音乐与数学.ppt

1、第五节 数学与音乐,2500年前的一天，古希腊哲学家毕达哥拉斯外出散步，经过一家铁匠铺，发现里面传出的打铁声响，要比别的铁匠铺更加协调、悦耳他走进铺子，量了又量铁锤和铁砧的大小,发现了一个规律，音响的和谐与发声体体积的一定比例有关尔后，他又在琴弦上做试验，进一步发现只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程就这样，毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系,中国古代的音乐研究和创作中也很早就有了数学的应用吕氏春秋大乐中说：“音乐之所由来者远矣：生于度量，本于太一”所谓“生于度量”，即是说音律的确定，需要数学管子地员篇中记载的确定音律的方法“三分损益法”就是数学方法的具体应用,我国明

2、代数学家、音乐理论家朱载堉（1536-1611）所创造的十二平均律，实际上是将指数函数应用于音律的确定,法国数学家、神学家梅审（Mersenne，1588-1648），总结出了弦振动的四条基本规律： （1）弦振动的频率与弦长成反比这就是说，对密度、粗细、张力都不变的弦，增加它的长度会使频率降低，反之会使频率增加 （2）弦振动的频率与作用在弦上的张力的平方根成正比演奏家在演出前，对乐器的弦调音时，把弦时而拉紧，时而放松，就是调整弦的张力 （3）弦振动的频率与弦的直径成反比在弦长、张力固定的情况下，直径越粗，频率越低例如，小提琴的四条弦，细的奏高音，粗的奏低音 （4）弦振动的频率与弦的密度的平方根

3、成反比 一切弦乐器的制造都离不开这四条基本定律,19世纪初，法国数学家傅里叶（Fourier，1768-1830）建立的关于声音的数学分析代表了用数学方法研究音乐理论的最高成就他证明了所有乐声器乐和声乐都可以用数学式来表示和描述，这些数学式是简单的正弦函数的和,任何乐音都是周期函数，所以它们均可表示为简单的周期函数之和比如小提琴奏出的乐声，其基本公式是 ：,黄金分割应用于作曲则是数学对音乐的影响的另一个显著领域 20世纪，某些音乐流派开始打破以往的规范形式，而采用新的自由形式匈牙利的巴托克（1881-1945）就曾探索将黄金分割法用于作曲中在一些乐曲的创作技法上，将高潮，或者是音程、节奏的转折

4、点安排在全曲的黄金分割点处例如要创作89节的乐曲，其高潮便在55节处，如果是55节的乐曲，高潮便在34节处,乐音体系中有七个独立名称的音级称为基本音级，分别用C，D，E，F，G，A，B标记，叫做音名比之高八度的则有小字一组c1-b1，再高八度则有小字二组c2-b2等如果以C为起点，则G就是五度音， c1则是八度音C-c1构成八度音级，实际上只包含5个全音和2个半音，相当于6个全音或12个半音,乐音体系中各音的绝对准确高度及其相互关系叫做音律音律是在长期的音乐实践发展中形成的，并成为确定调式音高的基础在历史发展过程中，曾采用过各种各样的方法来确定乐音体系中各音的高度，其中为大家所熟知的有“纯律”

5、、“五度相生律”和“十二平均律”三种目前被世界各国所广泛采用的是“十二平均律”但“纯律”和“五度相生律”在音乐生活中仍继续发生着影响,音乐必须有美的音调，美的音调必然是和谐的音调的基础则是声波，声波实际上是振动物体对周围的空气发生作用而产生的乐音通常是由弦的振动或空气柱的振动引起的描述乐音的一个最基本的量是音高，为了说明音高，需要引进频率的概念,频率指的是物体在单位时间内振动的次数通常以秒作为单位时间，物体每秒振动多少次称为多少赫兹或多少赫例如一条紧绷的弦每秒振动100次，就说它的频率是100赫兹,五度相生律,用五度相生法确定音律是毕达哥拉斯学派开创的他们发现，最和谐的音调是由比1234确定的

6、，从12得到八度音，23得到五度音，34得到四度音,将两根质料相同的弦水平放置，使它们绷紧，并保持相同的张力假定一根弦的长度为1，另一根弦的长度为前者的2/3，然后使两根弦同时发音，若前者发的音是C，则后者发的音是比前者高五度的G再取后者长度的2/3，就得到比G高五度的音d1把新弦长放大一倍，就得到D若长为1的弦发音是C，则取该弦长的3/4时，就得到比之高四度的音F,五度相生法频率比的公式是（m，n是整数）：,用五度相生法生成的（大调式）七音阶表,三分损益法,三分损益法包含两层含义： “三分损一”将原有长度分作三等分，然后减去其中的一分，即三分之二，所生之音是原长度音上方的五度音 “三分益一”

7、将原有长度分作三等分，然后添加其中的一分，即三分之四，所生之音是原长度音下方的四度音,纯律,纯律中任何两个音的频率都成整数比这种音律源于号角，因为它可以吹出大调音阶中的三和弦(简谱中的1 3 5)，它们的频率之比为4:5:6大调音阶中的其它三和弦也可以用这种方法得到，例如简谱中的4 6 1和5 7 2这种音律在演奏和声时很有优势，因为频率的整数比可以产生最好的结合铜管乐器指法不变时遵循纯律 ，所以在演奏和声时，要尽可能地使用同样的指法 然而没有一种乐器是按照纯律定音的,十二平均律,三分损益律和五度相生律一样，其缺点是，由于一个音阶内各音级的频率比不相等，从而使得转调比较困难朱载堉在律吕精义中提出了“新法密律”的计算方法，也就是创造了十二平均律，从而克服了这一缺点,将八度分成十二个均等的部分（半音）的音律叫做十二平均律十二平均律早在古希腊时便有人提出了，但并未加以科学的计算世界上最早根据数学来制订十二平均律的是我国明朝的音乐家朱载堉,十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，并把八度分成12个半音，使相邻两个半音的频率比是常数设C的频率是b，则 c1的频率就是2b如果前后两个半音的频率比是q，那么各半音的频率就构成了以q为公比的等比数列于是,根据十二平均律，各音级的频率 构成一个指数函数因此，钢琴的弦和风琴的管外形轮廓都是指数曲