一种自然主义的数学哲学 (山西大学科学技术哲学研究中.ppt

1、1,一种自然主义的数学哲学（山西大学科学技术哲学研究中心，2010.9.25）,叶峰 （北京大学哲学系） ,2,一种自然主义的数学哲学,自然主义是当代主要哲学思潮之一。笔者最近几年在自然主义的框架下做了一些数学哲学方面的研究工作，包括尝试论证自然主义蕴涵数学唯名论，从自然主义的角度分析当前唯名论或反实在论数学哲学的不足，在自然主义的框架下探索对经典数学的可应用性的逻辑解释，以及在自然主义的框架下分析逻辑与算术的分析性、先天性与必然性，分析数学的客观性等等。,摘要,3,一种自然主义的数学哲学,这个报告先简要介绍什么是自然主义和物理主义（第1节）以及当前接受自然主义的各种数学哲学派别（第2节）。然

2、后它将介绍笔者的三篇论文和一本专著的内容。第一篇论文试图论证自然主义蕴涵数学唯名论（第3节）；第二篇论文提出唯名论数学哲学应该完成的任务，讨论当前各种唯名论数学哲学的不足（第4节）；第三篇论文介绍在自然主义框架下解释数学的可应用性的一种策略，是对那本专著的内容的概述（第5节）。,摘要,4,一种自然主义的数学哲学,三篇论文及一本专著如下： Naturalism and Abstract Entities，International Studies in the Philosophy of Science. vol.24 (2010), no.2, p.129-146. What anti-rea

3、lism in philosophy of mathematics must offer，Synthese, vol.175 (2010), no.1, p.13-31. The applicability of mathematics as a scientific and a logical problem Philosophia Mathematica, vol.18 (2010), no.2, p.144-165 : /cgi/content/abstract/nkp014 Strict Finitism and the

4、Logic of Mathematical Applications, forthcoming in Synthese Library by Springer.,摘要,5,一种自然主义的数学哲学,1、什么是自然主义和物理主义？,6,一种自然主义的数学哲学1、什么是自然主义和物理主义？,哲学是世界观 究竟什么事物存在？ 物体，现象，灵魂，共相，抽象数学对象，经验？ 我们自身是什么？我自己是什么？ 物理系统，具有意识属性的生物体，先验自我，灵魂？ 我们怎么认识存在着的事物？ 经验，直觉，先定和谐，灵魂的回忆，物理相互作用？ 什么是意义、指称、真理、可能性、意识、意向性、自由意志、伦理原则?,什么是

5、哲学？,7,一种自然主义的数学哲学1、什么是自然主义和物理主义？,科学方法是获得知识的最可靠方法，没有优于科学方法的所谓第一哲学（First Philosophy）方法。（蒯因） 与笛卡尔、康德、胡塞尔等的先验哲学相对立。 接受当前的科学结论是最理性的态度，虽然当前的科学结论可能再被修改。 还未断言我们自身是什么，认识过程是什么。 一个灵魂或“先验自我（transcendental ego）”在用科学方法认识“外部世界”？ 哲学应当综合我们各方面的知识，尤其包括科学知识，以达到一个统一的、自身协调一致的世界观。,探索合理的世界观的方法（之一）方法论自然主义,8,一种自然主义的数学哲学1、什么是

6、自然主义和物理主义？,当前的科学结论蕴涵着,宇宙是物质的，而且人类自身也是物质的，是进化的结果，没有非物质的心灵实体，即科学反对实体二元论。 还有一些不确定的问题： 物理主义：心理过程原则上是物理过程； 属性二元论：心灵属性是一些复杂系统如大脑具有的，原则上不可还原为物理属性的属性。 但如果我们采取谨慎的态度，从科学界主流较肯定地接受的科学结论开始哲学上的综合，则物理主义是哲学家应该采纳的工作框架。 还没有任何真正的属性二元论理论被科学界主流认真看待。,从方法论自然主义到物理主义,9,一种自然主义的数学哲学1、什么是自然主义和物理主义？,存在着的就是物理对象，所有属性、规律“原则上”可归约为物

