第七章极小值原理与典型最优控_....ppt

1、1,第 6 章极小值原理和典型最优控制,2,主要内容,极小值原理 典型最优控制,3,6.1 极小值原理,极小值原理 研究最优控制问题的现代理论 对古典变分学的发展 一些文献中也被称为极大值原理 以 Bolza 问题为对象描述极小值原理,4,考虑等式约束的一种特定的情况 - n 维向量, f - n 维向量函数 u m 维控制向量函数 容许控制 - 是一给定的有界集合 假定终端时间 满足,5,假设 对于 具有连续的偏导数 这种光滑性假定，对于任何分段连续的函数 保证了存在唯一的属于式（1）的容许轨线 可定义容许控制函数集合是这类分段连续的函数 并假定对于一个容许的 和给定的初始条件 ，在所考虑的

2、控制区域内，式（1）确定了一个唯一的容许解,6,确定一个容许控制函数 使下述的性能指标为极小,7,采用 Lagrange 乘子法,8,定义标量函数 Hamilton 函数为,9,特性指标为,10,积分可得,11,如果 是最优控制律 对应于边界条件有,12,也可以写成,13,满足边界条件,14,极小值原理与变分学 区别在于极值条件不同 极小值原理的极值条件是 Hamilton 函数 变分学的极值条件是,15,极大（小）值原理的意义,容许控制条件放宽 取得全局最小值 没有H对u的可微性要求 状态方程、协态方程和横截条件依旧 只给出最优控制的必要条件，而非充分条件（更没有涉及存在性问题）,16,例

3、研究线性时不变系统的时间最优控制问题,17,解：Hamiliton 函数为 为使H相对于所选择的u(t)尽可能小，必须有： 即u(t)取单位向量，,18,19,如,20,21,22,23,24,6.2 典型最优控制,主要内容 LQR问题 线性伺服机构 Bang-Bang 控制 奇异控制 离散系统最优控制,25,6.2.1 LQR（Linear Quadratic Regulator）问题,对于线性系统 LQR问题为,26,LQR问题的普遍性,LQR问题的提法具有普遍意义，不限于哪种物理系统，而且人们证明这样的提法易于获得解析解，最为可贵的是能获得线性反馈解。 线性系统最优控制所的结果也适用于小

4、信号下运行的非线性系统，可以作为一次近似 提供了一种统一的框架。,27,应用极小值原理 实现最优控制要求满足,28,确定闭环控制 假设 则得,29,在数学中， 称为 Riccati方程，所以（7）式也称为Riccati方程,30,最优控制律为,令,则求得闭环解,（9）,31,计算二阶变分,故极小值条件为(存在最优控制的充分条件),（10）,32,在某些情况下，S矩阵的某些元素大到足以引起计算上的困难，在此情况下，用逆Riccati方程求解。 令,（11）,（12）,33,则逆Riccati方程为,34,最优反馈控制结构,P(t),35,P(t)的计算,由 将Riccati方程写成差分格式 取步

5、长为负值，反向积分，即,36,P(t)的对称性，即 所以P待求的元素个数为n(n+1)/2,37,P(t)的半正定性,可以证明 但 故,38,无限时间调节器问题,上述问题有解的条件：系统完全可控,39,40,线性定常调节器,41,为下列代数Riccati方程的解 或是Riccati微分方程的稳态解,42,PI调节器,43,44,例：考虑如下标量系统的最优控制问题,45,解如下Riccati方程 可得,46,其中：调整 ，使 如： (a),47,(b) (c) (d) 当,48,49,50,6.2.2 线性伺服机构,线性伺服机构问题的描述为,51,使得 - “噪声”向量,52,对应矩阵的要求 按

6、照处理调节器问题一样的方式进行,53,54,为了确定闭环控制 假设 则得,55,56,线性伺服机由两部分组成 （1）线性调节器部分 （2）由系统输出的期望值 确定最优驱动函数的前置滤波器 最优控制规律,57,存在问题 在计算上该最优控制实际上常常不能实现 因为它包含有 ，必须由 到 反向求解 需要知道在所有 时间内的 和 当 则问题为“输出调节器”问题,58,输出调节器问题,59,最优控制律 其中P(t)是如下Riccati方程的解,60,存在输出调节器的必要条件是系统客观（不是系统可控） 但当S变成无穷大时，或终端时刻 为无穷大时，则要求系统可控，即为无限时间调节器问题。 输出调节器反馈的仍

