双曲型方程组

1、双曲型守恒律方程组1. 拟线性双曲型守恒律方程初值问题拟线性双曲型守恒律方程组初值问题的一般形式为（1）其中 ，以及 都是维向量，分别叫做守恒变量、通量和初值。在初值问题（1）中， 要求守恒变量具有紧支集，即：集合 的闭包为有界集。从而存在常数 ，使得：当 时， ； 要求通量满足归零条件，即：当 时， 。例1：单个守恒律方程初值问题（2）例2：一维气体力学方程组初值问题（3）其中（对于完全气体，利用关系式 ，其中的 是比热比）2. 守恒性任取 ， ，将方程（1）在区间 上积分，得即但根据 、 的选取，有 ，所以有令 ， ，就得到（4）此式对任意的 都成立。这表明， 是一个与时间无关的常数，或者

2、说，这个量是一个守恒量。对任意的 ，再将（4）时在区间 上积分，得也就是从而有即3. 非守恒形式定义通量的Jacobi矩阵则方程组（1）可写成即（5）称为方程组（1）的非守恒形式。例3：对于一维气体力学方程组（3），引入音速 ，则所以 ，于是上述Jacobi矩阵最终可写成4. 双曲型方程组对于方程（5），以及相应的守恒形式（1），定义：若矩阵 的所有特征值都是实数，并且矩阵 是可对角化的，则称方程（5）是双曲型的。（注）关于“矩阵 是可对角化的”，有以下几种等价的描述： 矩阵 是可对角化的： 矩阵 可以通过相似变换，变换成一个对角矩阵 ； 存在可逆矩阵 ，使得 是对角矩阵； 矩阵 存在个线性无

3、关的特征向量。事实上，以上述个线性无关的特征向量为列，就得到矩阵 。例4：对于单个守恒律方程（2），矩阵 成为标量 ，所以其特征值也是 。5. 不变性考虑因变量的变换，设则方程组（5）可写成定义因变量变换的Jacobi矩阵则上式就是如果矩阵 可逆，就是记 ，就是经过因变量变换，双曲型方程中的矩阵 变成了矩阵 。上述推导表明， 与 相似。如果 能够相似于对角矩阵，则 也相似于对角矩阵。也就是说，双曲型方程组经过因变量变换还是双曲型方程。或者说，方程组的双曲性质在因变量变换下具有不变性。例5：对于一维气体力学方程组（3），如果用原变量表示，可写成或写成记 ， 就是对于一维气体力学方程组（3），如果

4、将守恒变量 换成原变量 ，例2中的Jacobi矩阵 变成了这里的矩阵 。根据双曲性方程组的不变性，这两个矩阵是相似的，从而有相同的特征值。显然，计算矩阵 的特征值更容易些。事实上，由这样，我们很容易就求出了矩阵 ，同时也是矩阵 的三个特征值 ， ， 6. 特征线特征线是双曲型方程的重要性质，我们先通过一个线化的模型方程对此展开讨论。考虑对流方程初值问题考虑 平面上由方程 确定的一族平行直线（因为这里的 为常数）。沿着这族直线中的任意一条， 成为 的函数，所以方程的解 也是 的函数。所以有也就是说，沿着这族曲线中的每一条，方程的解都是常数。这样的曲线称为该方程的特征线。从而有以下结论：对于双曲型

5、方程，沿着方程的特征线，方程的解为常数。如图，对 平面（上半平面，）上的任何一个点 ，设过 点的特征线与 轴相交于 点，根据上面的性质，就有 。（附）对于对流方程初值问题， 所以这样，利用特征线的性质，我们实际上已经得到了初值问题的解。对于标量守恒律方程记 ，可有非守恒形式此时，上面的所有推导依然成立。沿一条特征线，由于 为常数，所以 也是常数，因此特征线仍是直线。但对于不同的特征线， 的变化导致特征线斜率 的变化，所以此时的特征线不再是一族平行直线，这是非线性方程与线性方程之间的重要区别。行波稀疏波压缩波线性非线性此外，虽然初值问题的解仍可写成但由于右端隐含了 ，上式并没有给出显式的解。7.

