信息光学第一章.ppt

1、主讲人：徐世祥,第一章 傅立叶分析,常用数学函数 卷积与相关 傅立叶变换性质与定理 基础数学基础理论 线性系统分析 二维光波场分析 本章的教学目的与要求： 本章是课程的基础 要求学生在解决光学问题中可应用傅立叶变换性质和定理 加深对空间频率、空间频谱概念的理解,本章主要内容,1.1 光学中几种常用函数,介绍它们的定义和性质及其在信息光学中的应用; 要求掌握它们的定义、基本性质、函数变形; 主要介绍以下函数： 矩形函数 Sinc函数 阶跃函数 符号函数 三角形函数 高斯函数 圆域函数 函数 梳状函数,常用函数变型,平移,常用函数变型（例）,解1： f(-2x+4)= f-2(x-2)，包含折叠、

2、压缩、平移,解2： 根据已知条件有,例题：f(x)=rect(x)，将该函数压缩2倍，然后向左平移3，并以x=1为轴折叠，求最后得到的函数，并画出函数图。,光学中几种常用函数,1 矩形函数 定义：一维 应用：单缝透过率、门函数、时间脉冲波形.,标准型：,x0,a,x,0,y,2 sinc函数 定义： 应用：单缝或矩形孔的夫琅和费衍射的振幅分布,注意归一化和非归一化的两种表达方法。,强度分布为sinc函数平方,3 阶跃函数 定义：,应用：光学直边或刀口的透过率,标准型：,4 符号函数 定义： 应用：与某函数相乘，可使该函数在某点的正负发生反转。 相位突变。,标准型：,5 三角函数 定义： 应用：

3、矩形光瞳的非相干成像系统光学传递函数。,注意：函数形状非真三角形。,标准型：,6 高斯函数 定义：,标准型：,特点： 1）函数分布在整个区域连续、可导。 2）光滑、中心强边缘弱。 3）其傅里叶变换还是高斯函数。,应用：,1）是激光的常见模式：基膜高斯分布。,2）光信息处理中的“切趾术”，实质：软边光栏。,7 圆域函数 定义： 应用：描述圆孔的透过率、二维的门函数.,8 函数 定义：,物理意义：描述脉冲状态这样一类物理量，函数表示某种极限状态，可用于描述高度集中的物理量，如：点电荷、点光源、瞬间光电脉冲等，又称脉冲函数。,焦点处光能描述,点电荷处电场描述,函数的函数序列定义式：,函数序列表达式的

4、意义是在实际操作中可以将 函数具体化，便于处理。,是一类函数而不是某一种函数函数, 根据需要有多种形式。,？, /A还是 函数！,几种表示 函数的函数序列及其极限形式,1） 筛选特性： 对任一连续函数 (x), 有：, 函数的性质：,物理意义：所有的有限函数都可以分解成 函数的线性组合, 很有现实意义。,应用：信息处理中函数取点。,2 可分离变量特性：,直角坐标系里，有,极坐标系里，有,什么是可分离变量？,这里,同时,？,3 坐标缩放： 推论： 偶函数,试证明？,试证明？,物理意义？,4 乘积特性 从物理上去怎么理解呢？,推论：,当xx0, 由于 (xx0)=0, 所以等式成立。 当x=x0,

5、 (x)= (x0), 等式显然成立。,5 积分形式：,物理意义： 函数可以由等振幅的不同频率正弦或余弦波合成，或者说 函数可以分解成等振幅的不同频率正弦或余弦波。（傅里叶级数）,9 梳状函数（comb function）定义：,* 各个梳之间等间距； * 每个梳具有 函数性质。,二维梳状函数的图形是什么？试说明。,二维：,梳状函数与普通函数的乘积：,应用：重复取样、描述时间上重复出现的光电脉冲、空间上等间距排列的点或线光源。,实现重复取样！,1.2 卷积,卷积运算的意义：一个函数绕函数轴反转并沿自变量轴做某一平移后与另一函数的重叠区域的积分。,1 定义：设f(x)和h(x)是两个复函数，其卷