7、理属性与定律 不考虑计算复杂性的话，没有什么属性与规律原则上不可归约； 给定所有基本粒子、它们的物理状态及它们遵从的物理定律，一切其它属性（心理、认知、伦理、美学等属性）就都完全确定。,什么是物理主义世界观,10,一种自然主义的数学哲学1、什么是自然主义和物理主义？,人类是这个物质宇宙的一部分，是宇宙中的物质进化的产物； 认知的主体就是大脑；认知过程最终是物理过程，大脑的知识来源于基因决定的大脑的内在结构及大脑与环境的物理作用。 认知的主体不是非物质的心灵，或所谓“超验自我”；认知过程不是“主体”对所谓“外部世界”的认识。 是“无我”或“无主体”的自然主义世界观； 只有大脑内部物质与大脑外部物

8、质之间的区别，没有所谓“主体的观念”与“外部世界”。,物理主义世界观中的认知主体与认知过程,11,一种自然主义的数学哲学1、什么是自然主义和物理主义？,语言是大脑进化到一定程度后产生的功能，大脑识别、记忆声音文字，将它们与其它（由神经元实现的）记忆在大脑中相连接，并通过控制身体的行动将它们与环境中的事物相联系，而使得声音文字成为语言。 语言不是“先验自我”用来描绘“外部世界”的工具。 概念是大脑中的神经元结构，概念与对象之间的表示关系（即指称）是物质性的事物之间的物质性的关系，即自然化的表示关系。 概念不是独立于大脑、大脑可以“把握”的抽象事物。,物理主义世界观中的语言与概念,12,一种自然主

9、义的数学哲学 1、什么是自然主义和物理主义？,词-物关系是由大脑建立的物-物关系：,物理主义世界观中的指称与真理,兔子,“兔子”,大脑,自然化的表示关系,“兔子”,指称,表示词项的概念,自然化的表示关系,神经元联结,表示事物的概念，涵义,“真”也是物-物关系，即大脑中的事物与大脑外的事物之间的物质性的、自然的对应关系。,13,一种自然主义的数学哲学1、什么是自然主义和物理主义？,不存在所谓可能世界、可能事态，各种可能性即各种可想象性，要从大脑想象事物的方式的特征去解释可能性。 所谓大脑想象事物，即大脑处理一些语言描述，进行视觉形象的构造等等，即一些神经元活动。 不存在所谓抽象对象，大脑不会神秘

10、地“把握”独立于人类的抽象对象或概念。 真正存在的是大脑想象所谓“抽象对象”时创造出的大脑中的，作为神经元结构的数学概念、思想； 这些数学概念、思想的意义在于它们在大脑的认知活动（包括数学思考与数学应用活动）中的认知功能。,物理主义世界观中的可能性与抽象实体,14,一种自然主义的数学哲学 1、什么是自然主义和物理主义？,一个数学应用过程，是大脑与环境中的事物相互作用的过程，是自然现象。 解释数学的可应用性是解释一类自然现象中的规律性。,物理主义世界观中的数学应用,15,一种自然主义的数学哲学 1、什么是自然主义和物理主义？,作为一个工作框架，物理主义不是独断的信念，而是方法论自然主义的谨慎推论

11、，是一种“极小主义”。 只假设主流科学较肯定地接受的结论，从谨慎的、极小的前提出发，看看能够解释多少世界与人类活动的各个方面，包括人类的数学实践。 即使你相信有灵魂，你也应该承认有大脑，而且大脑有极其复杂的认知功能，仅仅假设大脑的对意义、真理、数学应用等等的解释也是可接受的。 如果可以发现物理主义不能容纳的东西，那么只能放弃物理主义；反之，如果物理主义可以解释意义、真理、可能性、意向性、意识、自由意志、伦理原则、数学知识等等，那么应该由反对者回答为什么他们相信那些超出主流科学的东西。 用细致、辛苦的技术性工作代替模糊的哲学思辨及超越现有科学框架的哲学梦想。,几点说明,16,一种自然主义的数学哲

