第一章习题.ppt

1、例 一运动质点在某瞬时矢径 ，其速度大小为, B , D ,例：对于沿仰角以初速度 v0 斜向上抛出的物体，以下说法中正确的是： （A）物体从抛出至到达地面的过程，其切向加速度保持不变 （B）物体从抛出至到达地面的过程，其法向加速度保持不变 （C）物体从抛出至到达最高点之前，其切向加速度越来越小 （D）物体通过最高点之后，其切向加速度越来越小,分析：加速度 g 沿切向与法向的分量随速度的方向变化而变化. 斜抛物体在最高点时，切向加速度最小., C ,例 对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C）由于速度沿切

2、线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零； （E）若物体的加速度 为恒矢量，它一定作匀变速率运动 .,解:,位移,例 一物体作直线运动，其运动方程为 ，求 0 5 秒内物体走过的路程、位移和在第5秒的速度,t = 5 时, v = 6 ms-1,t = 2s 时, v = 0，x = - 2m ; t 2s 时, v 0 .,路程 s =(4+9)m = 13 m,例 一快艇正以速度 v0 行驶，发动机关闭后得到与速度方向相反大小与速率平方成正比的加速度. 试求汽车在关闭发动机后又行驶 x 距离时的速度.,解：,求 的关系，可作如下变换,例

3、求加速度为恒矢量时质点的运动方程.,已知一质点作平面运动, 其加速度 为恒矢量, 有,积分可得,写成分量式,积分可得,解：,例 物体作斜抛运动如图，在轨道A点处速度的大小为v，其方向与水平方向夹角成 30. 求（1）物体在A点的切向加速度 at ；（2）轨道的曲率半径 .,思考 轨道最高点处的曲率半径？,例 一质点沿x 轴运动，其加速度为 a = 4t (SI制),当 t = 0 时， 物体静止于 x = 10m 处. 试求质点的速度，位置与时间的关系式.,解：,例 有一质点沿 x 轴作直线运动， t 时刻的坐标为 x = 5t2 - 3t3 (SI). 试求（1）在第2秒内的平均速度；（2）

4、第2秒末的瞬时速度；（3）第2秒末的加速度.,解：,例 质点沿 x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标的关系为 a = 3 + 6x2 (SI)，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。,解： 设质点在 x 处的速度为v,已知:,解：取坐标如图,例：一人在灯下以 匀速度行走，已知条件如图所示，求头顶影子 M 点的移动速度。,解题思路,解法一,问：雪撬做什么运动 ？,雪撬速度,解：,例：如图质点在半径 的圆周运动，其角位置为 ，求 时的,O,解：,2）在上述时间内，质点所经过的路程.,例 无风的下雨天， 一火车以20m/s的速度前进，车内旅客看见玻璃窗上的雨滴和铅垂线成75角下降，求

5、雨滴下落的速度（设下降的雨滴作匀速运动）。,解 以地面为参照系，火车相对地面运动的速度为 ，雨滴相对于地面的运动速度为 ，旅客看到雨滴下落的速度为雨滴相对于火车的运动速度 ., A ,例 质量为 m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用。比例系数为 k ， k 为正常数。该下落物体的收尾速度(即最后物体做匀速直线的速度)将是：,例：在倾角为 的固定光滑的斜面上，放一质量为 的小球，球被竖直的木板挡住，当竖直木板被迅速拿开的瞬间，小球获得的加速度,解：对小环受力分析，有：,从以上二式可得到：,解：设小球位置如图,例 在一只半径为R 的半球形碗内，有一质量为 m的

6、小球，当球以角速度 在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时,它离碗底有多高？,例 一质量为 的夹子， 以压力 P = 120N 夹着质量 的木板，已知夹子与木板间的摩擦系数 问以多大的力竖直向上拉时，才会使木板脱离夹子.,解：设木板加速度 ；夹子加速度 .,脱离条件,注意起重机爪钩提升物体速度安全问题.,已知：,解：,例 已知一物体质量 沿水平方向运动，初速度为 ，所受的阻力为 ，求停止运动时，物体运动的距离。,解：,解1 确定木块为研究对象，,在地面上建立坐标系，要想使 m 相对 M静止，m 在水平方向与 M 的加速度相同,例 质量为 m 的木块放在质量为 M 倾角为 的光滑斜劈上, 斜劈与地面

7、的摩擦不计, 若使 m 相对斜面静止， 需在斜劈上施加多大的水平外力？ 木块对斜劈的压力为多少？,M,由牛顿第三定律，m对M的压力与N大小相等方向相反，数值为,解2 沿斜面建立坐标系， 坐标系建立得好坏，对解题难易程度有直接影响，但对结果无影响.,m,则外力,此种方法更简单.,解,例 如图长为 的轻绳，一端系质量为 的小球,另一端系于定点 ， 时小球位于最低位置，并具有水平速度 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力.,例 质量为m的物体在摩擦系数为 的平面上作匀速直线运动，问当力与水平面成角多大时最省力？,解： 建立坐标系，受力分析，列受力方程。,联立求解：,分母有极大值时，F 有极小值，,例

