工程力学上课课件：弯曲

1、机 械 工 程 基 础,第一讲：平面弯曲内力剪力与弯矩 第二讲：剪力图与弯矩图 第三讲：弯矩、剪力与载荷集度间的关系 第四讲：纯弯曲梁的正应力 第五讲：常用截面二次矩 平行移轴公式 第六讲：弯曲正应力强度计算 第七讲：弯曲切应力简介 第八讲：梁的弯曲变形概述 第九讲：用叠加法求梁的变形 第十讲：提高梁强度和刚度的措施,第七章 弯 曲,第一讲：平面弯曲内力剪力与弯矩,目的要求：掌握弯曲内力及其计算。 教学重点：掌握指定截面弯矩、剪力的计算。 教学难点：利用外力直接计算指定截面的弯矩、剪力。,第一讲：平面弯曲内力剪力与弯矩,一、弯曲的概念和工程实例,1、工程实例,工程实际中，存在大量的受弯曲的杆件

2、，如火车轮轴、单梁吊车等等。弯曲变形是工程实际中最常见的一种基本变形,在杆的轴线平面内受到外力作用，使杆的轴线由原来直线变为曲线，这种变形称为弯曲变形。凡以弯曲变形为主的杆件，通常称为梁。,受力特点：通过杆轴线的面内，受到力偶或垂直于轴线的 外力作用 变形特点：使原有直线的轴变成了曲线,2、平面弯曲的概念,工程中使用的直梁，其横截面大多至少有一根对称轴（y轴），如图。通过平面对称轴与梁轴线确定的平面，称为梁的纵向对称面。,FA,FB,y,y,y,y,如果作用于梁上的所有外力（包括约束力）都作用于梁的纵向对称面内，则变形后的轴线将是在纵向对称面内的一条平面曲线。这种弯曲变形称为平面弯曲。本章只讨

3、论梁的平面弯曲。,二、梁的力学模型与基本形式,1、梁的简化 不论梁的截面形状如何，通常取梁的轴线来代替实际的梁 。,2、载荷的简化 作用在梁上的外力，包括载荷和约束力（支座反力），一律可简化为三种形式，即集中力F、集中力偶M和分布载荷q(x)。分布载荷若分布均匀，则称为均布载荷，通常用载荷集度q表示。其单位为N/m。,3、支座的简化 按支座对梁的约束作用不同，可按照静力学分析，用活动铰支座、固定铰支座及固定端支座进行简化。,4、静定梁的基本形式,q,1）简支梁 一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁,根据支承情况，可将梁简化为三种形式：,2)悬臂梁 一端为固定端,另一端为自由端的梁,q,FP

4、,固定端,自由端,3) 外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁,q,q,F,这些梁的计算简图确定后，其支座反力均可由静平衡条件完全确定，故称静定梁。 如果梁的支反力数目多于静力平衡方程数目，支反力不能完全由静力平衡方程确定，这种梁称为静不定或超静定梁 。,C,图示悬臂梁，若已知梁长为l，主动力为F，则该梁的约束反力可由静力平衡方程求得，即FB=F，MB=Fl。 欲求任意横截面m-m上的内力，可在m-m处假想将梁截开。 留左半段为研究对象，因左右两半本属固连，故其内力状况与静力学中固定端的约束作用同，内力向截面m-m的形心O简化，为一力FQ与一力偶M。,1用截面法分析梁截面上的内力,FB,三、梁的内

5、力（剪力与弯矩）计算,FQ,M,MB,x,FQ,M,式中FQ称为剪力，它是与横截面平行内力的合力。M称为横截面上的弯矩，它是横截面上垂直内力对其形心的合力矩。 式（a）称为剪力方程， 式（b ）即称为弯矩方程。,列出平衡方程，可得 Fy0 F-FQ0 FQ F （a） MO(F)0 M- Fx 0 M Fx ( b ),M,M,为使取左段或取右段得到的同一截面上的内力符号一致，特规定如下：,规定：当截面上的剪力FQ使研究对象有顺时针转向趋势时为正，反之为负。,FQ,FQ,FQ,FQ,M,M,当截面上的弯矩M使研究对象产生向下凸的变形时（即上部受压下部受拉）为正，反之为负。,归纳为口诀：“左上右