12、学 1、什么是自然主义和物理主义？,物理主义不是基础主义，对数学应用的解释不是对数学知识的基础主义的辩护。 物理主义不认为有传统意义上的先天的、绝对可靠的基础知识，设想传统意义上的先天的、绝对可靠的知识，必须预设绝对的、超自然的认知主体。 大脑是进化与个体发育的结果；大脑的知识，是大脑在进化及与环境的相互作用中产生的；大脑可以重新组织自己的知识库，区分更可靠的与更不可靠的知识，但没有传统意义上的先天的、绝对可靠的知识。 科学家与哲学家的大脑研究人类大脑的认知活动，这本身也是自然过程；设想可以摆脱这种循环就只能假设有超自然的灵魂、先验自我等等。,几点说明,17,一种自然主义的数学哲学 1、什么是

13、自然主义和物理主义？,对认知主体、认知过程、意义、真理、数学知识等的物理主义的解释是一个自身协调一致的物理主义世界观的必要成分，而且是主流科学的结论的推论 物理主义不能被理解为：与一个超自然的认知主体相对立的外部世界是物理的，而主体自身还是某种像灵魂、先验自我那样的东西。 科学不仅仅在说“外部世界”是什么，科学也对我们自身是什么有明确的论断。,几点说明,18,一种自然主义的数学哲学,2、自然主义与当代数学哲学,19,一种自然主义的数学哲学2、自然主义与当代数学哲学,多数当代数学哲学研究者接受方法论自然主义，即： 承认现代科学的结论，在此基础上考虑数学哲学问题， 承认现代科学的方法（包括概念分析

14、、逻辑推理、及假说-演绎-观察验证等方法）是获得知识的最可靠方法， 没有尝试所谓超验（transcendental）方法。 没有假设某种在自然主义的框架下不可解释的直觉。,谁接受自然主义？,20,一种自然主义的数学哲学2、自然主义与当代数学哲学,哥德尔是例外： 现代科学的唯物主义是错的 抽象直观是认识数学公理的主要途径,谁接受自然主义？,21,一种自然主义的数学哲学2、自然主义与当代数学哲学,当代数学哲学的核心问题，是关于数学对象的本体论问题，即是否存在着抽象数学对象。 实在论：抽象数学对象存在，数学定理是关于抽象数学对象的真理。 难题：我们如何可能获得关于不存在于时空之中的抽象数学对象的知识

15、？ 唯名论（或反实在论）：不存在所谓抽象数学对象（或它们不独立于我们的语言与思想存在）。 难题：数学定理还是真理吗？如不是，数学如何可能成为科学的基础，在科学应用中得出真理？,当代数学哲学的核心问题,22,一种自然主义的数学哲学2、自然主义与当代数学哲学,蒯因的实用主义实在论：科学必须用数学，数学应用不可或缺地承诺抽象数学对象，因此科学的成功核证了（justify）抽象数学对象存在。 Burgess的反反实在论：数学与其它科学分支一样，是科学的分支，方法论自然主义要求我们一样接受数学家发现的数学真理，并非需要物理学应用才能核证数学真理。 Maddy的数学自然主义：数学有自己的方法论原则，数学对

16、象在而且只在数学内部断定它们存在那种意义上存在。,方法论自然主义之下的不同数学哲学,23,一种自然主义的数学哲学2、自然主义与当代数学哲学,各种唯名论： 可以改写科学理论使它不必指称抽象数学对象，因此科学的成功不核证抽象数学对象存在.（Field） 科学语言中的对数学对象的指称应该理解为比喻式的，不是真的指称对象。（Yablo) 科学也许不得不在表面上指称抽象数学对象，但科学的成功并不核证抽象数学对象存在。(Hoffman，Leng，Melia) 数学只需假设一些可能的结构，或可能的具体对象。（Chihara，Hellman） ,方法论自然主义之下的不同数学哲学,24,一种自然主义的数学哲学2

