一次函数之最短路径问题

1、一次函数之 最短路径问题,1、能用一次函数的知识解决最短路径问题，体会数形结合思想。 2、能够从复杂问题中抽象出“最短路径”的基本数学模型。 3、提高数学建模能力，感受数学学习乐趣。,任务目标,一次函数之 最短路径问题,知识储备任务,1、点m (4,-1)关于x轴对称点的坐标为 ，关于y轴对称点的坐标为 . 2、直线y=kx+b过点a（2，-3）和点b(4,1),则这条直线解析式为： . 它与x轴交点坐标为 ，与y轴交点坐标为,3、直线y=x和直线y= 的交点坐标为,(4,1),(-4,-1),(0,-7),(2,2),( ,0),y=2x-7,任务要求： 自主独立完成,小明家住在b地，小明带

2、着牛在a地吃完草后到小溪m中饮水，然后再回家，请问小明带着牛到小溪m的什么地方喝水能使所走的路径最短？,学习任务一,m,原理：两点之间线段最短,如图，已知平面直角坐标系中，a、b 两 点的坐标分别为a (2,3）b (4, 1），若点p是x 轴上的一个动点， 则当p点坐标为 时， ap+bp的值最小,学习任务一,x,y,a,b,(2，-3）,(4，1）,小明家搬到了小溪对面的b处，他带着牛在a处吃完草后先到小溪喝水，再回家，请问这次小明带着牛到小溪l的什么地方喝水能使所走路径最短？,学习任务二,a,b,a,p,ap+bp最短 原理：两点之间线段最短,变式一：如图，已知平面直角坐标系中，a、b

3、两点的坐标分别为a (2,3） b (4,1），若点p是x 轴 上的一个动点，则当p点坐 标为 时， ap+bp的值最小,学习任务二,y,x,a,b,任务要求： 自主独立完成,最短路径问题,如图，已知平面直角坐标系中，a、b 两点的坐标分别为a (2,3）b (4,1），若点p是x 轴上的一个动点，则当p点坐标为 时，ap+bp的值最小,a,a1（2，3）,a1b,2k+b=3,4k+b=-1,k=-2,b=7,a1b,-2x+7,最短路径问题,如图，已知平面直角坐标系中，a、b 两点的坐标分别为a (2,3）b (4,1），若点p是x 轴上的一个动点，则当p点坐标为 时，ap+bp的值最小,

4、变式二：（10年天津中考 25 ） 在平面直角坐标系中，矩形 的顶点o在坐标原点，顶点a、b分别在x轴、y轴的正半轴上， ， ， d为边ob的中点. (1)若e为边oa上的一个动点， 当cde的周长最小时， 求点e的坐标；,任务演练,e,如图，作点d关于x轴的对称点 ， 连接 与x轴交于点e,即为所求。 由题意得c(3,4) d(0,2) 所以 （0，-2） 设直线c 为y=kx+b 则 3k+b=4 解得 k=2 b=-2 b=-2 所以直线c 解析式为y=2x-2 当y=0时 x=1 所以e(1,0),任务演练,e,(3,4）,(0，2）,(0，-2）,变式三：如图，平面直角坐标系中有正方

5、形oabc,b(6,6), d为oc中点，在直线ob:y=x上有一动点p,当p点坐标 为 时， cdp周长最小。,任务演练,任务演练,因为四边形oabc为正方形，ob为对角线，连接ac, ac与ob互相垂直平分，所以c点关于直线ob的对称 点为a点。连接ad交ob于点p,即为所求。,y= x+3,由题意得a(6,0) d(0,3) 设直线ad为y=kx+b 则 6k+b=0 解得 k= b=3 b=3 所以直线ad解析式为y= x+3 x=2 解得 y=x y=2 所以p(2,2),p,任务演练,p,y= x+3,由题意得a(6,0) d(0,3) 设直线ad为y=kx+b 则 6k+b=0

6、解得 k= b=3 b=3 所以直线ad解析式为y= x+3 x=2 解得 y=x y=2 所以p(2,2),变式三：如图，平面直角坐标系中有正方形oabc,b(6,6), d为oc中点，在直线ob:y=x上有一动点p,当p点坐标 为 时，cdp周长最小。,最小周长为多少？,a/,b/,p,q,小明带着牛在a处，打算带着牛先去吃草，然后到河边喝水，再回家，请问这次小明带着牛怎样走能使所走路径最短？,学习任务三,变式四：如图，已知平面直角坐标系中，a、b两点的坐标分别为a(2,3）b(4,1）， 设点p、q分别为x轴和y轴上的动点， p(p,0)，q(0,q)，四边形 apqb周长最小时 p=

7、,q= .,学习任务三,学习任务三,作点a(2,-3)关于y轴对称点a(-2,-3),点b(4,-1)关于x轴对称点b(4,1),连接ab,分别交x轴y轴于点p和点q,即为所求。,设直线ab解析式为y=kx+b 则 -2k+b=-3 解得 4k+b=1 直线ab解析式为：,(4,1),(-2，-3）,1、,e,求pa+pb的最小值,任务小结,3、,求ap+pq+qb的最小值,这节课除了又巩固了这些最短路径的基本模型外，你还有哪些收获？,要善于利用一次函数的知识来解决问题哦！体会数形结合思想！,任务拓展,小明家搬到了河对面的居民区b地，现在他带牛在a地吃完草后再回家需要在河上建一座桥mn， 桥在

8、何处才能使从a到b的路径amnb最短？,变式五：如图，已知平面直角坐标系中，a、b 两点的坐标分别为a(2,3）b(4, 1）， 若点p(m,0)和点q(m+1,0) 是x轴上的两个动点， 则当m= 时， ap+pq+qb最小,任务拓展,任务拓展,将点b(4,1)向左平移1个单位到b(3,1),连接ab交x轴于点p,再将点p向右平移一个单位即为点q,设直线ab解析式为y=kx+b 则 2k+b=-3 解得 k=4 3k+b=1 b=-11 所以直线ab解析式为 y=4k-11 当y等于0时，x= 所以m=,(2，-3）,(3,1）,变式六：（10年天津中考 25 ）在平面直角坐标系中，矩形oa

9、cb的顶点o在坐标原点，顶点a、b分别在x轴、y轴的正半轴上，oa=3，ob=4,d为边ob的中点. （）若e、f为边上的 两个动点，且ef=2, 当四边形cdef的周长 最小时，求点e、f的坐标.,任务拓展,作点d(0,2)关于x轴对称点d(0,-2),将点c(3,4)向左平移2个单位到点g(1,4),连接dg交 x轴于点e,在ea上截取ef=2.,任务拓展,1、,l,求pa+pb的最小值,任务小结,3、,求ap+pq+qb的最小值,数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非。 华罗庚,1、如图，平面直角坐标系中有正方形oabc边长为6,直线ac解析式为y= -x+6, m为oa中点,线段oc和ac上分别有两动点p、q，若使mpq周长最小， 则p点坐标为 ， q点坐标为 .,课下任务,课下任务,作点m(3,0)关于y轴对称点m(-3,0),关于直线ac的对称点m,因为正方形oabc,所以m为ab中点，即m（3,3),连接mm,分别交oc、ac于点p和点q,即为所求,此时mpq周长最小,用待定系数法求出直线mm 解析式为,2、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点a（2，0），b（0，4）。（1）求该函数的解析式；（2）o为坐标原点，设oa、ab的中点分别为c、d，p为ob上一动点，求pc+pd的最小值，并求取得最小值时