选修2-1空间向量与立体几何教案

1、空间矢量和立体几何一、知识网络：空间矢量和立体几何空间向量及其运算立体几何中的矢量方法空间向量的加减空间向量的乘法运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算共线向量定理面向公共的向量定理空间向量的基本定理平行和垂直条件矢量夹角和距离直线的方向向量和平面的法向量用空间向量证明平行和垂直问题找到空间角度找到空间距离二。教学大纲的要求：(1)空间向量及其运算(1)经历向量及其运算从平面到空间的扩展过程；(2)理解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；(4)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，利用向量的数量积判断向量的共线性和

2、垂直度。(2)空间矢量的应用(1)了解直线的方向向量和平面的法向量；线、线、面的垂直和平行关系可以用矢量语言表达；关于线与平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)可以用向量法证明；矢量法可以解决线、线、面之间夹角的计算问题，实现矢量法在研究几何问题中的作用。三、命题趋势本章主要涉及空间矢量的坐标和运算，以及空间矢量的应用。本章是立体几何的核心内容。高考本章的考试形式是以客观题的形式考查空间向量的概念和运算，并借助空间向量结合主观题找出夹角和距离。预计10年高考本章内容的考试将侧重于向量的应用，尤其是角度和距离。教材淡化了利用空间关系寻找角度和距离的解释，增加了向量的应用。因此，作为立体几何解，

3、矢量法将是处理角度和距离的主要方法，在复习中应加强这方面的训练。第一课时的空间向量及其运算首先，回顾目标：1 .理解空间矢量的概念；掌握空间向量的加法、减法和乘法；2.理解空间向量的基本定理；3.掌握空间向量数量积的定义和性质；理解空间矢量夹角的概念；掌握空间向量数量积的概念、性质和运算规律；理解空间向量数量积的几何意义；向量的共线性和垂直度可以通过向量的数量积来判断。重点和难点：理解空间向量的概念；掌握空间矢量的运算方法第三，教学方法：分析、类比、归纳，教学与实践相结合第四，教学过程(一)、谈谈最新的高考命题考试大纲要求和新课程标准，提倡积极参与。学生阅读p128的恢复教育，教师对其进行评论

4、，以提高他们的目标和参与意识。(二)、知识梳理、方法定位。(学生完成恢复就业第p128页的填空题，教师必须对问题进行评论。)。1.空间向量的概念向量：在空间中，我们称一个有大小和方向的量为向量。如位移、速度、力等。等矢量：长度相等、方向相同的矢量称为等矢量。表示方法：用有向线段表示，方向相同、长度相等的有向线段表示相同的向量或相等的向量。不列颠哥伦比亚o a说明：根据等向量的概念，向量被平移到空间中的任意位置，并且仍然等于原始向量，原始向量由方向相同、长度相等的有向线段表示；平面向量只研究同一平面上的平移，而空间向量研究空间上的平移。2.向量运算和运算注：当我们说我们共线时，对应的有向线段的直

5、线可以是同一直线或平行直线；当我们说话和平行时，我们有相同的意思。共线向量定理：对于空间中的任意两个向量(),，存在实数的充要条件是=(1)对于一个确定的和，=表示在空间中平行或共线的所有向量，其长度为| |，当0时它们在同一个方向，当0时在相反的方向。(3)如果直线l，p是l中的任意一点，o是空间中的任意一点，则根据上述定理导出以下表达式。推论：如果l是一条通过已知点a并平行于已知非零向量的直线，那么对于任何点o，直线l上点p的充要条件是有一个实数t，它满足等式这个向量叫做直线的方向向量.如果你把它放在l上，公式可以转化成公式此时，点p是线段ab的中点，然后是(1)或(2)称为空间直线的矢量

