例谈求平行四边形顶点坐标方法

1、例谈求平行四边形顶点坐标的方法在平面直角坐标系中，求平行四边形是初中数学典型题型，通常的做法是，以一组对边为斜边，过两端点分别作出垂直于x轴和y轴的作直角边，构造出两个全等的直角三角形，得到对应直角边相等，从而转化为四边行对边顶点坐标差相等，解得未知顶点坐标。例如：如图，在中，A，求D点坐标。解法：作AEy轴，DEx轴，交于点E，BFy轴，CFx轴，交于点F，易得RtADERtBCF DE=CF，AE=BF 设D（X，Y）3-X=6-4，Y-= ， X=1 Y=D(1, )这一方法看似简单，但需要知道平行四边形的形状，再添四条辅助线，显得比较繁琐。如果只知道三个顶点，在未确定平行四边形的形状或

2、字母顺序情况下，则要分三种情况进行分类讨论，第四个顶点就有三个。若求平行四边形顶点问题再与动点和函数相结合，作出平行四边行图形将比较难，在这种情况下，再构造直角三角形全等，就更为复杂困难了。其实，解决平行四边形顶点坐标问题，由平移的性质来解决会更简便。由平移的性质可知：在平移过程中，图形上每个点都沿相同的方向移动了相同的距离。根据这一性质，我们可以利用图形变换与坐标变换关系写出变换后图形上点的坐标，而平行四边形可以看成由一条线段AB沿一定方向平移到CD，再连结AD，BC就形成了平行四边形ABCD（如图），所以A到D和B到C就有一致的平移变换方式，即向左右和向上下平移的距离相等，或得到对应顶点坐

3、标差相等，就可以简便地解决顶点坐标问题。请看下面例子， 例1：已知：平行四边形三个顶点，A，求点D的坐标。分析：平行四边形没给出图形或字母顺序，所以要分三种情况分类（1）当BD为对角线时，由DCAB，可看成由AB沿BC方向平移得到，则A与D，B与D是平移变换后的对应点，因为点，可知C点是由B点向左平移2个单位，向上平移2个单位得到，所以点A向左平移2个单位，向上平移2个单位得到。（2）当AD为对角线时，由ABCD，可看成AB沿AC方向平移得到。则A与C，B与D是平移变换后的对应点，因为点A，可知C点由A点向右平移1个单位，向上平移3个单位得到，所以点向右平移1个单位，向上平衡3个单位得到点（3

4、）当CD为对角线时，由ACDB，可看成AC沿CB方向平移得到，则B与C，D与A是平移变换后的对应点，因为点A，可知A点由C点向左平移1个单位，向下平移3个单位得到，所以B点向左平移1个单位，向下平移3个单位得到D综上述，点D的坐标为，或。例2，已知：如图，在平面直角坐标系中，A（8，2），C（6，8），C点在y=x的图像上，且四边形OABC是平行四边形，Q为BC的中点。（1）求点B与Q点的坐标（2）若M为直线OC上的一动点，作MNAQ交y轴与点N，问是否存在以A、Q、M、N为顶点的平行四边形，若存在请求出点M的坐标。分析：（1）设P为OA的中点，作PEx轴，E为垂足，AFx轴，F为垂足，显然P

5、E是OFA的中位线，PE=AF，OE=OF。因为A（8，2） OF=8，AF=2 PE=1，OE=4，P（4，1） 可以看成OA沿OC方向平移到CB得到6个单位，向上平移8个单位至CB A点和P点向右平移6个单位，向上平移8个单位得到B（14，10），Q（10，9）。（2）M在y=x的图像可设M（x，x）若AN是对角线，由MANQ可看成由AM沿AQ平移到NQ得到，Q与A，N与M是对应点，由Q（10，9），A（8，2）可知Q点是由A点向右平移2个单位，再向上平移7个单位得到。M点向右平移2个单位，向上平移7个单位得到点N（x+2，x+7）N在y轴上 ， x+2=0 即x=-2 M（-2，）若AM是对角线，由QMAN可知由QM沿QA平移到AN得到，Q与A，M与N是对应点，由Q（10，9）A（8，2），可知A 点是由Q点向左平移2个单位，再向下平移7个单位得到，M点向左平移2个单位，再向下平移7个单位得到点N（x-2，x-7）N在y轴上 x-2=0 x=2 M(2， )综上所述，存在以N、M、A、Q为顶点的平行四边形，且M点的坐标为（-2，-）或（2， ）。由此可见，在平面直角坐标系中，求平行四边形顶点坐标问题，可通过构造两个全等的直角形，或运用平移变换的性质，化归到一组对边顶点横纵坐标差相等来解决。