8、质量为 m 的物体，在 F = F0-kt 的外力作用下沿 x 轴运动，已知 t = 0 时，x0= 0,v0= 0, 求：物体在任意时刻的加速度 a，速度 v 和位移 x 。,解：,证明：,a 中不显含时间 t，要进行积分变量的变换,两边积分,则,解 取坐标如图,令,例 一质量m ,半径 r 的球体在水中静止释放沉入水底.已知阻力Fr = -6rv,为粘滞系数, 求 v(t) .,为浮力,（极限速度）,当 时,一般认为,若球体在水面上是具有竖直向下的速率 ，且在水中的重力与浮力相等， 即 . 则球体在水中仅受阻力 的作用,例1 子弹(质点)射入固定在地面上的砂箱内， 假设射入时刻定为 t =

9、0 ，子弹速率为v0 。,加速度与速率成正比，比例系数为k，即,求：1) 2),解：1)建坐标系如图,由,有式,分离变量：,两边分别积分：,得结果:,2) 由式,有,即,两边分别积分,得结果：,例2 求如图所示的抛体轨道顶点处的曲率半径,解：在轨道顶点,由,得,解：质点的切向加速度和法向加速度分别为,这就是所要求的速率与时间的关系。,例4: 质点以初速 沿半径为R 的圆周运动, 其加速度方向与速度方向夹角为恒量, 求质点速率与时间的关系。,分离变量,得,积分,例1 子弹(质点)射入固定在地面上的砂箱内， 假设射入时刻定为 t =0 ，子弹速率为v0 。,加速度与速率成正比，比例系数为k，即,求

10、：1) 2),解：1)建坐标系如图,砂箱,由,有式,分离变量：,两边分别积分：,得结果:,2) 由式,有,即,两边分别积分,得结果：,例2 求如图所示的抛体轨道顶点处的曲率半径,解：在轨道顶点,由,得,牛顿定律的应用 两类问题：已知运动求力 已知力求运动,解题步骤：确定对象 分析运动 画隔离体受力图 列方程 解方程,例5考虑空气阻力的落体运动（变力 直角坐标系） 已知：,0,求：,解：,第一步：画质点m的受力图,第二步：列牛顿定律方程 （原理式）,第三步：解上述微分方程 1.分离变量 2.两边分别积分,3.得解,（同学自解）,例2 单摆在垂直面内摆动（变力 自然坐标系） 已知：,水平,求:,绳

11、中的张力和加速度,解：,运动学关系式,得,1）上述结果是普遍解 适用于任意位置 2）如特例：,例3 粗绳的张力（您知道：张力有个分布吗？） 拉紧的绳中任一截面两侧的两部分之间的相互作用力称该截面处的张力 -弹性力 如图，质量均匀分布的粗绳拉重物。,已知：,求：距顶端为,米处绳中的张力,解：对绳用牛顿第二定律,若,若绳的质量忽略，则张力等于外力。,#,例6已知l长的绳端拴一质量m的小球(另 一端固定在o点)，自水平位置由静止释 放。求球摆至任一位置时，球的速度及绳 中的张力。,解：物体： m,受力：张力T 重力 mg,T +mg = ma,方程：矢量方程,分量方程(自然坐标),t向： mgcos

12、 = mat (1),n向： T - mgsin = man (2),gcos =(d/ dt ) d/d ， (小窍门) gcos =(d/ d ) ， = / l,由(1)、(4),可得 = (2g l sin)1/2,代入(3)、(2)有 T = 3mgsin 讨论： = 0时， a = at= g， T = 0 =/2时， at = 0， a =an=2g， T=3mg,例：二战中，美军Tinosa号潜艇，带了十六枚鱼雷侧面攻击日主力舰。在4000码处放了4枚鱼雷，使日舰停航了，但在875码正面放了11枚鱼雷，均未爆炸，只好剩一枚回去研究。,例：质量,、,物体，,，滑轮质量、摩擦不计，

13、滑轮,相对地面向上，求两物体相对滑轮加速度 及绳中张力。,在非惯性系中应用牛顿定律时，计算力要计入真实力和假想的惯性力，加速度要用相对加速度。 这时牛顿定律的形式为：,惯性力：大小等于运动质点的质量与非惯性系加速度的乘积；方向与非惯性系加速度的方向相反。惯性力没有施力物体，所以不存在反作用力。,例1:超重与失重：台秤上显示的体重读数是多少？,向下 失重,向上 超重,解:,例2: 求地球表面纬度处质量为m的物体的重量。,解: 设地球是半径R均匀球体, 自转角速度, 为了便于分析, 将该重物用绳悬挂在纬度处,并相对于地球处于静止状态。,惯性离心力,除惯性离心力外, 还有地球对它的万有引力F和绳子对它的张力T, 并且有,处于地球表面的物体所受地球的万有