6、参数表达式，而(3)是线段ab的中点公式。注：(1)表达式()和()不仅是表达式和的基础，也是线性参数方程的常用表达式；运用推理：解决三点共线性问题。用三角法则记忆方程。4.向量平行于平面：如果表示向量的有向线段的线平行于平面或在平面中，我们说向量平行于平面，表示为。注意：向量和直线a的联系和区别。共向量：我们称平行于同一平面的向量为共向量。共向向量定理如果两个向量不共线，向量与向量共面的充要条件是存在实数对x和y，因此注：像共线向量定理一样，这个定理包括两个方面：性质和判断。推论：空间中的点位于mab平面的充要条件是存在一个有序的实数对，所以对于空间中的任何给定点，都有在mab平面中，对应于

7、点p的实数对(x，y)是唯一的。(1)这个表达式叫做平面mab矢量表达式。再次将代入，并整理出来对于空间中的任意点p，只要满足等式、和中的一个(它们只是形式不同的同一个等式)，点p就在mab平面上；方程、和适用于平面mab中的任意点p，因此方程、和是由两个非共线矢量(或非共线的三个点m、a和b)确定的空间平面的矢量参数方程，也是四个点m、a、b和p共面的充要条件。5.空间向量的基本定理：如果三个向量不共面，那么对于空间中的任何向量都有一个唯一的有序实数组x，y，z，所以说明：(1)根据上述定理，如果三个向量，不共面，那么由所有空间向量组成的集合就是，这个集合可以看作是由向量、生成的，所以我们称

8、、为空间的基，而、都称为基向量；空间中任意三个非共向量都可以作为空间向量的基。(3)基指向量组，基向量指基中的某个向量，它们是相关的不同概念；(4)因为它可以被视为与任何非零向量共线。与任意两个非零向量共面，因此，如果三个向量不共面，这意味着它们都不共面。推论：如果o，a，b和c是四个不共面的点，那么对于空间中的任何点p都有一个唯一的有序实数组，这使得6.数量产品(1)夹角：如果已知两个非零向量，取空间中的任意点o，则角aob称为向量与之间的夹角，记录为abo(1)注：(1)0so=；(2)如果=，它被说成是互相垂直的，并被记录为；abo(2)表示两个矢量之间的角度时，使有向线段的起点重合，注

9、意图(1)和图(2)中两个矢量之间的不同角度。在图(1)中，aob=，在图(2)中，aob=，所以有=。(2)向量模：表示向量的有向线段的长度称为向量长度或向量模。(3)矢量的数量积：称为矢量的数量积，记录为。abl那是=，向量：(4)性质和作业率.=0 = (3)。典型案例分析问题1:空间向量的概念和性质例1。有以下命题：如果一个向量和任何向量不能构成一个空间向量的一组基，那么这种关系是非共线的；如果空间中有四个点，并且向量不构成空间的基，那么这些点必须是共面的；(3)知道向量是空间的基础，向量也是空间的基础。正确的命题是()。 分析：例如“如果一个向量和任何向量不能构成一个空间向量的一组基

10、，那么这种关系必须是共线的”；所以(1)错误。 正确。问题2:空间矢量的基本运算例2，如图所示：在平行六面体中，它是和的交集。如果、那么等于下列向量的向量是()分析：显然；答案是。备注：用平面向量类比表达平面位置关系的过程，掌握空间向量的用途。用向量法处理立体几何问题，使线与平面之间复杂的空间关系成为代数关系，本课题考查了向量的基本等式和与向量的加法，并考查了学生的空间想象能力。示例3:已知：并且不共面。如果，求值。解决方案：，也就是说它们不是共面的，备注：在计算空间矢量时，我们注意如何实现空间矢量的共线定理。例4:在底面为正三角形的斜棱镜abc-a1b1c1中，d为交流的中点，并验证了abc

11、平面为c1bd。证据：和共面。* b1平面c1bd，ab1/平面c1bd。(4)加强巩固和引导1.众所周知，在立方体abcd-a1b1c 1 d1中，点f是边cdd1c1的中心。如果是，找出x-y的值.解决方案：容易找到2.在平行六面体中，m是交流电和直流电的交点。如果a、b和c，则等于下列向量的向量是(a)。abcd第一等的c1b1a.-a+b+c b.a+b+cc.a-b+cd。-a-b+c3.(四川体积理论，2009)如图所示，众所周知，正三棱柱的所有边都是等长的，都是侧边的中点，所以不同平面上的直线形成的角度大于。分析：让我们将边长设置为2，然后选择基本向量，请填写。(5)概述：1 .

