概率论与数理统计(浙大版)第三章课件

1、第三章 多维随机变量及其分布,二维随机变量 分布函数 分布律 概率密度 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度 条件分布函数 条件分布律 条件概率密度 随机变量的独立性 z=x+y的概率密度 m=max(x,y)的概率密度 n=min(x,y)的概率密度,1 二维随机变量,问题的提出 例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高h的分布或仅研究体重w的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。 例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机

2、变量。,定义：设e是一个随机试验，样本空间s=e； 设x=x(e)和y=y(e)是定义 在s上的随机变量，由它们构成的 向量(x,y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。,定义：设(x,y)是二维随机变量对于任意实数x,y， 二元函数 称为二维随机变量(x,y)的分布函数。,几何意义,(x,y)平面上随机点的 坐标,即为随机点(x,y)落在以点(x,y)为顶点,位于该点左下方的无穷矩形区域g内的概率值。,分布函数 的性质,2. 二维离散型随机变量的联合分布,中心问题：(x,y)取这些可能值的概率分别为多少？,定义 若二维 r.v.（x，y）所有可能的取值是有限对或无限可列对，则称（x，y）是二维

3、离散型随机变量。,则,(1)公式法,二维（x，y）的联合分布律:,(2)表格法,(x,y)的概率分布表：描述(x,y)的取值规律,例1： 将一枚硬币连掷三次，令x=“正面出现的次数”，y=“正反面次数之差的绝对值”，试求(x,y)的联合分布律。,（0,3）（1,1）（2,1）（3,3）,p(x=0,y=3)=p(反反反)=1/8,解: (x,y)所有可能的取值为：,例2: 设随机变量x在1,2,3,4中随机地取一个数,另一随机变量y在1到x中随机地取一整数.求(x,y)的分布律。,分析 (x,y)所有可能的取值为： (1,1); (2,1)、(2,2); (3,1)、(3,2)、 (3,3);

4、 (4,1)、(4,2)、 (4,3)、(4,4).,解：设x可能的取值为,y可能的取值为,则：,(x,y)的联合分布律为:,x,y,二维连续型随机变量,说明,(2) 的性质,分布函数 是连续函数. (因为 是积分上限函数),反映(x,y)落在 处附近的概率大小,概率微分,描述(x,y)的取值规律,例3：设二维随机变量(x,y)具有概率密度：,例4：设二维随机变量(x,y)具有概率密度 (1) 求常数k；(2) 求概率 解：,2 边缘分布,二维随机变量(x,y)作为整体，有分布函数 其中x和y都是随机变量，它们的分布函数 记为： 称为边缘分布函数。,事实上，,对于离散型随机变量(x,y)，分布

5、律为,x,y的边缘分布律为：,注意：,我们常在表格上直接求边缘分布律,1,例: 求例1中二维随机变量(x,y)关于x与y的边缘分布律.,1,x与y的边缘分布律如下:,实际应用例子,x,y,对于连续型随机变量(x,y)，概率密度为,事实上，,同理：,x,y的边缘概率密度为：,例2：(x,y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值； (2)x,y的边缘分布律； (3),(2),解： (1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4,例3：设g是平面上的有界区域，其面积为a，若二维随机变量(x,y)具有概率密度 则称(x,y)在g上服从均匀分布。 现设(x,y)在有界区域上均匀分布，其概率

6、密度为 求边缘概率密度 解：,二维正态分布的图形,作业题（同济大学）,p64：3 题、5题、6题和 7题,1. 当（x，y）为离散型,三. 二维随机变量的条件分布,定义 在(x,y)中，当一个随机变量取固定值的条件下，另一个随机变量的分布，此分布为条件分布,在 条件下，x的条件分布,固定值,自变量,同理,总和,分量,例8 在例2中，求：(1) 在x=3的条件下y的条件分布律； (2) 求在y=1的条件下x的条件分布律。,因为：,所以，,类似可求：,2.当（x，y）为连续型,总和,分量,例:设二维随机变量(x,y)的 概率密度为：,解,独立性,独立性,复习: 两个事件a与b独立性的定义,p(ab

7、)=p(a)p(b),四、随机变量的独立性,1、定义：设x与y是两个随机变量,若对任意的,(1)由定义可知：若x与y独立,则,(2)离散型随机变量，x与y相互独立的充要条件为:,(3)连续型随机变量，x与y相互独立的充要条件为:,2、随机变量独立性的重要结论,(4) 联合分布和边缘分布的关系,联合分布,边缘分布,条件：独立性,例: 设二维随机变量(x,y)的概率密度为:,一般n维随机变量的一些概念和结果,边缘分布 如：,相互独立,作业题（同济大学）,p65：12题、14题,1. (x,y)离散,使 对应的(x,y)的那些可能值, 其概率之和,5 两个随机变量的函数的分布,例1:设二维随机变量(

8、x,y)的分布律为:,求z=x+y的分布律.,解:z的所有取值为:,1, 2, 3, 4, 5, 6.,2. (x,y)连续型,方法: 分布函数法,解：由 x, y, 的取值及z与x、y的函数关系可知，z的取值范围（z的密度函数不为0的范围）是 0 z 1, 首先求z的分布函数 ；,当 0z1时，如图：,则z的密度函数为：,0z1,下面我们就几个具体的函数来讨论,z=x+y的分布,由概率密度的定义可得z的概率密度为：,固定,特别地，当x和y相互独立时，上述两式变为（称为卷积公式）：,例1:设x和y是两个相互独立的随机变量,它们都服从n(0,1),即有,求z=x+y的概率密度。,解：由卷积公式,

9、结论:,分布的可加性,例2:设随机变量x与y独立同分布，x的概率密度为：,求z=x+y的概率密度。,解：由卷积公式,特别地,当x和y相互独立时,有,2. z=x-y,类似与z=x+y的情形,可知,例3:设随机变量x与y独立同分布,x的概率密度为：,求z=x-y的概率密度。,解：由卷积公式,3. m=max(x,y)及n=min(x,y)的分布,设x,y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为fx(x)和fy(y)。,由于,现在来求m=max(x,y)及n=min(x,y)的分布函数。,(1)m=max(x,y)的分布函数为：,(2) n=min(x,y)的分布函数为：,例1：设系统l由两

10、个相互独立的子系统l1，l2联接而成，联接方式分别为: (1)串联;(2)并联;(3)备用(当l1损坏时，l2开始工作)，如图所示。,（1）,（2）,（3）,l1，l2的寿命分别用x，y表示，已知它们的概率密度分别为:,试就以上三种联接方式分别写出l的寿命z的概率密度.,解:(1)串联的情况: z = min (x,y),x,y的分布函数分别为：,z = min (x,y)的分布函数为：,z的概率密度为:,（2）并联的情况：z=max(x,y),z = max (x,y)的分布函数为：,z的概率密度为:,（3）备用的情况：z=x+y,z的概率密度为:,作业题（同济大学）,p64： 1题、 3 题、9题和12题,复习联合分布函数，联合分布律，联合概率密度,复习-边缘分布,复习-条件分布律，条件密度函数,(1)由定义可知：若x与y独立,则,(2)离散型随机变量，x与y相互独立的充要条件为:,(3)连续型随机变量，x与y相互独立的充要条件为:,随机变量独立性的重要结论,1. (x,y)离散,使 对应的(x,y)的那些可能值,其概率之和,5 两个随