6、积定义为,2.卷积的应用,1）卷积运算在线性系统、光学成像理论和傅立叶变换中经常用到。,x0,y0,xi,yi,透镜1,线光源,获得线光源的远场衍射图案,狭缝,2）光学系统具有卷积功能。,透镜2,f,f,f,f,x0=处单位强度点光源对应的像强度分布,像平面上的光强分布是物的光强分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积。,像平面上总的光强分布,卷积是关于x的函数，而只是中间的积分变量。,卷积的几何意义：置换变量翻转平移相乘积分,相乘和积分,1) 展宽效应：卷积的效果往往是使原函数变胖 （光斑变大，脉冲变宽）,卷积后信号的非零区域大概为原来两个信号的非零区域之和。 只要两函数非零区域存在重叠，

7、卷积函数就不为零。,卷积的两个效应：,2)平滑效应：使原来剧烈变化的函数变缓。例如快变函数f (x)与宽度为a的矩形函数卷积,原函数f(x)在某点x的值卷积后用某一段(x-a/2, x+a/2)的积分值来表示, 等价于这段区间的平均值。,卷积的运算性质,可分离变量特性: 如果参与卷积的两个函数是可分离的, 其二维卷积也是可分离的。（极坐标和直角坐标）,分配律体现了卷积的线性特性。,参与卷积的任一函数在x方向上平移x0，其卷积的形状不变，只是也在x方向上平移x0,卷积的位移不变性,卷积的坐标缩放性质：,两个卷积函数的自变量放大a，其卷积结果等价于卷积值的压缩1/|a|。卷积函数的形状和位置均不变

8、。,复函数卷积：利用卷积的交换律、分配律将实部和虚部分开进行。,注意：绝对值符号。,与 函数的卷积,1）任一函数与函数卷积运算的结果只是将该函数在坐标上平移x0, y0，函数值分布不变，曲线形状不变。 2）任一函数与函数的（k, l）次微分的卷积是该函数经过在坐标上平移x0, y0后的微分。,卷积的运算举例（习题课，留作业）,首先画出它们的函数图。,改写变量,改写变量、 折叠,解：,然后根据它们的相对位置不同，重叠情况不同划分讨论区域。 x0, 此时两函数没有重叠区，显然，卷积值为0； 0x1, 随着h(x)右移，它与f(x)发生重叠，但h(x)的右边缘没有进入f(x) 函数在右边的零区。此时

9、有,x,注意：经位移x后。矩形函数的前、后沿坐标。,3）1x2, h(x)与f(x)发生重叠，但h(x)的左边缘没有进入f(x) 函数在的非零区。在这段区域，两函数的重叠区面积是一常量，与x无关。,4）2 x3, h(x)与f(x)发生重叠，但h(x)的左边缘已进入f(x) 函数在的非零区。此时有,5）x3, h(x)与f(x)不发生重叠，h(x)的左边缘已进入f(x) 函数右侧的零区，此时卷积为零。,2 x3,解：首先画出它们的函数图, 并做变量变换，然后按照它们的重叠情况划分讨论区域。,1.3 相关,意义：与卷积相类似，相关与傅立叶变换密切相关，在光信息处理、光学图像特征识别以及图象转换甚

10、至光学测量等方面都有重要应用；,它是两个或多个函数之间的关系行为，分互相关和自相关； 互相关: 两个不同函数的相关。 自相关: 两个相同函数的相关。,1 互相关 两个复函数f(x,y)和h(x,y)的互相关定义为： 互相关的运算性质： “*”表示共轭。对于实函数，该符号可以省略。,相关的定义及其运算性质,相关运算的四个步骤：第一函数取共轭两函数变量变换第二函数平移相乘积分。,不满足交换律，但,与卷积的联系：,不失一般性，设函数为实函数,有,相关不满足交换律！,h(),不失一般性，设函数为实函数。,卷积满足交换律！,f(),h(),蓝1红2蓝1红1 蓝2红2 蓝2红1,不失一般性，设函数为实函数

11、。,卷积满足交换律！,h(),h(x-),1,2,1,2,蓝1红2蓝1红1 蓝2红2 蓝2红1,互相关与卷积的比较： 1）互相关时有一函数要取复共轭，而卷积没有； 2）互相关图形不需要反转； 3）两者在位移、相乘和积分这三个过程是一样的。,如果f (x)为实偶函数，那么互相关和卷积的结果相等。这时函数折叠和共轭都不改变函数值。,互相关的意义：衡量两个函数间存在的关联程度，两信号关联程度高互相关值就大。,2 自相关 定义： 性质： 意义：衡量同一函数不同点之间的相关程度。,应用：自相关测量,自相关的运算性质：,2、自相关函数的模在原点处有极大值。即,书本有误！,证明：,1、厄米特对称： 若f(x