17、、自然主义与当代数学哲学,都隐含地预设了一个超自然的认知主体，而且从这样一个主体的角度出发思考和谈论“真”、数学概念与判断的意义、数学对象等等，而不是明确地将认知主体看作自然事物，将认知过程看作自然过程，即他们不是彻底的自然主义或物理主义。比如蒯因： “承诺或设置抽象实体”这个概念中隐含地预设了超自然的“承诺主体”； 去引号的真理论或验证论的真理论中隐含地预设了自然的认知主体。,这些接受方法论自然主义的当代数学哲学的共同问题,25,一种自然主义的数学哲学2、自然主义与当代数学哲学,都至少承认潜无穷 当代科学仅仅认识到这个宇宙中从普朗克尺度（10-35m）到宇宙尺度（1026m或1076m ）中

18、的严格有穷的事物； 假设潜无穷意味着假设独立于这个物质世界的抽象数学世界，或者假设有非物质的心灵可以“产生”或“把握”潜无穷。 后者直接与自然主义相冲突，前者也隐含地预设一个可以“把握”或“承诺”抽象数学对象的超自然的认知主体。 问题还是：他们都隐含地背离了自然主义。 注意：不是说我们已知物质宇宙是有限的，而是说，在还未知宇宙是否无穷的情形下，在哲学上肯定地假设潜无穷，这只能是假设抽象数学世界中的无穷，或假设非物质的心灵。,这些接受方法论自然主义的当代数学哲学的共同问题,26,一种自然主义的数学哲学,3、从自然主义到唯名论,27,一种自然主义的数学哲学3、从自然主义到唯名论,论文： Natur

19、alism and Abstract Entities， International Studies in the Philosophy of Science. vol.24 (2010), no.2, p.129-146. 目的：试图论证，一个自身协调一致的自然主义世界观应该蕴涵数学唯名论，即不存在所谓“抽象数学实体”。,引言,28,一种自然主义的数学哲学3、从自然主义到唯名论,对数学实践的完备的自然主义描述无须假设抽象实体 数学实践是大脑的活动，对数学实践的自然主义描述，最终是描述神经元活动及其与环境中的事物的物理相互作用。 这种描述无需也不能用“指称”等语义概念，也无需说大脑中一个实现数

20、学概念的神经元结构“指称”什么抽象实体。,基本论证,29,一种自然主义的数学哲学3、从自然主义到唯名论,大脑A正在将它的数学概念应用于描述实验室中的物理对象； 描述大脑A的数学实践活动，只需描述大脑A中的神经元如何活动、如何与实验室中的物理对象相联系等等，不必说大脑A中的神经元“指称”了什么数学对象； 大脑B在描述大脑A的活动，以及大脑A与实验室中的物理对象之间的联系； 大脑B中的神经元以相似的方式活动，与大脑A及实验室中的其它物理对象相联系； 大脑B中的神经元也不“指称”任何数学对象。,一个误解：描述神经元活动依旧需要用数学,30,一种自然主义的数学哲学3、从自然主义到唯名论,经典数学对科学

21、的不可或缺性仅仅意味着，某些形式的大脑神经元活动（比如，研究与应用经典数学而非直觉主义数学的大脑神经元活动），对于大脑认识世界来说是不可或缺的。 接受“存在大于1000的素数”这个语句，本身也是一些神经元活动，与抽象实体的存在性无关。 大脑中的由神经元实现的概念、思想，可以与物质性的事物产生自然化的“表示”或“真”关系，但这是物质性的联系，不是超出自然主义的“语义表示”、“指称”、或“真”。,其它一些澄清,31,一种自然主义的数学哲学3、从自然主义到唯名论,论证实在论有认识论难题，需要假设关于人类的认知能力的某些局限，如因果知识论假设。 这个论证是正面地说，大脑的数学实践活动无须与所谓抽象数学

