机构学与机器人学chap

1、第六章 机器人的动力学,分析机器人操作的动态数学模型，主要采用下列两种理论： （1）动力学基本理论，包括牛顿-欧拉方程。 （2）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程。 拉格朗日函数L被定义为系统的动能K和位能P之差，即:,（4.1）,其中，K和P可以用任何方便的坐标来表示。,系统动力学方程式，即拉格朗日方程如下：,（4.2）,式中，,为表示动能和位能的坐标，,速度，而,为相应的,Fi是力或是力矩，由qi为直线坐标或角坐标所决定。这些力、力矩和坐标称为广义力、广义力矩和广义坐标，n为连杆数目。,Fi为作用在第i个坐标上的力或是力矩。,4.1.1 刚体的动能与位能 在理论力学或物理力学部分，曾对如

2、图4.1所示的一般物体平动时所具有的动能和位能进行过计算，其求法是大家所熟悉的，如下：,式中，表示物体所具有的动能K、位能P，所消耗的能量D和外力所做的功W ；M0和M1为支架和运动物体的质量；x0和x1为运动坐标；g为重力加速度；k为弹簧虎克系数；c为摩擦系数；F为外施作用力。 对于这一问题，存在两种情况。,1、,为广义坐标,其中，左式第一项为动能随速度（或角速度）和时间的变化；第二项为动能随位置（或角度）的变化；第三项为能耗随速度的变化；第四项为位能随位置的变化。右式为实际外加力或力矩。代入相应各项的表达式，并化简可得:,表示为一般形式为:,即为所求x0=0时的动力学方程式。其中，左式三项

3、分别表示物体的加速度、阻力和弹力，而右式两项分别表示外加作用力和重力。,2、,均为广义坐标,这时有下式:,或用矩阵形式表示为:,下面来考虑二连杆机械手（见图4.2）的动能和位能。这种运动机构具有开式运动链，与复摆运动有许多相似之处。图中，T1和T2为转矩，m1和m2为连杆1和连杆2的质量，且以连杆末端的点质量表示；d1和d2分别为两连杆的长度，1和2为广义坐标；g为重力加速度。,先计算连杆1的动能K1和位能P1。因为:,，所以有:,再求连杆2的动能K2和位能P2:,式中:,于是可求得:,以及:,这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能分别为:,（4.3）,（4.4）,将相应各导数和偏导数代入(4

4、.2)，即可求得力矩T1和T2的动力学方程式：,重力项：,在分析简单的二连杆机械手系统的基础 上， 我们分析由一组A变换描述的任何机械手， 求出动力学方程。推导过程分五步进行。 （1）计算任一连杆上任一点的速度； （2）计算各连杆的动能和机械手的总动能； （3）计算各连杆的位能和机械手的总位能； （4）建立机械手系统的拉格朗日函数； （5）对拉格朗日函数求导，以得到动力学方程式。,图4.4表示一个四连杆机械手的结构。我们先从这个例子出发，求得此机械手某个连杆（例如连杆3）上某一点（如点P）的速度、质点和机械手的动能与位能、拉格朗日算子，再求系统的动力学方程式。然后，由特殊到一般，导出任何机械手

5、的速度、动能、位能和动力学方程的一般表达式。,4.2.1 速度的计算 图4.4中连杆3上点P的位置为：,式中，,为总（基）坐标系中的位置矢量；,为局部（相对关节O3）坐标系中的位置矢量；,T3为变换矩阵，包括旋转变换和平移变换。 对于任一连杆i上的一点，其位置为:,（4.14）,点P的速度为:,式中，,，所以有,对于连杆i上任一点的速度为,P点的加速度,P点速度的平方,对于任一机械手上一点的速度平方为,式中，Trace表示矩阵的迹。对于n阶方程来说，其迹即为它的主对角线上各元素之和。,4.2.2 动能和位能的计算 令连杆3上任一质点p的质量为dm，则其动能为,任一机械手连杆i上位置矢量,其动能

6、如下式表示：,的质点，,对连杆3积分dK3，得连杆3的动能为,式中，积分,称为连杆的伪惯量矩阵，并记为,这样，,任何机械手上任一连杆i动能为,（4.17）,式中，Ii为伪惯量矩阵，其一般表达式为,根据理论力学或物理学可知，物体的转动惯量、矢量积以及一阶矩量为,如果令,于是可把Ii表示为,（4.18）,具有n个连杆的机械手总的动能为,（4.19）,此外，连杆i的传动装置动能为,式中，Iai为传动装置的等效转动惯量，对于平动关,节，Iai为等效质量；,为关节i的速度。,所有关节的传动装置总动能为,于是得到机械手系统（包括传动装置）的总动能为,（4.20）,下面再来计算机械手的位能，一个在高度h处质

7、量为m的物体，其位能为,连杆i上位置,处的质点dm，其位能为,式中，,其中，mi为连杆i的质量：,关节坐标系的重心位置。,为连杆i相对于其,由于传动装置的重力作用Pai一般是很小的，可以略之不计，所以，机械手系统的总位能为,（4.21）,4.2.3 动力学方程的推导 据式（4.1）求拉格朗日函数,（4.22）,再据式（4.2）求动力学方程。先求导数,据式（4.18）知，Ii为对称矩阵，即,，所以下式成立,当pi时，后面连杆变量qp对前面各连杆不产生影,响，即,。这样可得,因为,所以,再求,项,在上列两式运算中，交换第二项和式的哑元j和k，然后与第一项和式合并，获得化简式。把上述两式代入（4.2

8、）的右式得,交换上列各和式中的哑元，以i代替p，以j代替i，以m代替j，即可得具有n个连杆的机械手系统动力学方程如下,这些方程式是与求和次序无关的。我们把式（4.23）写成下列形式：,（4.24）,（4.25）,(4.26),（4.27）,式中取n=6，而且,惯量项,加速度系数项,重力项,上述各方程与4.1.2节的惯量项及重力项一样。这些项在机械手控制中特别重要，因为它们直接影响机械手系统的稳定性和定位精度。只有当机械手高速运动时，向心力和哥氏力才是重要的。这时，它们所产生的误差不大。传动装置的惯量Iai往往具有相当大的值，而且对减少有效惯量的结构相关性和耦合惯量项的相对重要性有显著影响。,4.3.1 二连杆机械手动力学方程 在前面讨论过二连杆机械手的动力学方程，下面讨论二连杆机械手惯量项及重力项的计算。 首先，规定机械手的坐标系，如图，并计算A矩阵和T矩阵。表4.2表示各连杆参数。,表4.2 二连杆机械手连杆参数,A矩阵和T矩阵如下：,对于旋转关节，可得微分平移矢量和微分旋转矢量如下：,对于平移关节，可得各矢量如下：,以,为基础，有下式(p=1，i=1),以,为基础，可得下式(p=2，i=2),以,为基础，可得下式(p=2，i=1)