6、下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正”,计算表明：梁上某一截面的剪力大小等于截面之左（或右）段上所有外力的代数和；弯矩大小等于截面之左（或右）段上的所有外力对截面形心力矩的代数和。在实际计算中，剪力和弯矩的符号一般皆设为正，如果计算结果为正，表明实际的剪力和弯矩与图示方向一致；若结果为负，则与图示方向相反。,研究对象在截面的右边,FQF左 M=MC(F左),FQF右 M=MC(F右),研究对象在截面的左边,例： 外伸梁DB受力如图。已知均布载荷集度为q，集中力偶M=3qa2。图中2-2与3-3截面称为A点处的临近截面，即0；同样4-4与5-5截面为C点处的临近截面。试求梁各指定截面的剪力与弯矩 。

7、,FB,FA,2 3 2 3,4 5 4 5,解 1）求梁支座的约束力。取整个梁为研究对象，画受力图。,列平衡方程求解得 MB(F)=0 -FA4a-M+q2a5a=0 得 FA=7qa/4 Fy0 FB +FA-q2a=0 得 FB=qa/4,FB,FA,2 3 2 3,4 5 4 5,2）求各指定截面上的剪力与弯矩 1-1截面：由1-1截面左段梁上外力的代数和求得该截面的剪力为：FQ1=-qa 由1-1截面左段梁上外力对截面形心力矩的代数和求得该截面的弯矩为 M1=-qaa/2= -qa2/2,2-2截面：取2-2截面左段梁计算，得 FQ2=-q2a=-2qa M2=-q2aa=-2qa2

8、,FB,FA,2 3 2 3,4 5 4 5,3-3截面：取得3-3截面左段梁计算得 FQ3=-q2a+FA=-2qa+7qa/4= -qa/4 M3=-q2aa= -2qa2,4-4截面：取4-4截面右段梁计算，得 FQ4=-FB = -qa/4 M4=FB2aM= qa2/2- 3qa2=-5qa2/2,5-5截面：取5-5截面右段梁计算，得 FQ5=-FB = -qa/4 M5=FB2a= qa2/2,由以上计算结果可以看出： 1）集中力作用处的两端临近截面上的弯矩相同，但剪力不同，说明剪力在集中力作用处产生了突变，突变的幅值等于集中力的大小。 2）集中力偶作用处的两侧临近截面上的剪力相

9、同，但弯矩不同，说明弯矩在集中力偶作用处产生了突变，突变的幅值等于集中力偶矩的大小。,3）由于集中力的作用截面上和集中力偶的作用截面上剪 力和弯矩有突变，因此，应用截面法求任一指定截面上的剪力和弯矩时，截面应分别取在集中力或集中力偶作用截面的左右临近位置。,作业：,试求图示梁指定截面上的剪力和弯矩。设q，a均为已知,(1),(2),目的要求：掌握剪力图弯矩图的绘制。 教学重点：利用剪力方程与弯矩方程绘制剪力图弯矩图 教学难点：剪力图弯矩图的绘制规律的理解。,第二讲：剪力图与弯矩图,若梁中间还有其他载荷，因各段的分离体的受力图不同，应按载荷作用位置分段计算。故在一般情况下，所谓剪力方程只是在梁的

10、某一外载无变化的这段内，梁任意截面上的通式。 可记为： FQ FQ(x) 该式称为梁的剪力方程。 弯矩方程也同样是梁的外载无变化的这段内，梁任意截面上弯矩的通式。 可记为： M M (x) 该式称为梁的弯矩方程。,第二讲：剪力图与弯矩图,以上两个函数表达式称为剪力方程和弯矩方程，根据这两个方程，画出剪力和弯矩沿梁轴线变化的图形，这样的图形称为剪力图与弯矩图。此法颇为繁琐。不过，在上述基本方法的基础上进一步探索梁上载荷与由之而生的剪力图、弯矩图的关系，发展成为一种方便的剪力与弯矩图的作法，下节将讲述。,一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同 而变化，若以梁的轴线为x轴，坐标x表示横截

