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1、2 无穷积分的性质及收敛判别,一、无穷积分的性质,本节讨论了无穷积分的性质,并用这些性,质得到无穷积分的收敛判别法.,二、非负函数无穷积分的收敛判别法,三、一般函数无穷积分的收敛判别法,收敛的充要条件是,一、无穷积分的性质,证,极限的柯西准则,此等价于,性质1,任意常数,则,即,根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.,性质2,h(x) 在任意 a, u上可积, 且,证 因为,收敛,由柯西准则的必要性,再由柯西准则的充分性,二、非负函数无穷积分的收敛判别法,上的非负函数 f 在任何,收敛的充要条件是:,定理11.3 (非负函数无穷积分的比较判别法),在 上的两个非负函数 f , g 在任

2、何有限区,增函数的收敛判别准则,间a, u上可积,且存在 满足,设定义,证,由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.,证,推论1 设非负函数 f 和 g 在任何 a,u 上可积, 且,由于,证,即,推论2 设 f 是定义在 上的非负函数, 在任何,限区间 a, u 上可积.,推论3设 f 是定义在 上的非负函数,在任何有,说明: 推论3是推论2的极限形式，读者应不难写,出它的证明.,解 (i),无穷积分,以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.,三、一般函数无穷积分的判别法,若 f 在任何,有限区间 a, u上可积,定理11.4 (绝对收敛的无穷积分必收敛),证,因此,再由柯西准则的充分性,又对任意,一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判,定理11.5(狄利克雷判别法）,证,故,别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.,使得,因此, 由柯西准则，,定理11.6 (阿贝尔判别法),证 证法1,由 g 的单调性,用积分第二中值定理，任意的,使得,由柯西准则,证法2,由狄利克雷判别法,解,对收敛.,收敛,所以,由狄利克雷判别法知,另一方面，,狄利克雷判,别法条件，是收敛的；,类

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