22、实体相联系，而不是反面地说大脑由于其局限性不可能认识到抽象数学实体。 论证实在论有指称难题，也需要关于指称关系如何实现的假设，如因果指称论。 这个论证是正面地说，描述大脑的数学实践活动无须说明大脑指称了什么抽象数学实体，而不是反面地说大脑不可能指称到抽象数学实体。,与传统的反实在论论证的比较,32,一种自然主义的数学哲学3、从自然主义到唯名论,对论证的结论唯名论的定义无需用到“抽象实体”这个概念： 数学概念、思想、词项、语句本身是物理对象； 它们在大脑的认知活动中有相对抽象的功能； 它们与大脑外的物理对象间接地产生联系； 数学概念、思想、词项、语句等的意义在于它们的这些认知功能，及它们与大脑外

23、的物理对象的联系； 对数学概念、思想、词项、语句等在大脑中的认知功能，及它们与大脑外的物理对象的联系的自然主义描述，已经就是对大脑的数学实践的完备的描述。,与传统的反实在论论证的比较,33,一种自然主义的数学哲学3、从自然主义到唯名论,Quine同时接受人类是“物质世界的物质性居民（physical denizens in a physical world）”与数学实在论。 Quine的“承诺抽象实体”概念预设了超自然的承诺主体 如果一个大脑承诺了抽象实体，仅仅在于大脑以某种方式使用语言，那么这仅仅是大脑以某种方式进行神经元活动，说一种神经元活动方式是“承诺了抽象实体”是多余的。 只有将“我们

24、”理解为自然世界之外的“主体”，而不是作为物质世界一部分的大脑，才会由“我们”以某种方式使用语言，得出“我们承诺了外部世界”中有某种实体。,与Quine的比较,34,一种自然主义的数学哲学3、从自然主义到唯名论,Quine的信念之网： 外围为观察语句，与经验相联系； 核心包括数学与逻辑，承诺了抽象数学对象，描绘了抽象数学世界； 信念之网整体地接受经验的核证。 信念之网是大脑中的神经元结构；整体主义仅仅意味着，信念之网作为一个物理系统是整体地与环境相互作用。 只要不假设一个在信念之网背后的、利用信念之网去描绘“外部世界”的“主体”，不必说信念之网的核心描绘了“外部世界”中的抽象数学世界。,整体主

25、义也与抽象实体无关,35,一种自然主义的数学哲学3、从自然主义到唯名论,“去引号（disquotation）”指称论与真理论： “雪”指称雪；“雪是白的”是真的，当且仅当雪是白的。 指称抽象对象没有任何困难，“3”就指称3。 文字或作为神经元的概念与物理对象之间的指称关系，是物质性的事物之间的非常复杂的关系。 “雪”指称雪只是陈述了指称现象，没有给出关于指称机制的理论，好比“种瓜得瓜，种豆得豆”只是陈述了遗传现象，没有指出遗传机制。,“去引号”真理论也无助于拯救抽象实体,36,一种自然主义的数学哲学3、从自然主义到唯名论,“雪”指称雪的机制是可以给出的，即语义表示关系或意向性关系的自然化，但“

26、3”指称3的机制无法同样给出。 去括弧指称论带来一个幻觉，认为指称抽象对象与指称具体事物都是简单平凡的。,“去引号”真理论也无助于拯救抽象实体,37,一种自然主义的数学哲学,4、唯名论数学哲学的任务,38,一种自然主义的数学哲学4、唯名论数学哲学的任务,论文： What ant-realism in philosophy of mathematics must offer，Synthese， vol.175 (2010), no.1, p.13-31. 目的：指出目前的唯名论或反实在论数学哲学的不足，概括反实在论数学哲学应该完成的任务。,引言,39,一种自然主义的数学哲学4、唯名论数学哲学的任