11、面的位置，则 可将梁横截面上的剪力和弯矩表示为坐标x的函数，即,FQ FQ(x),M M (x),利用剪力图和弯矩图很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及确定危险截面的位置。,绘制剪力图和弯矩图的步骤： 1）求支座反力 2）列剪力方程和弯矩方程 3）作剪力图和弯矩图,例简支梁受载如图所示。若已知F、a、b，试作梁的FQ图和M图。,解 1)求支反力。以整体为研究对象，由平衡方程可得,FB,FA,2)列剪力方程和弯矩方程 由于点有集中力的作用，则段和段的剪力方程和弯矩方程应分段列出,x,M,x,FQ,0,0,Fa/l,M图,FQ图,Fb/l,Fab/l,)画剪力图和弯矩图 如图所示,1）从剪力图和

12、弯矩图可以看出，在集中力F作用处，剪力发生 突变，突变值等于该集中力的大小。 2）在集中力作用处，弯矩出现最大值，若a=b，则最大弯矩值出现在梁中点处。,FB,FA,例2、如图所示简支梁，在AB上作用了集度为q的均布载荷，作此梁的剪力图和弯矩图,解 1)求支反力。以整体为研究对象，由平衡方程可得,2)列剪力方程和弯矩方程,)画剪力图和弯矩图 如图所示,M,0,ql2/8,x,M图,解 1)求支反力。以整体为研究对象，由平衡方程可得,2)列剪力方程和弯矩方程 由于点有集中力偶的作用，则段和段的剪力方程和弯矩方程应分段列出,例：如图所示简支梁，在截面作用一力偶矩为的集中力偶，作出此梁的剪力图和弯矩

13、图,)画剪力图和弯矩图 如图所示,x,x,FQ,0,Ma/l,M图,M/l,Mb/l,M,0,FQ图,FA=7kN ，FB=5kN ,外伸梁受载荷如图。试求其梁的剪力图和弯矩图 。,解 1)求支座A、B的约束力。由列平衡方程可解得,FA=7kN ，FB=5kN ,2kN,2)列剪力方程和弯矩方程 由于点有集中力,D点有集中力偶的作用，A和B有铰链支座，则分别求出AC、CD、DB、BE段的剪力方程和弯矩方程,2）画剪力图和弯矩图。,x,M/kNm,x,FQ/kN,0,0,7,3,1,3,2,20,16,6,6,3,x,H,20.5,第三讲：弯矩、剪力与载荷集度间的关系,目的要求：掌握剪力图、弯矩

14、图的绘制绘制。 教学重点：剪力图和弯矩图与荷载间的规律。 教学难点：弯矩图有极值的问题。,x,M,x,FQ,0,0,Fa/l,M图,FQ图,Fb/l,Fab/l,M,0,ql2/8,x,M图,x,x,0,Ma/l,M图,M/l,Mb/l,M,0,FQ图,从上节我们讲的剪力图和弯矩图的绘制结果我们可以得到下列结论；,）若梁上无均布载荷，则剪力图为水平直线， 弯矩图为斜直线。 2）若梁上有均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩为二次抛物 线，若q向下，则剪力图向右下倾斜，弯矩图的抛物线开口向下，若q向上，则剪力图向右下倾斜，弯矩图的抛物线开口向上 3）若梁上有集中力，则在集中力作用处，剪力有突变，突变值

15、即为该处集中力的大小，弯矩值在此处有折角。 4）若梁上有集中力偶，则在集中力偶作用处，剪力图无变化，而弯矩值有突变，突变值为该处集中力偶的力偶矩,弯矩、剪力与载荷集度间的关系,研究表明，梁上截面上的弯矩、剪力和作用于该截面处的载荷集度之间存在一定的关系。如图，设梁上作用着任意载荷，坐标原点选在梁的左端截面形心（即支座A处），x轴向右为正，分布载荷以向上为正 。,从x截面处截取微段dx进行分析。 q(x)在dx微段上可看成均布的；左截面上作用有剪力FQ(x)和弯矩M(x)，右截面上作用有剪力FQ(x)+dFQ(x)和弯矩M(x)+dM(x)。 由平衡条件可得,FQ(x),FQ(x+dx),M (