12、)为实函数，则自相关函数为偶函数。,相关的运算举例,解1：1) 第一函数取共轭。这里是实函数，可以省略。 2) 两函数变量变换：f (x) f (), h(x) h() 。 3) 第二函数平移： h() h(x+)。 4) 确定积分区域划分、积分。,h(x+)的中心在= -x处.,f() 与h(x+)不重合，相关函数。,-1x0， f() 与h(x+)部分重合，相关函数,0 x 1， f() 与h(x+)部分重合，相关函数,1 x ， f() 与h(x+)不重合，相关函数为0,与书本不一致！,解2：根据相关函数的定义，有,rect(x+)的非零值区域为,解：,2-x4, f() 与h(x+)不

13、重合,-2 2-x0， 2 x4, f() 与h(x+)部分重合,0 2-x2， 0 x2, f() 与h(x+)部分重合,f (),-2,0,2-x2， x0, f() 与h(x+)不重合，相应的相关函数为零。,与书本不一致！,作业题,1. 假如 求将此函数以x=3为轴折叠后函数幅度增加5倍后的表达式。,求g(x) = f(x) h(x), 并画出函数图像 。,3.,求g(x) = h(x) f(x) 。,4.,5. 如果函数f(x)是实函数，那么它的自相关函数一定是实偶函数，对吗？并加以说明。,6. 计算下列积分,1.4光波场的复振幅描述,光波是电磁波，可由电矢量E和磁矢量H来描述； 引起

14、生理视觉效应、光化学等效应的主要是电矢量，故通常把电矢量E称为光矢量，把电矢量随时间的变化成为光振动； 本节主要介绍以下内容： 光波场的复振幅描述； 光波场中任意平面上的复振幅及其空间频率的概念.,波的特征：振幅、相位、偏振、波长（频率和周期）等；,位相,光波场的复振幅描述：,光场是横波。,光波的振幅,位相有两部分,时间相关,空间相关,其中exp-it是时间因子，在空间各处都是相同的，对描述光场的空间分布意义不大。,上式称为光波的复振幅，用来描述光波的振幅和位相随空间位置坐标的变化关系。,光波的振幅和空间位相因子的乘积,A 当平面波沿z轴方向传播时： 空间上一点的位相可表示为： 因此，等相位面

15、为平面。 沿z轴方向传播的平面波的复振幅为： 可见，位相函数(z)=k z只随z变化，与变量x, y无关。,等相位面方程,kz=常数,平面波的复振幅描述,平面波的特点：等相位面是平面。,+振幅为常数,均匀平面波,B 平面波不沿z轴传播，沿波矢k方向传播的平面波复振幅为 ：,（cos, cos, cos）,等相位面方程,空间周期与空间频率,在x轴上(y=z=0)，每传播一个/cos距离，位相变化为2。 /cos是x轴方向上的光波空间变化周期。,同样定义,定义x向空间频率：在x轴上单位长度内，位相变化为2的次数。,空间频率为：f=(fx2+fy2+fz2)1/2,空间频率的直角分量：fx=cos/

16、， fy=cos/ ，fz=cos/,相应的空间周期分量：Lx= /cos ， Ly= /cos ，Lz= /cos,用空间频率表示光场复振幅,空间频率的意义是什么？,* 空间频率的直角分量和光波的传输角有关，可以说，不同空间频率的光对应不同的传输方向。 * 光波空间周期性变化的频率。,球面波的复振幅描述,球面波的特征：相位间隔为2的等相面是一组等间距同心球面，光波场中各点的振幅与该点到球心的距离成反比（能量守恒）。,球面波的复振幅,等相位面为球面。方程,平面波和球面波的等相位面均可用上式表示，具体有什么区别呢？,平面波的波矢方向在空间各点是一致的，所以上式的化简结果是平面方程。 球面波的波矢

