五年级奥数春季实验班第12讲 计算综合之不定方程

1、第十二讲 计算综合之不定方程模块一、基础不定方程的解法例1不定方程x+y=2有 组解，有 组自然数解，有 组正整数解。解：不定方程x+y=2有无穷组解，对于自然数有0+2=2，1+1=2，2+0=2， 所以自然数解有3组，正整数解有1组。例2求不定方程的正整数解：2x+3y=8.解：不定方程2x+3y=8，两边取模2的运算得，y0 (mod 2)，取y=2，x=1， 所以方程的解是。例3求不定方程的正整数解：3x+5y=31.解：方程3x+5y=31，两边取模3运算，2y1 (mod 3)，得到y=2，x=7 所以方程的解是或。例4已知5x14y=11，x和y都是正整数，x+y的最小值是 。解

2、：方程5x14y=11，两边取模5的运算，y1 (mod 3)，解得x=5，所以方程的解是，（k为自然数）。所以x+y的最小值是6.模块二、复杂不定方程的解法例5小张带了5元钱去买橡皮和圆珠笔，橡皮每块3角，圆珠笔每支1元1角，问5元钱刚好买 块橡皮和 支圆珠笔。解：设买了x块橡皮，y支圆珠笔，所以3x+11y=50，两边取模3的运算得2y2 (mod 3)，所以y=1，x=13，或x=2，y=4，即方程的解是或。所以买13块橡皮和1支圆珠笔或2块橡皮和4支圆珠笔。例6今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，则鸡翁、鸡母、鸡雏各 只。解：设买到x只鸡翁，y只鸡母，则有10

3、0xy只鸡雏，则5x+3y+=100，整理得7x+4y=100，两边取模4的运算3x0 (mod 4)，所以x=0，y=25，方程的解为，解得z=100xy=78，或，z=81，或，z=84.例7现有一架天平和很多3克和4克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是 克。（砝码只能放在天平的一边）解：由于43=1，3342=1，即如果称出的重量中有1个3，则将3换成4，则能称出下一个重量；如果称出的重量中有2个4，则可以将2个4换成3个3，也能称出下一个重量，从6以后的所有重量都可以称出来，所以不能称出的最大重量是5克。1 2 34 5 67 8 910 11 1213 14 15其中第三

4、列中都能被3整除的都可以称出来；对第一列中4可以称出来，4往下的各数，只要再加若干个3克就能称出；对第二列中4的倍数8可以称出来，8往下的各数，只要再加若干个3克就能称出；所以不能称出的最大克重数是5克。例8现有一架天平和很多17克和19克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是 克。（砝码只能放在天平的一边）解：解方程17x19y=1，解得，解方程19m17n=1，解得，所以179198=1， 191617=287，287+b=17(9b1)+19(168b)，(b1)，或287+b=171819+(199b1710b)=19(9b1)+17(1810b)，即大于287的整数都可以写成

5、17与19的线性组合，因此当b=0时，用这些砝码不能称出的最大克重是287克。物体质量b的值19的个数17的个数物体质量b的值19的个数17的个数2881882969124289201729710413290397298111332914116299125122925106300131422936215301146112947115302151512958314303167101、 2、 3、 4、 16、1718、19、20、21、33、3435、36、37、38、50、51其中第17列中都能被若干个17克的砝码称出来；对第2列中19可以称出来，19往下的各数，只要再加若干个17克就能称出；

6、对第4列中38可以用2个19可以称出来，38往下的各数，只要再加若干个17克就能称出；由此可以看出，在前16列中，分别可以找到19、38、57、19(171)克数，它们都可以称出来，它们往下排列的各数，也都可以称出来，于是无法称出的最大整数是19(171)17.所以不能称出的最大克重数是19(171)17=19171917=287克。一般情况：现有一架天平和很多m克和n克的砝码（m，n互质），用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是 克。（砝码只能放在天平的一边）答案：mnmn；设不能称出的最大克质量为M克，即对于不定方程mx+ny=M 没有自然数解，即求得的整数解为，或，所以a=n1，把x=n1，y=1，代入得到M=m(n1)n，即方程mx+ny=mnmn无自然数解。研究不定方程mx+ny=mnmn有无正整数解，0xn1，又mx=mnmnny，所以x=n1，m1是整数，m，n互质，所以为使x为整数，只有1+y=m、m2、，当1+y=m时，x=n1n=1，不符合要求，当1+y=m2时，x=nnmn0，这说明对于任意的b0，27+b一定可以写成5和8的线性组合。当b=0时，得到27就是不能称出的最大整数克质量。物体质量b的值5