6、 Riemann不变量再考虑拟线性双曲型守恒律方程组。直接考虑非守恒形式根据方程组的双曲性，有 。其中，矩阵 是对角矩阵，其对角线元素就是矩阵 的特征值 （）；矩阵 是可逆矩阵，其列向量 就是对应的右特征向量，即 ；还可以证明，逆矩阵 的行向量 就是对应的左特征向量，即有 。于是，用 左乘方程组两端，可将方程组解耦，成为 个独立的方程式（）此时，引入变量 ，满足 。则上式成为（）于是，根据上一节的特征线理论，可定义（方程组的）第 族特征线而沿着其中的每一条特征线，都有 常数 。因此将 称为（方程组的）第 个Riemann不变量。（注）由 ，取转置，得 ，所以矩阵 的左特征向量实际上就是矩阵 的

7、右特征向量。在因变量变换 下，考虑行向量 ，则而根据双曲型方程组的不变性， ，有所以 恰好就是矩阵 的左特征向量。此时，这表明，Riemann不变量是双曲型方程组在因变量变换下的不变量。例6：对于一维气体力学方程组， ， ，所以 设 是矩阵 的左特征向量，则 ，即 。对特征值 ，由 ，有方程组 ，解得 ，取 ，则 ，所以 ，从而所以 就是熵。对特征值 ，由 ，有方程组 ，解得 ，取 ，则 ，所以 ，从而对绝热等熵流动，有 ，所以从而最终得到 ， 8. Riemann问题考虑一个截面积不变的无限长直管，在直管内的 处有一金属膜片。在膜片左侧（）的管道内充满了一种气体，其密度为 ，压力为 ；而在膜

8、片右侧（）的管道内则充满了另一种气体，其密度为 ，压力为 。设在 时刻，金属膜片被突然打破，考虑直管内两种气体在破膜后的流动。这一问题称为激波管问题。可以证明，激波管问题存在自相似解，即：所有的流动参数都是组合自变量 的函数 ， ，对于激波管问题的解，有如下的描述（解的波系结构）。在 时刻，将产生两个波，分别在两种气体中传播。第一种气体中的波记作 ，向左传播；第二种气体中的波记作 ，向右传播。根据两种气体的状态不同，波 和 ，既可以是激波（强间断），也可以是中心稀疏波（弱间断）。第一种气体经过波 ，达到新的常数状态 ， ；而第二种气体经过波 ，也达到新的常数状态 ， 。由于是无粘流，两种气体不

9、会掺混，两者之间始终保持着一个接触面，称为接触间断。但是这个接触间断不是静止不动的，而是移动的（也就是会传播的），这就形成了第三个波，记作 。纵上所述，激波管问题的解在 平面内被上述三个波分成了四个区域，每个区域内的解都是常数。这些常数解的区域由各种波分隔开，如下图所示。激波管问题可以用一维气体力学方程组间断初值问题（6）来描述，称为Riemann问题。9. 弱解作为一个典型的例子，Riemann问题表明，双曲型方程组的解并不总是连续的、光滑的，可以产生间断。这样的间断解显然不能用传统的方式来描述，需要引进弱解的概念。记 平面的上半平面（）为区域 ，考虑函数集合 有界任取 ，则由 的有界性，一

10、定存在 和有限区间 ，使得 在矩形区域 的三条边界 、 和 以及边界以外的区域上等于零。用 乘以方程组（1）的两边，并在矩形区域 上积分，得分部积分这里， 表示矩形区域 的边界。在组成 的四条边上， 只在 这一条边上有可能不等于零，而沿着这条边， ，所以上式中的边界积分变成从而有即现在令 ， ， ，就有根据以上推导，可以给出双曲型守恒律方程组初值问题弱解的定义。定义（弱解） ：若存在分片连续的函数 及相应的通量函数 ，使得 ， （7）则称 为初值问题（1）的弱解。激波关系式不失一般性，假设初值函数 在 处有一个间断。这使得初值问题（1）的解 在区域 上形成了一条间断线（）这条间断线将矩形区域

11、分成了 和 两个部分。在这种情形下，我们重复上面的推导。分部积分式中 和 分别表示沿间断线 两侧的积分。显然，按照逆时针方向积分时， 和 方向相反。令 ， ，上式可合并写成其中 ， 表示物理量在跨过间断线 时的跳跃量。再令 ， ， ，就有如果 是初值问题（1）的弱解，则根据弱解的定义于是得到即定义间断线 的斜率为 ，上式成为由函数 的任意性，最终得到（8）这一关系式称为间断解（弱解）的跳跃条件或激波关系式（Rankine-Hugoniot关系式）。性质19 ：初值问题（1）的弱解是分片光滑解，其特征可描述为 在光滑区满足守恒律方程组 在初始时刻满足初始条件（ 点除外） 光滑解的区域由间断分隔 在间断线上满足跳跃条件例7：对于一维气体力学方程组，关系式（8）就是正激波的激波关系式。熵条件弱解的定义中并没有考虑问题的