17、方向在空间各点是变化的，上式的化简结果是球面方程。,可用透镜实现平面波和球面波的转换！,球面波的两种形式,傍轴近似：点源到z轴的距离和观察点到z轴的距离都远小于光波的传播距离d。在此条件下：,傍轴近似,1.5 二维傅立叶变换和频谱函数的概念,1 二维傅立叶变换,f(x,y)的傅立叶谱,函数f(x,y)的傅立叶变换(Fourier Transform)定义：,x空间频率,y空间频率,函数f(x,y)和F(fx, fy)构成傅立叶变换对，表示为：,傅立叶逆变换：(将函数f(x,y) 用其频谱函数F(fx, fy)表示),关于物函数和谱函数： 两种有实际意义的描述信息的方法: * 不同物空间点光信息

18、的组合；（物函数表示） * 不同空间频率的光（不同传输方向光）的组合。 （谱函数表示）,注意函数(核函数),平面波，与空间频率或传输方向有关。,f(x,y)相当于权重函数,傅立叶变换,可以看成是从物空间各点(x, y)发出的，以某方向（fx, fy）传输的，振幅不同f (x, y)的平面波的叠加。,傅立叶逆变换,可以看成是从物空间各点(x, y)光场可以看成以各传输方向（fx, fy）传输的，振幅F(fx, fy)不同的平面波的叠加。,傅立叶变换存在的充分条件 1）f(x,y)在Oxy平面上绝对可积。 2）f(x,y)在Oxy平面上仅存在有限个不连续点和有限个极大、极小点。在每一个有限域内局部

19、连续。 3）没有无穷大的间断点。,振幅谱,相位谱,三点注意： 1）是充分条件，不是充要条件； 满足这些条件的一定存在其傅立叶变换谱；但是不满足这些条件的不一定不存在其傅立叶变换谱。 2）对存在有限值间断点的处理； 3）物理上的可能就是存在傅立叶变换有力法的充分条件。,极限意义下的傅立叶变换。 将一个“不存在”傅立叶变换的函数用另一个存在傅立叶变换的函数代替，而这个替代函数的极限就是原函数。 例如：函数、符号函数、正弦函数等。,广义傅立叶变换,理论根据为：,计算步骤为： 1）选择适当的数列，其极限等于待变换函数； 2）求该数列的傅里叶变换； 3）求所得到的傅里叶变换的极限。,广义傅立叶变换是普通

20、傅立叶变换的有效补充！,解：（1）选择适当的函数序列。例如,例题 求符号函数sgn(x)的傅里叶变换。,（2）求函数gN(x)的傅里叶变换。,（3）求函数gN(x)傅里叶变换的极限。,1）线性定理 即函数线性组合的傅立叶变换等于各函数傅立叶变换的线性组合，这表明傅立叶变换是线性变换。(证明？),傅立叶变换的基本定理,线性是什么意思？数学上是指一次方的函数关系。物理上指不变形。,2）缩放和反演定理（相似性定理和尺度变换定理） 即原函数在空域坐标（x, y）的“伸展”（a，b1时），将导致其频谱函数在频域坐标（fx, fy）中的“收缩”，以及整个频谱幅度的一个总体变化。且其收缩和展宽的因子相同。,

21、能量守恒是肯定遵守的。,P27有误,(证明),物理现象： 狭缝衍射； 测不准原理的变量对。,证明:,同理可证a0,b0的情况,证毕,3）位移定理 A 位移和时移： 即函数f(x,y)在空域或时域平移，只引起其频谱的相位线性平移，而不改变其振幅频谱。 B 频移 即原函数在空域中的相移会引起其频谱函数在频域的平移。,注意：这里所谓的相移、位移都是与横向空间坐标相关的。,4）卷积定理,通过傅立叶变换，可将空域（或频域）中的卷积运算，对应为频域（或空域）中的乘积运算。避开了复杂的卷积运算。,两个函数卷积的傅立叶变换等于两函数各自傅立叶变换的乘积；而两个函数乘积的傅立叶变换等于此两函数各自傅立叶变换的卷

