尺规作图五点定椭圆的方法

1、尺规作图五点定椭圆的方法徐文平（东南大学 南京210096）摘要：已知椭圆上五点，通过确定椭圆圆心、椭圆主轴方向和椭圆长轴短轴位置等三个步骤，尺规作图完成椭圆作图。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，在机械制图和土木工程领域中也有重要运用。利用几何画板和cad软件，依据任意五个点的椭圆尺规作图，具有重要意义。一、引言在几何画板和cad软件中， 任意五个点作椭圆，具有意义。五点定椭圆在卫星轨道，机械制图和土木工程中是有重要用途。第一步，通过五点寻找椭圆圆心第二步，确定椭圆坐标x、y主轴方向第三步、确定椭圆的长轴a和短轴b 1）大狗熊定理1：二次圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交点调和分割

2、对角线两极点。如图1，椭圆内接四边形klmn，对边线kn与lm交于a，对边线kl与nm交于b，对角线km的极点为c，对角线ln的极点为d，km与ln交于q点，则a、b、c、d四点共线，且ab调和分割cd，即1/ac+1/ad2/ab。双曲线和抛物线也具有同样性质。 2）命题1：已知椭圆的斜向割线ab，作一条过椭圆圆心o点的任意割线jk， ja、bk交于e点，jb、ak交于f点，确定ef的中点n点，连线na、nb就是椭圆的切线。 证明：由于割线jk的切线交点极点在无穷远，利用定理1，可以快速证明这个命题。 定理2：圆锥曲线 的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。命题3（高斯定理）

3、：已知椭圆外一点p，过p点作pab与pcd二条任意椭圆割线，ad、cb交于q点，ac、bd延长交于r，连线qr与椭圆交于s、t两点，ps、pt就是椭圆的切线。 图 3二、通过五点寻找椭圆圆心原理：通过已知五点，作椭圆切线，获得割线的极点，将割线的极点和割线中点连接并延伸，必定通过椭圆的圆心。图 4问题1：只有五点，没有坐标轴和原点，椭圆斜的，割线pq的切线极点如何办？切线方法：帕斯卡定理（五点 + 一个切点二次）做切线，或者如图5方法作切线。图 5命题4：已知椭圆上p、h、g、q、a五点，利用椭圆内接四边形pqgh确定对角线pq和gh交叉点t，可绘制极点t的极线e f，利用椭圆内接四边形pqa

4、b(h)确定对角线pq和ab(h)交叉s点（利用帕斯卡定理，新构造椭圆第六点b点，替换h点），绘制极点s的极线mn，极线mn和极线ef交于c点，c点即为pq割线的极点。证明：依据极点极线的对偶定理，由于 s、t为pq极线上的二点，可可知s、t极点的极线mn和极线ef相交于c点就是pq的极点，连线pc、qc就是椭圆的切线。（该方法也适合于双曲线和抛物线的情况）问题2：椭圆上五点有时候似乎不够啊，如何构造椭圆上的临时第六点啊。命题5：运用帕斯卡原理，通过椭圆上五点，可以增加椭圆上一点。pascals定理为通过五点作圆锥曲线提供了一种优美的解决方案。设已给1, 2, 3, 4, 5五点，其中任意三点

5、不在同一直线上（特例将在后面讨论），但五点的平面位置为任意。我们将这五点依次相连，并设线段12与45的交点为l。为了构作圆锥曲线上的任意一点，如点6，我们通过点1任意作一直线a，设a与线段34交于点n，再通过l和n作直线b，设b与a交于m，图74-3；再通过5和m作直线c，则c与a的交点就是期望的第六点6命题6：利用侯明辉三割线定理加上阿波罗尼斯圆的调和分割性质，构造更多椭圆点。在尺规作图五点定椭圆中，已知椭圆上五点（不知道椭圆曲线，不知道椭圆圆心，也不知道椭圆的xy坐标主轴情况下），需要构造其他的椭圆点。即a、b、c三点已经知道（还有其他二点知道），采用其他办法作出ab割线的极点n，利用侯明

