自动控制原理第三章.ppt

1、第三章：控制系统的时域分析，3.1动态性能指标，3.1.1典型输入信号。为了定量地给出某一系统的抗干扰性能和跟踪性能指标，有必要讨论系统在某一典型输入或干扰输入下的零状态响应曲线。常用的输入信号有：单位脉冲函数、稳定性、抗干扰性、单位阶跃函数快速性、单位斜坡函数跟踪性、单位加速度函数跟踪性、正弦函数成本频率特性、3.1.2动态性能指标、动态或过渡过程：当瞬态分量太大而不能忽略时，系统的状态称为动态或过渡过程。此时，系统的特性被称为动态特性。当输入是单位阶跃信号时，定义了一些动态性能指标。非零状态下阶跃响应的波形与零状态下的波形完全相同，因此只讨论零状态下的阶跃响应。初始状态为零，y (0)=0

2、，r (t)=1 (t)，y(t)的响应曲线为ym:单位阶跃响应的最大偏差。y():单位阶跃响应的稳态值。出乎意料。ts:调整时间。进入由0.5*y()或0.2* y()组成的误差带后，不超过Y(t)。tr:上升时间。y(t)第一次到达y()的时间。tp:高峰时间。过冲：重要指标：ts，tr和tp表示速度；Tr和tp代表初始速度。Ts代表整体速度。一个，表示系统的阻尼度和稳定性。稳定性是有对应关系的，它不是稳定性的指标。稳态误差(稳态值指数)是期望值和稳态值y()之间的差值。注：当输入信号是非单位阶跃信号时，根据均匀性，响应仅沿纵轴拉伸或压缩，基本形状保持不变。因此，ts、tr和tp不变。当t

3、=t时，系统处于稳定状态。3.1.3一阶系统的单位阶跃响应，一阶系统(惯性环节)t 0，单位阶跃响应为T 0，对于一般一阶系统T 0，单位阶跃响应为t0，特性：无超调=0调整时间，ts=3T(单位为秒)，y(t)的初始斜率为1/T，3.1.4二阶，n:固有振荡频率(无阻尼时的振荡频率=0)；T:时间常数；阻尼系数；单位反馈结构图，1过阻尼，1，系统极点为，这是两个负实极点。单位阶跃响应为，第一项为稳态分量；第二项和第三项是指数衰减的瞬态分量。调整时间：过冲：=0，2临界阻尼=1，极点：s1，2=-n，单位阶跃响应：调整时间：过冲：=0，3欠阻尼01，极点：系统极点是两个共轭虚极点。单位阶跃响应

4、为，第一项为稳态分量；第二项是振荡衰减的瞬态分量。称为二阶振荡环节。从二阶振荡环节的单位阶跃响应的解析式和曲线图可以看出，参数n的变化只影响曲线沿水平轴的拉伸或压缩；峰值取决于参数。过冲：峰值时间：上升时间：调整时间：递减递增，4无阻尼=0，极点：系统极点为S1，2=JN是两个纯粹的虚极点。单位阶跃响应为，第一项为稳态分量；第二项是恒定振幅振荡的瞬态分量，振荡频率为n。这就是为什么n被称为无阻尼自然振荡频率。此时，系统极不稳定。例如，找出阶跃响应的动态性能和ts。解法：如果将标准形式改为3.1.5，高阶系统的单位阶跃响应，高于二阶的系统称为高阶系统，设高阶系统为，其中每个(s-sj)包含一个实

5、数特征根，K(s)是s的多项式，每个包含一对共轭复数特征根，单位阶跃响应为，其中A0、Aj、Bk、Ck和d K是常数系数，sj和-knk是特征根的实部。第一项是稳态分量，其余是瞬态分量。高阶系统的分析方法：高阶系统的分析既复杂又困难，所以一般将其与二阶系统相比较，即认为它是二阶系统加零加极点形成的系统。从上述公式可以看出，暂态项由衰减项组成，实特征根对应于指数衰减项，共轭复特征根对应于振荡衰减项。例如，对于和，分别计算两个系统在零初始状态下的单位阶跃响应。这个例子不是高阶系统，而是二阶系统。目的是观察添加零点对系统的影响。这个例子的特点是极点相同，零点不同。两个系统都有实极点，它们都是过阻尼二

