2第二章轴向拉压2-2

1、4 轴向拉（压）杆横截面上的应力,由于只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度，因此必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 思路：通过研究杆件的变形，提出合理假设 ，推导应力公式。方法如下：,实验观察杆件受力时的表面变形特点,提出合理假设（平面假设）,几何关系：推断杆件内部变形 (变形协调关系),由物理关系： 推断应力,（截开）由静力平衡条件推导公式,静力关系,F,F,受力前,受力后,x,b,a1,a1,a,a,b,b1,b1,平行轴线的纵线段,垂直轴线的横线段,直角,表面纵向线段变形一样， 横向还是横向（横截面保持为平面）。,变形后,变形前,b,a,a,b,a1,a1,b1,b1,平面假

2、设（平截面假设）： 变形前为平面的横截面变形后保持为平面，且仍垂直于杆轴线 。,推断（变形）： 横截面的相对平移，横截面内的每一点（纵向线段）的伸长相同，即伸长量a1a1-aa=b1b1-bb，也即任意两横截面间纵向线的伸长变形是均匀的，所以每一点 (x) 相同。,推断（应力）： 相同，正应力 亦相等。,FN,F,静力平衡条件: 因 = dFN/dA 所以 dFN = dA FN= A dFN=A dA 正应力在横截面上各点均相等 FN = A dA = A 拉(压)杆横截面上的正应力计算公式: = FN/ A,公式 = FN/ A 的应用: (1) A为横截面受力前的面积， FN为当前工作的

3、轴力，所以是工作应力，称名义应力, 工程应力。如果A是当前面积，是真实应力。 (2)做题时，先画轴力图。 (3)习惯上 FN 都取正值，由轴力图判断拉、压而写=100MPa(拉)，或=100MPa(压)。,注意： 杆件上最大正应力max所处的点称为杆件的危险点(重点) 。 从轴力图判断截面位置，公式判断点的位置。 正应力是定义在点上，说明横截面上的每点应力相等。 在加力点附近 = FN / A不成立，在截面突变处附近 = FN / A理解为左截面或右截面。,圣维南原理(SaintVenant),圣维南原理指出：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。,影

4、响区,例2-2: 已知正方形砖柱, 各段尺寸如图, F=50kN , 试求杆的最大工作应力。,解：,A,C,F,B,4000,370,240,F,F,3000,50 kN,150 kN,FN,1 = FN1 / A1= 50103 / 0.242 = 50 103 / 0.0576 = 50 103 / 57.6 10 -3 =0.87 106 =0.87MPa (压) 2 = FN2 / A2 = 150103 / 0.372 = 1.1MPa (压) 所以max=1.1MPa (压),作业要求： (1)抄题（或写已知：.，求：.。）， 画原图（简图）。 (2)作轴力图。 (3)写公式，带入

5、数据，求计算结果。,轴向拉（压）杆斜截面上的应力,如何确定斜截面kk上的应力？,F,F,k,k,kk截面上的内力为,F,FN,x,变形前的一对平行线，变形后仍为一对平行线。,变形后,变形前,所以斜截面上的总应力p是均匀的。 横截面面积：A 斜截面面积：A=A/cos 由 =0 ，p A F = 0,F,FN,x,p,p,斜截面上的a点的总应力： p= / A= /A cos=cos 斜截面上的正应力： = p cos=cos2 =/ 2 (1+cos2),F,x,p, ,a,斜截面上的正应力： = p cos=cos2 =/2(1+cos2) 斜截面上的切应力： = p sin=cossin

6、=/2sin2 公式说明斜截面上的应力可由横截面上的正应力求得。,讨论：,应力,0o,45o,90o,45o,max (重点),/2,0,/2,max=/2 (重点),0,0,max= -/2 (重点),结论： 对于轴向拉（压）杆，max发生在横截面上；max 发生在沿顺（逆）时针转45角的斜截面上。,a,p,a,思考： 为什么不仅要了解横截面上的应力，而且也要了解斜截面上的应力？,思考： 为什么不仅要了解横截面上的应力，而且也要了解斜截面上的应力？,分析拉压杆受力破坏的原因。,5 拉（压）杆的变形，胡克定律,轴向拉伸杆件的主要变形是纵向伸长。由实验得知，在杆沿纵向 l 伸长的同时，其横向尺寸

7、 d 将略有缩小。 压缩杆件则为纵向缩短，横向尺寸将略有增大。,F,F,d,d1,l,l1,纵向绝对线变形： l=l1 - l 纵向线应变 = l / l 正负号：线应变的正负号与 l 一致， 拉应变为正，压应变为负，为无量纲数。 横向线变形：d=d1-d 横向线应变：= (d1-d)/d= d/d,实验表明： 材料在线弹性范围内 = - / 或： = | / | 式中是一常数，称为横向变形系数（或泊松比），其数值因材料而异。 参见 P19 (21)表21 。,胡克定律: 如前图均质材料，且材料在弹性范围内，等直轴向拉（压）杆件的伸长（缩短）l 与轴力FN 和杆长l 成正比，与横截面面积 A

8、成反比，即： l FN l /A 。 引入比例常数E，则： E 弹性模量，单位：Pa，通过实验测定。 EA 杆件的抗拉（压）刚度。,注意： l 是杆件的纵向绝对线变形，杆件的伸长（缩短）量。 杆件是简单的均匀变形的杆件。 补充： 对于多个集中力作用的杆件（简单非均匀变形杆件），如每段杆长l i ，轴力FNi ,横截面面积 Ai ，杆件l 的总伸长（缩短）l总量：,补例1(教材例题略)： 已知：杆件AE各段长，荷载如图， AAB= ABC= ADE=400mm2, ACD=200mm2 求：杆件AE的伸长量。,A,C,D,E,B,40kN,55kN,25kN,20kN,1.2m,1m,1m,1m

9、,补例2：同一材料组成的变截面杆件如图，下列结论哪个是正确的？ (a) D截面位移为 0 。 (b) D截面位移为 Pl/ (2EA)。 (c) C截面位移为 Pl/ (2EA) 。 (d) D截面位移为 Pl/ (EA) 。,C,D,B,P,l,2P,l,2A,A,已知：同一材料组成的变截面杆件如图，下列结论哪个是正确的？ (a) D截面位移为 0 。 (b) D截面位移为 Pl/ (2EA)。 (c) C截面位移为 Pl/ (2EA) 。 (d) D截面位移为 Pl/ (EA) 。,C,D,B,P,l,2P,l,2A,A,(b),补例3：已知：杆件AB长l ，均布荷载q。 求：杆件的伸长量。,A,B,q (kN/m),改写： l / l =1/E(FN /A) 则： = / E 或： = E (2-6) 式 (2-6)所表达的关系称为点的单轴（或单向）胡克定律。 胡克定律是力学中的一个重要定律，它揭示了结构（或构件）中力与变形或应力与应变之间的物理关系。 钢的E 200GPa， 10-3 10-4(小变形范围内)。,小结 本节重点： 1、轴向拉（压）杆横截面（斜截面）上的应力； 2、拉（压）杆的变形求解，胡克定律； 作业：P44（老教材）