12、立体几何中关于垂直度和平行度的一些命题可以用向量运算来证明。对于垂直度，一般用 bab=0来证明。对于平行性，一般用共线矢量和共矢量定理来证明。然后计算对应于该向量的模块。在计算过程中，只要运用好加法规则，向量总是可以用已知的具有模和夹角的向量来表示，从而得到结果。3.有时使用向量来寻找夹角(线-线夹角、线-面夹角、面-面夹角)是很方便的。一般的方法是将角度转换成两个矢量之间的角度。两个矢量之间的角度可以通过使用公式cos=0 . 4来获得。不同平面上直线之间距离的矢量法：已知不同平面上的直线l1、l2和ab是它们共同的垂直线，c和d是l1和l2上的任意点，它们是共线矢量，那么| |=.5。假

13、设平面的法向量是，点p是平面之外的一个点，而po (6)作业：课本p32页，a组，2组，3组，4 b组，3组课外练习：课本p39页a组8个；b组，3；p130页变体培训中的1、2、3、5、6五、教学反思：第二课时空间矢量的坐标运算首先，回顾目标：1 .理解空间矢量坐标的概念；2.掌握空间矢量的坐标运算；3.掌握直角坐标下空间矢量的数量积计算公式；掌握空间两点间的距离公式。重点和难点：掌握空间矢量的坐标运算；掌握直角坐标下空间矢量的数量积计算公式；掌握空间两点间的距离公式。第三，教学方法：分析类比和归纳，教学与实践相结合第四，教学过程(1)通过基础知识考试(学生完成以下填空题)1.空间直角坐标系

14、：(1)如果一个空间基的三个基向量相互垂直，并且长度为0，这个基称为单位正交基，其表示为：(2)选择空间中的一个点和一个单位正交基，以该点为原点，以方向为正方向，建立三个数轴：轴、轴和轴，称之为坐标轴。我们说我们已经建立了一个空间直角坐标系，这个点叫做原点，这个向量叫做坐标向量。穿过每两个坐标轴的平面称为坐标平面，分别称为平面、平面和平面。2.空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对于空间中的任何一点，都有一个唯一的有序实数组，所以有序实数组称为空间直角坐标系中矢量的坐标，称为横坐标、纵坐标和纵坐标。3.让甲=，乙=(1) ab=.(2) a=。(3) ab=。(4)ab；ab。(5)模

15、数长度公式：如果，那么。(6)角度公式：(7)两点间距离公式：如果，那么(8)设计然后=，ab中点m的坐标是。4.直线的方向向量定义为。如何求直线的方向向量？5.平面的法向量定义为。如何求平面的法向量？(二)典型问题分析问题1:空间矢量的坐标例1，(1)已知两个非零向量=(a1，a2，a3)=(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是()a.|=:|b.a1b1=a2b2=a3b3c.a1b1 a2b2 a3b3=0d。有一个非零的实数k，所以=k。(2)已知向量=(2，4，x)，=(2，y，2)，如果|=6，那么x y的值是()a.-3或1 b.3或-1c-3d . 1(3)下列向量共面()a.=(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)b.=(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)c.=(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)d.=(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)分析：(1)d；指向：通过共线矢量对齐很容易知道；(2)拨号：从标题或；(3)指向：可以从公共向量的基本定理得到。注释：空间矢量的坐标运算除了量的乘积之外，还检查共线和垂直时的参数值。例2:已知三个点a (-2，0，2)，b (-1，1，2)和c (-3，0，4)。设=，=，(1)求和的夹角；