6、阶系统。解：输出拉普拉斯变换分别为，它们的逆拉普拉斯变换分别为。比较两个公式，可以看出极点决定衰减项的时间常数，零点决定衰减项的系数。这个例子告诉我们，即使极点相同，零点不同，输出差异也很大。零点离虚轴越近，阻尼越小。例2中系统的传递函数是求初始状态为零时的单位阶跃响应。在本例中，欠阻尼二阶系统增加了一个极点。目的是观察增加极点对系统的影响。解：输出拉普拉斯变换是，逆拉普拉斯变换：如果你得到，响应是，最后一个等号使用欧拉公式。第一项是稳态分量，最后两项是瞬态分量。添加一个极点，然后添加一个瞬态分量。摘要：将高阶系统简化为二阶系统的原理：以P93书为例，系统传递函数是试图分析阶跃响应的动态性能。

7、极点和零点的分布见下图。其中极点10是非主导极点并且可以被消除；极点3和零点3.2彼此非常接近，可以消除。传递函数的简化应在保持静态增益不变的前提下进行，即近似为欠阻尼二阶系统，阶跃响应为阻尼振荡。其参数和阶跃响应的性能指标是，从这个例子中可以认识到，将高阶系统近似为简单的一阶或二阶系统将极大地有利于系统的分析。该方法可以看出响应的本质(单调上升或衰减振荡)，快速计算性能指标，为系统的改进提供依据。注意：靠近虚轴的一对零点和极点不能被消除。这是因为这对零点和极点对瞬变分量的贡献很大。由于数学模型不可避免的误差，它们可能实际上不满足取消条件。此时，取消所引起的误差将对结论产生定性影响。至于不稳定

8、的两极，更禁止取消。3.1.7增加一个极点会降低系统的速度，因为增加一个极点相当于增加一个指数衰减的瞬态项，这会增加过渡时间。添加零点将提高系统的速度，因为这相当于抵消一个或部分极点效应。3.2控制系统的稳态精度和性能指标，3.2.1稳态精度和稳态误差，稳态精度：过渡过程后输出到输入的下列精度。稳态误差：稳态输入和反馈之间的差异是稳态精度的一种度量。(从输入侧定义)，也可以定义为输出期望值和实际值之间的差值。(从输出端定义)，3.2.2给定稳态误差，系统为：这是从拉普拉斯变换的最终值定理获得的。使用终值定理的条件是，如果sE(s)的所有极点都有负实部，则e(t)趋向于某个常数，这可以用终值定理

9、来求解。开环传递函数：定义：G(s)H(s)被定义为开环传递函数。也就是说，主反馈b(t)和主偏差e(t)之间的传递函数是开环传递函数。其中k是开环增益。Ti和j是复数，是开环传递函数中串联的积分环节的1/s数，实际系统通常不超过2。当输入单位阶跃函数时，稳态误差通常称为位置误差。输入r(t)=1(t)，R(s)=1/s，并设置位置误差系数，然后当=0(称为0型系统)时，位置误差系数和位置误差分别为，当=1(称为1型系统)或=2(称为2型系统)时，则当输入2单元斜坡函数时，稳态误差。当=0时，速度误差系数和速度误差分别为，当=1时，速度误差系数和速度误差分别为，当=2，3时。当输入单位加速度函

10、数时，稳态误差称为加速度误差，定义为加速度误差系数：鉴于单位阶跃输入信号的稳态精度，定义了微分系统和非微分系统：有静态误差的系统：有静态误差的系统称为有静态误差的系统；系统无静态错误：等。被称为无静态错误的系统。示例，结构图，开环传递函数，类型1系统，开环增益K=4/3。根据表4-1，位置误差=0速度误差=1/K=3/4加速度误差=。注意：如果反馈首先被合并，结果将会不同。3.2.3有干扰输入的稳态误差，总误差是由两个输入(给定和干扰)引起的误差之和。给定输入误差(n=0)，K=1 v=1 1型系统可查表，当r (t)=1(t)时，当r (t)=t1(t)时，当r (t)=1(t) t1(t)

11、时，扰动输入时的稳态误差，总误差：3.3迹分析，系统的稳定性由特征方程的分布根决定。从欠阻尼二阶系统的根分布可以看出，和n也是由特征方程的根决定的，即快速性也取决于特征方程的根分布，因此研究系统的根分布是研究系统动态性能的关键。Gk(s)比Gb(s)简单，所以我们希望通过Gk(s)来研究Gb(s)特征根的分布。假设系统的开环传递函数为，其中K*是根轨迹增益，与开环增益K相差一个倍数nm。Pi和zj是开环传递函数的极点。与开环传递函数的定义相比，Gk(s)的定义更容易得到K，极点和零点的值也更容易看到。当包含1/s链接时，极点为0。闭环特性方程为，通过代入Gk(s)表达式得到的闭环系统特性方程为