6、辉三割线定理以及调和分割性质确定新的椭圆点 e点方法：连接cn线段交ab线段于m点，取线段mn中点j为圆心，画圆直径为mn，过c点作mn的垂直线交圆于f点，过f点作切线（或者是作垂直jf的线段ef），交mn于e点，则构成调和分割的第四点。本例子是构成了椭圆上的新点用途。图 7工程应用实例：（是用5点定圆心的，没有构造第六点方法）图 8三、确定椭圆坐标主轴方向目标：通过已知的椭圆圆心和椭圆上三点，寻找椭圆坐标主轴方向。图 9原理：利用椭圆圆心，构造二条共轭直径，然后确定椭圆坐标主轴方向方法：利用椭圆圆心，首先构造一条共轭直径，作图共轭直径端点的切线方向（确定另外一条共轭直径的方向），作平行线通过

7、构筑一条椭圆共轭弦，采用仿射几何方法转换为二条共轭直径。1) 作ab割线的切线极点n图 102) 作af共轭直径(连接oa)，作cl共轭弦(平行an) 图 113) 仿射几何构筑oe共轭半径图 12方法：作直径为af的圆，过n点作mn垂直af，作三角形mnl. 作ko垂直af，过k点作mlde 平行线，ke和oe延伸交于e点。依据仿射原理，可知，oe为椭圆的共轭半径。4) 构筑椭圆坐标主轴方向图 13方法：绕椭圆圆心o点，oe旋转90度，获得n点，连接na连线，获得na中点kk点为圆心，作任意半径的圆，与ko交于w点，与na交于h、g点。. 则wc为长轴方向，hw为短轴方向，完成椭圆坐标主轴方

8、向确定。证明：分析ok线段的斜率与na线段的斜率的关系（1）共轭直径的性质图 14 如果，点，椭圆共轭直径推理，则有， 对于点c分析，则有： ， （2）共轭直径的椭心角为90 简单分析可以得到，c1oa190 图 15（3）共轭半径旋转90图 16 分析可以得知：，c点绕原点旋转90，则：， （4）图形分析研究图 17 问题1：延伸连线nk，与坐标轴交于u、v两点。要构筑椭圆坐标主轴方向的方法成立，只需证明1voa1vok=ovu=1，即证明okv和onu是等腰三角形，命题就成立。 现在，vok=1 已经成立 ，由于： ， 则： 坐标，可以化为 分析na线段的斜率：则： ， 等腰三角形图形成立

9、，命题成立。问题2：k点为oa1与na线段的交点，是不是位于na线段的中点啊。 假如k为na线段的中点，分析k、a1、o三点共线，就ok k点坐标， 对于ok线段分析斜率： ，斜率相同，命题成立。四、确定椭圆长轴a和短轴b目标：已知椭圆心和坐标轴、已知椭圆上二点，确定椭圆长轴a和短轴b原理：运用极点和极线关系，构造自配极三角形，确定椭圆长轴和短轴位置。方法：利用椭圆上二点构造轴对称二点，构成椭圆内接四边形，连接对角线，获得交叉点和对边交叉点，运用二个极点的数学关系，完成长轴和短轴位置。 1）构造自配极三角形，寻找二个对偶极点图 18 e点为b点的轴对称点，n点为x轴与ae的交叉点 令 ，极点极线关系方程分析得知： （类似椭圆准线方程） 2）确定长轴a位置 连线qn， k为qn中点，以k圆心半径为kn画圆，过o点作圆k的切线e，以oe为半径原点o为圆心作一个圆，与 x轴交于f点，f点即为长轴a图 193）确定长轴b位置 利用切线方法，构造割线ab的极点n点，过n点作水平线交y轴于g点，延伸割线ab与y轴交于p点，连线pg， k为pg中点，以k圆心半径为kp画圆，过o点作圆k的切线r，以or为半径原点o为圆心作一个圆，与y轴交于u点，u点即为短轴b图 20 参考文献：1 李建华.射影几何入门m，科学出版社，