22、积.,5）互相关定理 两函数的互相关函数和它们的互功率谱构成傅立叶变换对。,f(x, y)与g(x, y)的互功率谱,有兴趣的同学可以自行证明,6）自相关定理 信号的自相关函数与其功率谱之间存在傅立叶变换关系。,互功率谱,7）转动定理,原函数在空域中转动角，对应的谱函数在频域也转动了同样的角。（需知道结论）,8）能量守恒定理（岶色渥定理）,广义岶色渥定理,不要求证明，但要掌握！,9）积分定理 即对函数连续进行变换和逆变换，又重新得到原函数（可逆）。 10）多次变换定理 在函数f(x,y)连续的各点上，有： 即对函数f(x,y)连续作两次傅立叶变换或逆变换，得其“镜像”（傅立叶变换的对称性）。光

23、学模型为4f 成像系统,11）微分性质 即空域的微分运算可被频域内乘以2fi 代替。 12）积分性质 即函数的积分运算可通过傅立叶变换简化为除法运算。,13）共轭变换定理 若f(x,y)为非负实函数，有,复函数的傅立叶变换,用到傅里叶变换的什么特性？,注意下列问题！,不一定是实数,不一定是虚数,结论： 1）复函数的傅立叶变换等于其实函数部分和虚函数部分的分别傅立叶变换之和。 2）如果f(x, y)为实函数，其傅立叶变换的实部为偶函数，虚部为奇函数。 3）如果f(x, y)为实奇函数，其傅立叶变换的实部为零。,常见函数的傅里叶变换对,1.6 线性系统与线性空不变系统,1 系统的算符表示 系统：对

24、给定的信号作出响应而给出另外的信号，即对信号产生作用。 作用：将其定义为一种变换，把对系统的输入称为激励，而对此系统的输出称为响应。,实际存在的系统有很多形式，我们这里只讨论具有线性或同时具有平移不变性的系统。比较简单、常见的有应用价值。,系统的作用就是完成物理或数学上的某种变换或运算。 算符 表示系统的作用，这个算符的性质，要针对具体系统而定。,处理的特点：简化信息处理。 信息处理对系统的核心任务: 找出系统的响应函数。,1）光学成像过程：,“物”光分布,线性变换,“像”光分布,分析一个系统，就是要确定系统输入输出之间的对应关系； 描述系统输入输出之间关系就是把一个激励转化为系统的一个响应，

25、这种转换可以用一个算子表示为： g(x)=f(x) 对于线性系统，则有： c1g1(x)+c2g2(x)=c1f1(x)+c2f2(x),2 线性系统的意义(不变形),2)线性系统的定义,它的重要性质就是线性叠加性,由几个激励函数相加产生的总响应是各个激励单独作用时产生的响应函数之和,含义：若把一个线性组合整体输入线性系统，则系统的总响应是单个响应的同样的线性组合； 也可以理解为：系统对任意输入的响应能够用它对此输入分解成的某些基元函数的响应表示出来。,当系统未加激励时它不产生任何响应，保持比例因子不变。,假设系统的激励函数为,相应的系统响应函数为,ai为常数， .为系统算符。那么对于线性系统

26、有,问题： 根据系统的定义，傅立叶变换算符可看作系统的变换算符，那么它是线性系统吗？为什么？,对于连续的激励,处理线性系统常用方法：,3)线性系统的分析与综合：傅立叶分析,一个复杂输入,分解,多个简单“基元”输入,计算每个“基元”输入的响应,总响应,叠加,傅立叶分析提供了一个进行信号分解的手段！,基元函数,权重因子,基元函数的意义： 代表了传播方向为： cosfx，cosfy的单位振幅的平面波。,逆傅立叶变换的物理意义：物函数f(x,y)可看作是无数振幅不同 (|F(fx,fy) |dfxdfy)方向不同（ cosfx，cosfy ）的平面波线性叠加的结果(傅立叶分解)。,基元函数,权重因子,

27、逆傅立叶变换提供了分解函数的一种手段。,线性系统的基本特点：它对同时作用的几个激励函数的响应等于每个激励函数单独作用时产生的响应之和。,系统对任一输入函数的响应可用基元函数响应的线性组合来表示。,基元函数: 指不能再分解的基本函数单元,且它们的响应是比较易于确定的。在光学系统中，常用的基元函数有三种：函数、复指数函数、余弦函数,线性系统对某种“基元”激励的响应。,已知f(x1,y1)是系统的激励（输入），求系统对输入f(x1, y1)的响应g(x2, y2),研究系统的主要任务是要知道它如何作用于输入信号。 最原始的方法就是一点一点取样分析。求助于函数的筛选性质。,系统输入函数的分解式,f(x