27、务,如果数学对象不存在，那么数学知识是关于什么的知识？数学家的数学直觉、经验是关于什么的直觉与经验？ 实在论者提出，尊重数学家的数学知识、直觉、经验意味着接受实在论。 唯名论者应该指出数学实践中真正存在的是什么，并用这些真正存在的东西，对数学知识、直觉、经验做出与唯名论相一致的解释。 目前的唯名论数学哲学或者未尝试这一点，或者在尝试中依旧指称抽象事物。,数学知识、直觉、经验在于什么,40,一种自然主义的数学哲学4、唯名论数学哲学的任务,直观上，数学对象与物理对象之间有一些真实的关系，如黎曼空间与物理时空在结构上相似。这些关系是数学可应用的基础。 一些唯名论者提出，数学对象是虚构的对象，虚构对象

28、可以与物理对象相似，可以做模型模拟真实对象。 但虚构对象不存在，在什么意义上不存在的事物可以与物理对象相似，可以做模型？ 所以这只是比喻式的描述，不是真实的回答。 实在论者可以说，既然所谓虚构对象有这些真实属性，它们就在抽象的意义上存在。 唯名论者应说明，数学与物理对象之间的真实关系在于什么，并说明这如何是数学可应用的基础。,数学与物理对象的关系在于什么,41,一种自然主义的数学哲学4、唯名论数学哲学的任务,直观上，数学是客观的，不是随意编撰的故事。如果数学对象不存在，数学的客观性不在于抽象数学对象的客观存在性，那么数学的客观性在于什么，承认客观性是否蕴含着承认抽象实体？ 承认两个十进制数字相

29、加的结果的正确与否的客观性，是否意味着承认十进制加法运算规则或加法函数作为抽象实体的客观性？ 一些唯名论者可能否认数学的客观性，认为数学仅仅是虚构的故事。 但如果一个工程师的数学计算上的错误使得一座桥梁坍塌，那应该是一个客观的错误，而不仅仅是那个工程师编了一个与众不同的故事。,数学的客观性在于什么,42,一种自然主义的数学哲学4、唯名论数学哲学的任务,一些唯名论者称，5+7=12是字面意义上（literally）假的。 但显然有与“5+7=12”密切相关的知识、真理，孩子们在学习5+7=12显然学到了某种知识。 而且，这个知识在直观上是明显的、普遍的、必然的、与先天的。 真正重要的是解释，假如

30、作为抽象对象的自然数不存在，那么“5+7=12” 蕴含的是关于什么的知识，而它是否及为何是明显的、普遍的、必然的、与先天的。,算术的显明性、普遍性、必然性、与先天性,43,一种自然主义的数学哲学4、唯名论数学哲学的任务,在物理学家看来，宇宙有可能是有限、离散的。如果是，则假设无穷的实在性只能是假设了不存在于时空之中的抽象对象。 宇宙是有限还是无穷在物理学上没有定论，但数学哲学不应依赖于物理学假说。 而且无穷数学可应用于明显是有限、离散的事物，如经济学中；即使宇宙真是有限、离散的，我们还是一样应用经典数学。 所以，唯名论者对数学的解说不应以假设任何形式的无穷的实在性为基础。,唯名论者应回避假设无

31、穷的实在性,44,一种自然主义的数学哲学4、唯名论数学哲学的任务,否定数学定理为真理后，解释数学的可应用性，应该成为一种唯名论数学哲学的主要工作。 一些唯名论者只是给数学的可应用性贴了一个标签，如经验恰当性（empirical adequacy），而没有真实地解释数学的可应用性。 一些唯名论者解释数学的可应用性时假设了无穷。 一些唯名论者解释数学的可应用性时指称所谓“虚构对象”，因此他们的解释本身是字面意义上假的。 一些唯名论者没有讨论这个问题。,解释数学的可应用性,45,一种自然主义的数学哲学4、唯名论数学哲学的任务,将数学实践视为大脑的活动，对数学实践作完全地在字面意义上真的、科学的解释。

