高考绿色通道 正余弦定理

1、1正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即,3余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的二倍，即,4正弦定理、余弦定理是解决有关斜三角形问题的两个重要定理，它们可以解决以下一些三角形问题： (1)利用正弦定理可以解决： 已知两角和，求其他和一角； 已知 和其中一边的对角，求另一边的，从而进一步求出其他的边和角,任一边,两边,两边,对角,(2)利用余弦定理可以解决： 已知三边，求； 已知，求第三边和其他两个角 同时，在利用正弦定理解决 “ ”的问题时，要结合图象并根据“三角形大边对大角”来判断解的情况，做到正确取舍,三个角,两边和它

2、们的夹角,已知两边和其中一边的对角，求其他两角和一边,答案：c,答案：d,4已知abc的三个内角a、b、c成等差数列，且ab1，bc4，则边bc上的中线ad的长为_ 解析：如右图所示，b60，ab1，bd2. 由余弦定理知 ad,5根据下列条件，解abc： (1)已知b4，c8，b30，求c、a、a； (2)已知b30，b ，c2，求a、c、a； (3)已知b6，c9，b45，求c、a、a.,【例1】在abc中， (1)若b ，c1，b45，求a及c的值； (2)若a60，a7，b5，求边c.,思路分析：(1)可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解 (2)题目条件是已

3、知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理解，但本题不求b，并且求出sinb后发现b非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解,变式迁移 1在abc中，已知a7，b3，c5，求最大角和sinc.,【例2】在abc中，若b4，c3，bc边上的中线ad，求a，a，sabc.,变式迁移 2如右图所示，在梯形abcd中，adbc，ab5，ac9，bca30，adb45，求bd的长,【例3】在abc中，a、b、c分别表示三个内角a、b、c的对边，如果(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，判断三角形abc的形状,解法一：由已知得a2sin(ab)sin(ab

4、) b2sin(ab)sin(ab)， 2a2cosasinb2b2cosbsina. 由正弦定理，得 sin2acosasinbsin2bcosbsina， sinasinb(sinacosasinbcosb)0， sin2asin2b，由0ab， 得2a2b或2a2b， 即abc是等腰三角形或直角三角形,答案：b,(2)由(1)知，bc5.又bc6， 所以b5，c1或b1，c5. 由余弦定理，得a2b2c22bccosa20， 所以a2 .,1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍 2.在abc中，c有解的充要条件是cosacosb0，利用该结论解选择题或填空题，十分方便,3.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能 4.在解三角形中的三角变换问题