16、x),M (x+dx),Fy=0,MO=0,略去dx的两阶微量，简化后得,工程上常利用剪力、弯矩和载荷三者之间的微分关系，并注意到在集中力F的邻域内剪力图有突变，在集中力偶M的邻域内弯矩图有突变的性质，列成表格来作图。,FQ 、M图特征表,例1 一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。,解：,1)根据平衡条件求支座反力,2)由微分关系判断各段的 形状。,载荷,CA,DB,AD,斜直线,斜直线,1m,A,B,1m,1m,4m,F=3kN,C,D,4)作M图。,CA段：,(-),AD段：,-3kN,4.2kN,-3.8kN,(+),(-),DB段：,-3kN.m,(-),E,x,-2.2kN

17、.m,(-),3.8kN.m,(+),(+),4)作FQ图。,例2 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kNm， 求梁的内力。,解：1）求约束反力：,MA(F )=12FE+M0-8F-24q=0 FAy=49kN；FE=32kN,Fx=FAx=0 Fy=FAy+FE-F-4q=0,截面法求剪力、弯矩 AB段:,Fy=FAy-qx1-FQ1=0 FQ1=49-9x1,2,2,0x14m,0 x1 4m,BC段:,Fy=FAy-4q-FQ2=0 FQ2=13kN,Mc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0 M2=13x2+72(kNm),CD段:,DE段:,FQ3=13kN;

18、M3=13x3+24(kNm),FQ4=-32kN; M4=384-32x4(kNm),4mx26m,4mx2 6m,6mx38m,6mx3 8m,8mx4 12m,8mx412m,剪力、弯矩图：,FQ、M图的简捷画法 (结合例2),3）依据微分关系判定控制点 间各段 FQ、M图的形状， 连接各段曲线。,2）计算控制点处FQ、M值。,总结： 1、平面弯曲梁的横截面上有两个内力剪力和弯矩。其正负号按变形规定如下图示：,M,M,FQ,FQ,FQ,M,M,计算梁某截面上的剪力和弯矩可按口诀：“左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正”，依据所求截面左端或右端上的外力的指向及对截面形心力矩的转向直接求得

19、,2、剪力图和弯矩图示分析梁强度和刚度问题的基础，从剪力图和弯矩图上可分析梁的危险截面，要求能熟练正确地会剪力图和弯矩图。 3、根据剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图的步骤： 1）正确求解支座反力。 2）分段。集中力、集中力偶作用的作用点和分布载荷 的起始、终止点都是分段点。（可以和第3步合并） 3）列出各段的剪力方程和弯矩方程。 4）按剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图。,4、根据剪力、弯矩和载荷集度之间的关系画剪力图和 弯矩图，是根据P151表7-1的规律画图，此方法要确 定关键点的剪力值和弯矩值。另外可以利用此规律对已经画的剪力图和弯矩图进行校核。,1、本章最基本的概念（力、刚体、约束、

20、约束力、平衡等）（了解） 2、静力学的几条公理的理解。二力平衡条件是最基本的力系平衡条件；加减平衡力系原理是力系等效代换与简化的理论基础；力的平行四边形法则说明了力的矢量运算法则；力的作用力与反作用力揭示了力的存在形式。二力平衡条件、加减平衡力系原理和力的可传性仅适用于刚体。（掌握） 3. 力和力偶是静力学的两个基本力学量。下表将作用于刚体上的力和力偶逐项加以比较。 （理解）,复 习,第一章 静力学基础,4. 注意力偶矩与力对点的矩的异同。 它们有两点不同： （）力矩是力对某固定点的矩，力偶矩是两个等值、反向且不共线的两平行力中的一个力与力偶臂的乘积； （2）力偶矩与矩心无关；力对点的矩随矩心