32、 以认知科学为基础解释数学知识、直觉、经验。 数学与物理对象的联系，最终在于大脑中由神经元实现的数学概念、思想与其他物理对象之间的联系。 数学的客观性在于大脑之间的相似性，以及大脑中的数学概念、思想与其它物理对象之间的联系上的客观性。,在彻底自然主义中完成这些任务的策略,46,一种自然主义的数学哲学4、唯名论数学哲学的任务,算术与逻辑的显明性、普遍性、必然性、与先天性，应该由大脑的由基因决定的内在结构与先天倾向，以及作为进化结果的大脑与环境之间的先天适应性来解释。 数学实践中所涉及的事物都是有限的，对数学实践的自然主义描述是严格地有穷主义的。 数学的可应用性，是有限大脑与有限环境的某类相互作用

33、中的规律性；抽象掉其中与逻辑无关的细节，它成为经典数学中的概念、陈述如何可以帮助推导关于有限事物的真理这个逻辑问题。,在彻底自然主义中完成这些任务的策略,47,一种自然主义的数学哲学,5、数学的可应用性的逻辑解释,48,一种自然主义的数学哲学5、数学的可应用性的逻辑解释,著作、论文： Strict Finitism and the Logic of Mathematical Applications, forthcoming in Synthese Library by Springer. The applicability of mathematics as a scientific and

34、 a logical problem Philosophia Mathematica, vol.18 (2010), no.2, p.144-165. /cgi/content/abstract/nkp014 目的：提出一个对经典数学在科学中的可应用性的严格有穷主义的，与物理主义世界观相容的逻辑解释。,引言,49,一种自然主义的数学哲学5、数学的可应用性的逻辑解释,一个数学应用过程，是一个涉及大脑中的数学推理等活动，以及大脑中的事物与大脑外的事物的自然化的对应关系的一个物理过程,物理主义世界观中的数学应用,物理前提,自然化的真,自

35、然化的真,数学化的物理假说,物理结论,数学结论,模拟,数学证明,解释,大脑,抽象思想,50,一种自然主义的数学哲学5、数学的可应用性的逻辑解释,数学的可应用性意味着某一类自然现象中的规律性，即在那一类大脑的数学应用过程中，只要存在物理前提与环境中的事物之间的自然化的对应关系，就一定存在物理结论与环境中的事物之间的自然化的对应关系。 类似于一类物理过程中的某个物理量的守恒性 解释数学的可应用性意味着科学地解释这一类自然现象中的规律性。 可应用性问题是一个科学问题，对可应用性的解释是一个科学解释。,可应用性的自然化,51,一种自然主义的数学哲学5、数学的可应用性的逻辑解释,解释数学的可应用性时可以

36、忽略所有心理学上的细节，比如可以假设大脑中的概念、思想就是某个形式语言中的项与公式。 可以忽略自然化的对应关系中的细节，将其模拟为形式语言与语义模型之间的满足关系。 因此，可应用性成为一个逻辑问题，解释可应用性成为逻辑上的技术性的工作。,可应用性问题可以抽象成逻辑问题,52,一种自然主义的数学哲学5、数学的可应用性的逻辑解释,关于无穷数学对象的数学公理，对于表达关于宇宙中有限事物的假说，推导关于它们的结论，是否绝对地不可或缺。 无穷数学的证明如何保持对有限事物的真理性；是否可能将数学应用过程，表达为从关于有限具体事物的真假设，到关于有限具体事物的真结论的逻辑有效的推导。 应用无穷数学如何简化了关于