12、：当K*=0时，Gk(s)的极点也是Gb(s)的极点。当和zj固定时，Gb(s)的极点(特征方程的根)随K*的变化而变化。当K*从0改变时，Gb的极点将通过所有可能的值并形成根轨迹。因此，根轨迹是指当根轨迹增益K*为0时，由闭环系统的特征方程的根形成的轨迹。根轨迹具有方向性。例如，单位反馈系统的开环传递函数为，闭环传递函数为，闭环系统的特征方程为：对于每个K*值，可以计算相应的闭环特征根。当K*=0时，特征根为0、1和2。当K*从0变为时，闭环特征根随K*而变化，K *是根轨迹。根轨迹图中的“，”表示开环极点；“0”表示开环零点。根轨迹上的箭头表示K*增加的方向。(1)当K*0.385时，闭环

13、系统有两个实数主导极点，其动态性能近似为无零点、无超调的过阻尼二阶系统。(2)当K*0.385时，闭环系统具有一对共轭复主极点，其动态性能近似为欠阻尼无超调二阶系统。根据该图，K*越大，阻尼角arccos越大，阻尼系数越小，超调量越大。同时，离虚轴越近，反应越慢。(3)当K*=1.06时，根轨迹上对应点与实轴的夹角约为60，实部约为0.4，阻尼系数约为cos60=0.5，超调量和调整时间分别约为；(4)当K*6时，闭环系统不稳定。(5)k *越大，动态性能越差。此时，开环增益越大，稳态精度越高。也就是说，稳态精度与动态性能的提高相矛盾。3.3.3得到轨迹方程，特征方程：其中s是拉普拉斯变换中的

14、复变量，所以上述公式可以等价于两边的幅值和相角相等，即幅值条件：相角条件：当没有开环零点时，幅值条件的分母为1，相角条件下对应的相角为零。振幅条件和相角条件统称为根轨迹方程。要点：如果某个S满足相角条件，它必须同时满足振幅条件，所以相角条件是确定根轨迹的一个充分必要条件。只要满足相角条件，振幅条件主要用于确定对应于根轨迹上每个点的K*值。满足相角条件的轨迹称为根轨迹。例如，求根的K*。同时，可以验证该点满足相角条件，即3.3.4绘制根轨迹的规则，1。分支的数量和对称性：n阶系统有n个根轨迹，它们与实轴对称。2。起点和终点：从开环极点开始，在开环零点和无穷远点结束。3。实轴上的根轨迹：如果实轴上

15、一个区域右侧的开环实数为零，且极点之和为奇数，则该区域必须是根轨迹，并且只考虑实轴上的根轨迹。示例3，解：二阶系统，具有两条根轨迹。确定根轨迹在实轴上的面积。根据起点和终点规则确定轨迹方向。分离点和交汇点：分离点和交汇点是以下等式的部分或完全解：如果没有开环零点，右侧为0。两个根轨迹的分离角和会聚角为90度，即分离点和会聚点的切线与实轴之间的角度。或设置，例如；画根轨迹，得到：然后分离点是x=-0.6，汇合点是x=-3.4，或者，例如，画开环零点和极点。确定根磁道的数量，2。确定根轨迹在实轴上的区域。决定根轨迹的方向。找到分离点和汇合点。绘制根轨迹。get: x=-2.12，0.12；0.12

16、不在实轴的根轨迹区域。X=-2.12作为交汇点。5。闭环极点之和：如果n-m2，闭环极点之和等于开环极点之和。由于开环极点之和是一个固定值，闭环极点之和也是一个固定值。可以看出，当一些根轨迹向左移动时，其他根轨迹向右移动。渐近线：当根轨迹接近无穷大时，有渐近线，渐近线的个数为n-m，所有渐近线与实轴的交点=，渐近线与实轴的交角=，并说明根轨迹。画出开环零点和极点。确定根磁道的数量，3。确定根轨迹在实轴上的区域。决定根轨迹的方向。找到分离点和汇合点。x=-0.42，-1.6；-1.6不在实轴的根轨迹区域。X=-0.42作为分离点。渐近线，与实轴的交点=，交点角=，与虚轴的交点，在，让，找到相应的和值，即与虚轴的交点。例7，上例，get，have，solve:dep