【精品课件】数学：2.5.1《平面几何中的向量方法》课件(新人教A版必修4).ppt

1、2.5 平面向量应用举例,2.5.1 平面几何中的向量方法,平面几何中的向量方法,向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。,平面几何中 的向量方法,利用夹角公式,(3)求夹角问题 ， (4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|= 或|AB|=|AB|= .,探究（一）：推

2、断线段长度关系,思考3：AB=2，AD=1，BD=2，用向量语言怎样表述？,思考4：利用 ，若求 需要解决什么问题？,思考6：根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？,平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.,思考7：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？,例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示.,解：设 ，则,求证：,你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问

3、题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素.,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形,探究（二）：推断直线位置关系,思考1：三角形的三条高线具有什么位置关系？,交于一点,证明PCAB.,思考4：对于PABC，PBAC，用向量观点可分别转化为什么结论？,思考5：如何利用这两个结论: a(cb)0，b(ac)0 推出c(ab)0？,探究（三）：计算夹角的大小,思考2：设向量 a， b，可以利用哪个向量原理求A的大小？,思考3：以a，b为基底，向量 ， 如何表示？,思考4：将CD

4、BE转化为向量运算可得什么结论？,思考5：因为ABC是等腰三角形，则|a|=|b|，结合上述结论: ab = (a2b2 ),cosA等于多少？,例2 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC相交于点R、T，试推断AR、RT、TC的长度具有什么关系，并证明你的结论.,结论:AR=RT=TC,解：设 则,由于 与 共线，故设,又因为 共线， 所以设,因为 所以,不共线，,故AT=RT=TC,例3：如图4-4-1,在RtBAC中,已知BC=a,若长为 2a 的线段PQ以点A为中点,问PQ与BC的夹角取何值时BPCQ的值最大?并求出这个最大值.,【分析】 解

5、答本题的关键是要结合图形,利用向量 的三角形法则找出向量之间的关系;或建立适当的坐标系,利用向量的坐标形式来解答.,【解析】解法一:ABAC，ABAC=0. AP=-AQ,BP=AP-AB,CQ=AQ-AC, BPCQ=(AP-AB)(AQ-AC)=APAQ-APAC-ABAQ+ABAC=-a2-APAC+ABAP =-a2+AP(AB-AC)=-a2+ PQBC=-a2+a2cos，故当cos=1,即=0(PQ与BC的方向相同)时,BPCQ最大, 其最大值为0.,解法二:以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设|AB|=c,|AC|=b, 则A(0,

6、0),B(c,0),C(0,b). 且|PQ|=2a,|BC|=a, 设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y). BP=(x-c,y),CQ=(-x,-y-b), BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y), BPCQ=(x-c)(-x)+y(-y-b) =-(x2+y2)+cx-by.,【评析】 平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起, 使它们之间的相互转化得以实施.因此,一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量积转化为实数问题,利用实数的有关知识来解决问题;另一方面,也要善于把实数问题转化为向量问题,利用向量作工具来解决相关问题., , cx-by=a2cos,BPCQ=-a2+a2cos. 故当cos=1,即=0(PQ与BC方向相同）时，BPCQ最大，其最大值为0.,练习、证明直径所对的圆周角是直角,如图所示，已知O，AB为直径，C 为O上任意一点。求证ACB=90,分析：要证ACB=90，只须 证向量 ，即 。,解：设 则 ， 由此可得：,即 ，ACB=90,思考：能否用向量坐标形式证明？,小结作业,2.用向量方法研究几何