28、1, y1)看成以函数为基元函数 以f(,)为权重的组合。,系统的脉冲响应函数，也称点扩散函数,线性系统输出函数的叠加积分,知道了系统的点扩散函数（脉冲响应函数）就知道系统的传输特性。,1)线性空不变系统的定义,3 线性空不变系统,一个线性系统，当激励函数仅在输入面上位移时，系统的响应函数始终具有相同的形式，仅造成响应函数在输出面上的位移。即,首先是线性系统，其对激励的作用具有线性叠加特性。,线性空不变系统对输入信号空间位置的平移所产生的唯一效应是使输出信号的位置也产生成常数比例的平移,而系统的脉冲响应函数不变。,系统对激励的作用与激励的空间坐标无关，只与空间坐标的相对量有关。,脉冲响应形式较

29、简单：,2)线性空不变系统的性质,实际上存在像差的影响。,只依赖于位置差而与具体位置坐标无关。当点光源在物场中移动时，像只改变位置而不改变形状（等晕性）.,叠加积分式：,像可表示为物与系统脉冲响应在输出平面上的一个二维卷积。,线性不变系统的传递函数是其脉冲传递函数的傅里叶变换。,傅立叶变换形式简单,系统传递函数，表示系统在频域对信号的传递能力。,系统传递函数在频域域刻画系统对信号的传递特性，而脉冲响应函数是在空间域表征系统的传递特性。,1. 对于线性系统，任何复杂激励的响应都是输入函数与脉冲响应函数乘积的积分； 2. 对于线性不变系统，任何复杂激励的响应都是输入函数 与脉冲响应函数的卷积； 3

30、. 线性不变系统输出的频谱等于系统传递函数与输入频谱的乘积； 4. 对线性不变系统，脉冲响应h(x)与传递函数H(fx) 构成一个傅立叶变换对。而其它系统就没有这种关系。,注意：,如果一输入函数经过一线性空不变系统后，输入、输出函数满足 其中a为常数（称为本征值），则f(x,y)是该系统的本征函数。,本征函数通过该系统函数的形式不变，空间也没被放大或缩小，只是空间各点的幅值被均匀的放大或衰减或产生常数相移。,如果能将输入函数按本征函数分解，将有利于信号处理。,线性空不变系统的本征函数,1 复指数函数,线性空不变系统基元函数的响应 (即已知基元函数f(x,y)求g(x,y),复指数函数是线性不变

31、系统的本征函数。,3 余弦函数,2 函数,3)线性空不变系统与理想成像系统,系统的线性表示系统激励经系统后不变形，而系统的线性空不变表示激励函数不论在物空间横向位置怎样平移，系统响应的形状是不变的。,物函数f(x1, y1),物平面,像平面,像函数g(x2, y2),物函数f(x1-x0, y1-y0),像函数g(x2-Mx0, y2-My0),理想成像系统就是一个线性空不变系统。,M为与空间坐标无关的常数，系统的横向放大率。,关于理想成像系统,1.7 二维抽样定理,分离方式取样; 进行信息处理; 再现原来的图形。,问题: 怎么取样（选取样函数）？ 取样必须满足什么条件才能恢复图象； 怎么进行

32、信息处理再现原来的图形。,为什么要抽样？ 实际物理量多是连续分布的。当对它们进行接收、存储、传送和处理过程中，不可能以连续的方式进行处理计算机处理，不得不用分离的阵列来表示物理图。 接收器空间分辨率的限制； 存储器件容量的限制； 传送方式的限制； 数据处理方法和能力的限制等。,什么是抽样？将连续过程离散化。,抽样时会出现的问题？ 抽样精度不够高，信息丢失； 抽样精度过高，浪费资源、时间和效率。,抽样过程的实现？对某一原函数进行抽样，则将这一原函数与一个抽样函数相乘。,采用二维梳状函数,抽样的好处：便于高效、节约和切合实际地信息计算和处理。,1 抽样函数二维梳状函数,梳状函数(comb function) 定义：一维 二维： 函数fs(x, y)的抽样：,原函数的频谱,用梳状函数取样后函数的频谱,抽样前后函数的频谱特点： 1）如果抽样前函数是带限函数，其频谱则只是占据某一