21、的改变而改变。 它们有三点相同： （）均使物体产生转动效应； （）正、负号规定方式相同； （）单位相同，国际单位都为Nm。,力矩的计算公式：,M(F,F)=M=Fd,力偶矩的计算公式：,5、常见的约束类型有： 1）柔性约束：这种约束只能承受沿柔索的拉力。 2）光滑面约束：这种约束只能承受位于接触点的法向压力。 3）铰链约束：它能限制物体沿垂直于销钉轴线方向的移动，故为正交约束反力。 4）固定端约束：它限制物体两个方向的移动与绕固定端的转动，故为正交约束反力与一个约束力偶。,6. 对所研究的对象进行受力分析，并画出其正确的受力图是分析、解决静力学问题以及动力学问题的一个最基本、很重要的环节。 物

22、体或物体系统的受力一般可按以下步骤进行： 1. 取分离体（研究对象） 2. 画出研究对象所受的全部主动力（使物体产生 运动或运动趋势的力） 3. 在存在约束的地方，按约束类型逐一画出约束 反力（研究对象与周围物体的连接关系）,在画受力图时，应特别注意以下几点： （1）内力在受力图上是不画的，受力图只画外力，即只画主动力和周围物体对分离体的约束反力。应注意，内力和外力均是相对于所取的分离体而言的，一个力在某个分离体中是外力，在另外一个包含更多物体的分离体中则可能是内力。 （2）当物体间的连接处为光滑铰链时，称该处为节点。节点受主动力作用时，一般都认为主动力作用于销钉上或作用于球铰链的中心上。 （

23、3）若各分离体之间存在作用力与反作用力，则要体现出牛顿第三定律，即作用力与反作用力要大小相等方向相反。,（4）若分离体与二力体（或二力杆）相连，则一定要按二力体（或二力杆）的约束特点画出二力体（或二力杆）对分离体的约束反力。 （5）当已知约束反力的方向时，必须将约束反力按真实方向 画出。 当无法预知约束反力的方向时，可根据相应约束的特点， 或者按约束两相反方向假定一个方向画出，或者用约束反力的正交分力（各正交分力的方向可任意假定）表示出。至于约束反力或约束反力的正交分量的正确方向，在静力学中可通过平衡方程，即正号表示与假定的方向一致；负号表示与假定的方向相反。,1平面任意力系的简化 主矢FR

24、=F=F，与简化中心的位置无关。 主矩MO=MO（F），与简化中心的位置有关。 力系平衡为FR=0，MO=0。,第二章 平面力系,2平面力系的平衡方程式,3求解物体系统平衡问题的步骤（重点） 1）适当选取研究对象，画出各研究对象的受力图 2）建立恰当的坐标系 2）分析各受力图，利用平衡方程求解,第四章 轴向拉伸与压缩,1、材料力学的任务（了解） 在保证构件即安全又经济的前提下，为构件选择合适的材料，确定合理的截面尺寸，提供必要的计算方法和实验技术。 2、材料力学的内容体系 形式上按四种基本变形来划分，四种基本变形构成了材料力学的横向线。而对每一种基本变形，受力研究采用的都是这样的方法：外力内力应力的研究 对于应力进行强度计算和刚度计算。 3、工程中构件的四种基本变形（掌握） 轴向拉伸与压缩、剪切与挤压、扭转和弯曲,4、轴向拉伸与压缩的受力特点和变形特点：（掌握） 受力特点：所有外力或外力的合力沿杆轴线作用 变形特点：杆沿轴线伸长或缩短 5、轴向拉伸与压缩时横截面的内力称为轴力。（正负号规定：拉伸为正， 压缩为负） 6、轴力图： 截面法：截、取、代、平 直接画：从杆件最左端开始画轴力图，外力向左为正，轴力上升; 外力向右为负，轴力下降。（若从杆件最右端开始画轴力图，则外力向右为正，轴