离散型随机变量均值和方差（2课时）（选修23）

1、1,2.3 离散型随机变量的均值和方差,一、复习回顾,1、离散型随机变量的分布列,2、离散型随机变量分布列的性质：,(1)pi0，i1，2，； (2)p1p2pi1,这次咱班期中考试第一名同学各门成绩为： 10288109707851 那平均成绩是多少？,算术平均数：,加权平均数,期中数学考试成绩为70，平时成绩为60，大学规定：在学分记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩占60%、平时成绩占40%，最终的数学成绩为多少？,对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体

2、水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.,引例1：某商场为满足市场需求要将单价分别为 18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的3种糖果按3：2：1的 比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？,181/2+241/3+361/6 =23,=18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36),均值,二、互动探索,则称 为随机变量 X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。,一般地,若离散型随机变量X的概率分布

3、为,它反映了离散型随机变量取值的平均水平。,1、离散型随机变量均值的定义,归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤：,、确定离散型随机变量可能的取值。,、写出分布列，并检查分布列的正确与否。,、求出均值(期望)。,引例2、随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子 的点数X的均值,解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6,其分布列为,所以随机变量X的均值为E（X）=1 1/6+2 1/6 +31/6+4 1/6+5 1/6+6 1/6=3.5,你能理解3.5 的含义吗？,设YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量 （1） Y的分布列是什么？ （2） E(Y)=？,思考：,12,13,三、基础训

4、练,1、随机变量的分布列是,(1)则E()= .,2、随机变量的分布列是,2.4,(2)若=2+1，则E()= .,5.8,E()=7.5,则a= b= .,0.4,0.1,15,四、例题讲解,16,已知随机变量X的分布列为 求：(1)E(X)； (2)若Y5X4，求E(Y),练习：,解析(1)由随机变量分布列的性质， 得 0.4m0.31. m0.3，E(X)00.420.340.31.8. (2)方法一：Y5X4， 随机变量Y的分布列为：,E(Y)40.4140.3240.3 1.64.27.213. 方法二：Y5X4， E(Y)E(5X4)5E(X)451.8413. 点评(1)求期望关

5、键是求分布列，然后直接套用期望公式；(2)对于aXb型的随机变量，利用期望的性质E(aXb)aE(X)b求解较简捷,20,21,22,23,24,某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得100分假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响 (1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和均值； (2)求这名同学总得分不为负分(即X0)的概率,练习：,解析(1)X的可能取值为300、100、100、300. P(X300)0.230.008， P(X100)30.220.80.096， P(X100)30.20

6、.820.384， P(X300)0.830.512. 所以X的概率分布为,分析(1)求X的可能取值，即是求得分，答对0道题得300分，答对1道题得100200100分，答对两道题得2100100100分，答对3道题得300分； (2)总分不为负分包括：总分为100分和总分为300分两种情况,E(X)(300)0.008(100)0.0961000.3843000.512180. (2)这名同学总得分不为负分的概率为P(X0)0.3840.5120.896.,28,2.3 离散型随机变量的均值和方差,29,30,31,32,(3)若X服从两点分布B(1，p)，则D(X)p(1p),33,34,

7、35,例2:已知随机变量X的分布列是 试求D(X)和D(2X1) 分析已知分布列求方差，可先求出均值，再套用公式计算,解析E(X)00.210.220.330.240.11.8. D(X)(01.8)20.2(11.8)20.2(21.8)20.3(31.8)20.2(41.8)20.11.56. 对于D(2X1)，可用两种方法求解 方法1：2X1的分布列如下表： E(2X1)2.6. D(2X1)(12.6)20.2(12.6)20.2(32.6)20.3(52.6)20.2(72.6)20.16.24.,方法2：利用方差的性质 D(aXb)a2D(X)D(X)1.56. D(2X1)4D(

8、X)41.566.24. 点评求随机变量函数YaXb的方差，一是先求y的分布列，再求其均值，最后求方差；二是应用公式D(aXb)a2D(X)求,例3.已知某运动员投篮命中率p0.6. (1)求一次投篮命中次数X的期望与方差； (2)求重复5次投篮时，命中次数的均值与方差 分析(1)投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数X服从两点分布 (2)重复五次投篮的投中次数服从二项分布,解析(1)投篮一次命中次数X的分布列为 则E(X)00.410.60.6， D(X)(00.6)20.4(10.6)20.60.24. (2)由题意，重复5次投篮，命中次数服从二项分布，即B(5,0.6) 由二项分布期望与

9、方差的计算公式，有 E()50.63，D()50.60.41.2.,点评求离散型随机变量的期望与方差的关键环节是以下两点： (1)写出离散型随机变量的分布列； (2)正确应用均值与方差的公式进行计算(要熟练掌握两点分布、二项分布的期望与方差的公式),例4:一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分某学生选对任一题的概率为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差,解析设该学生在这次数学测验中选择正确答案的个数为，所得的分数(成绩)为，则4. 由题知B(25,0.6)，E()250.615，D()250.60.46， E()E(4)4E()60，D()D(4)42D()16696. 该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.,1设随机变量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，则() An8，p0.2 Bn4，p0.4 Cn5，p0.32 Dn7，p0.45 答案A,课堂练习,答案C