线形式。,所以说，近自由电子近似下晶体电子的能级区分成为电子可以占据的能带以及禁带。,2、第一（简约）布里渊区,自由电子波矢k的取值范围没有限制。 在周期势场中，则被严格限制在第一布里渊区内。但从能量角度看，可以将标志电子状态的波矢k分割为许多区域，在每个区域内电子能级E(k)随波矢k准连续变化形成一个能带，波矢k的这样一些区域就被称为布里渊区，当波矢k被限制在第一布里渊区时，E(k)就成为k的多值函数，为了区别，按其能量由低到高，分别标注为E1(k)、E2(k)、E3(k)、，有时也可以用周期布里渊区图式或扩展布里渊区图式绘出晶体中的能带。,能隙,能隙,A1,A2,B3,B2,1,2,3,NFE模型中色散关系的简约区型式,1,2,3,同一色散关系的