7、然是系统状态。,61,6.2.3 Bang-Bang 控制,对于非线性系统,62,最小化 Hamilton 函数,63,Hamilton 函数对控制向量 是线性的 对于 的极小化要求,64,由此可见 控制 线性地出现在系统和性能指标中 另外，如果控制向量的每一个分量是有界的 则该最优控制就是砰磅控制（BangBang 控制）,65,只是在 情况下例外 不是 的函数 它相对于 不可能有极小 当式（6）在时间上只是对于孤立点成立 即该最优控制问题具有一个奇异解 如（6）的第 个分量是零 相当于特定的控制分量 可能是一个奇异解,66,对 Bang Bang 控制问题 - 由式（5）确定,67,两点边

8、值问题 很难解决的问题 考虑一种特殊情况 最短时间问题,68,希望转移一个 维向量定常系统 以最短的时间到达原点 使,69,具有限制 要求 所以,70,由于末端时刻自由，又 与 无明显的关系 根据（21）和（39）式 沿最优轨线有,71,正则方程为,72,为了避免一个奇异解 必须保证 在一段非零的时间间隔内， 不能为零,73,结论 1（唯一性） （9）、（10）式所表示的最优控制问题 若存在最小时间控制 则控制 ， 是唯一的,74,结论 2（开关次数） （9）、（10）式所表示的最优控制问题(A的特征值为实根) 若存在最小时间控制 则控制 ， 至多切换 次,75,6.2.4 奇异控制,考虑如下

9、问题 使得,76,对于非零的 必须使 上式表明 最优控制运行在边界上 但 在 之间取值是可能的,77,由此可见 是一种可能的解 此时 与 完全无关 不可能根据 的选择使 为极小 此问题即为奇异问题 求解,78,设初始 为正 则 所以,79,当 时 若取 则在 内 存在一个奇异解 且,80,+1,-1,1,2,t,x(t),u(t),81,奇异控制问题的提法 对于一般的Bolga问题 给定， 可以固定，可以自由,82,其 Hamilton 函数为,83,当控制变量在约束的边界范围内取值时 极值条件应为 （11）式称为 Legendre - Clebsch（勒让德克莱勃希）条件 若条件（11）只取

10、严格的不等号，则称强化的勒让德克莱勃希条件,84,如果 在某一时间间隔 上 矩阵 是奇异的 即 或 非负定，即不满足强化的勒让德克莱勃希条件，则称 Bolza 问题为奇异的,85,此时的最优控制 奇异最优控制 与此对应的最优轨线部分称为奇异弧， 则称为奇异区间 实际上 若 是控制向量的一个或多个元的线性函数 则问题是奇异的,86,工程中 奇异最优控制问题广泛存在，而且很重要 求解奇异最优控制比求解正常的最优控制要困难得多 奇异解 通常由正常弧（Bang - Bang arc）和奇异弧组成,87,总的说 对于奇异最优控制问题 已有的理论和方法尚嫌不足 需要探索新的理论和方法,88,定理 若Ham

11、ilton函数H满足 则泛函极值存在的必要条件为,89,线性系统 二次型性能指标最优化问题的奇异解 使得,90,91,若问题存在奇异解 则在奇异弧段上有下式成立,92,根据定理 即,93,所以 此处 假设 存在 若 不可逆，则奇异控制不存在,94,由（14）、（18）、（23） 可求 若 不显含 且 未定 则,95,例 1 研究以下例子 使得,96,解： 奇异弧使得,97,对于一个有限的时间区间 具有正则方程和协态方程,98,在奇异弧上 闭环控制是,99,在一奇异弧上,100,一根典型的轨线包含三部分 最初用控制的一个极值 使系统转移到奇异弧 然后用奇异控制 直到应用控制的另一极值的数值 极值

12、控制 使此系统的状态转移到原点,101,研究两种情况 （1）,102,103,（2） ,使 令 可得 奇异弧是两条直线,104,对于直线 则 所以,105,对于直线 闭环控制 所以,106,若 在 这段奇异弧上 运动是不稳定的 它的方向是离开原点,107,108,6.3 离散系统最优控制,主要内容 离散的极大值原理 离散线性调节器问题,109,6.3.1 离散的极大值原理,离散系统最优控制问题的描述 对于系统 以及约束 - 中一个给定的集合 - 固定的常数,110,寻找一个容许的控制序列 , 使 为极小,111,对于离散系统，极大值原理为 令 是一个最优序列， 又令 是 的状态响应，被式（1）唯一地确定， 在适当的假设之下，存在一个非平凡函数 满足,