偏微分方程数值解法题解

1、偏微分方程的数值解法(含程序)示例1要解决初始边界值问题，需要裴秀智格式，完成以下计算：(1)采取单独计算瞬间的数值解法。(2)采取单独计算瞬间的数值解法。(3)采取单独计算瞬间的数值解法。与分析解决方案进行比较。解法：程序Function a=zhongxinchafen (x，y，la)U=zeros(长度(x)，长度(y)；For I=1:大小(x、2)If x(i)0x(i)=0.5U(i，1)=2 * x(I)；Elseif x(i)0.5x(i)1U(i，1)=2 *(1-x(I)；终端终端For j=1:长度(y)-1For I=1:长度(x)-2U (i1，J1)=u (i1，

2、j) l a * (u (I2，j)-2 * u (i1，j) u (I，j)；终端终端A=u (:大小(u，2)Function u=jiexijie1(x，t)For I=1:大小(x、2)k=3；a1=(1/(1 2)* sin(1 * pi/2)* sin(1 * pi * x(I)* exp(-1 2 *；a2=a1(1/(2 2 2)* sin(2 * pi/2)* sin(2 * pi * x(I)* exp(-2 2 2)While abs(a2-a1)0.00001A1=a2a2=a1(1/(k 2)* sin(k * pi/2)* sin(k * pi * x(I)* ex

3、p(-k 2)k=k 1；终端u(I)=8/(pi 2)* a2；终端Clc问题% 1，问题1ClearT1=0.01T2=0.02T3=0.1x=0:0.1:1；y1=0:0.001: t1；y2=0:0.001: T2；y3=0:0.001: T3；La=0.1Subplot(131)A1=zhongxinchafen(x，y1，la)；U1=jiexijie1(x，t1)线条(x、a1、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；霍尔德温线条(x、u1、颜色、b、线条宽度、1)；A2=zhongxinchafen(x，y2，la)；U2=jiexijie1(x，t2)线条(x、a2、c

4、olor、r、线条样式、线条宽度、1.5)；线条(x、U2、颜色、b、线条宽度、1)；A3=zhongxinchafen(x，y3，la)；U3=jiexijie1(x，t3)线条(x、a3、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；线条(x、u3、颜色、b、线条宽度、1)；标题(示例1(1)；subplot(132)；线条(x、u1、颜色、b、线条宽度、1)；线条(x、U2、颜色、b、线条宽度、1)；线条(x、u3、颜色、b、线条宽度、1)；标题(分析解决方案)；subplot(133)；线条(x、a1、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；线条(x、a2、color、r、线条样

5、式、线条宽度、1.5)；线条(x、a3、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；标题(数值解法)；Clc问题% 1，问题2ClearT1=0.01T2=0.02T3=0.1x=0:0.1:1；y1=0:0.0053360 t1；y2=0:0.0053360 T2；y3=0:0.005: T3；La=0.5subplot(131)；A1=zhongxinchafen(x，y1，la)；U1=jiexijie1(x，t1)线条(x、a1、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；霍尔德温线条(x、u1、颜色、b、线条宽度、1)；A2=zhongxinchafen(x，y2，la)；U2=

6、jiexijie1(x，t2)线条(x、a2、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；线条(x、U2、颜色、b、线条宽度、1)；A3=zhongxinchafen(x，y3，la)；U3=jiexijie1(x，t3)线条(x、a3、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；线条(x、u3、颜色、b、线条宽度、1)；标题(示例1(2)；subplot(132)；线条(x、u1、颜色、b、线条宽度、1)；线条(x、U2、颜色、b、线条宽度、1)；线条(x、u3、颜色、b、线条宽度、1)；标题(分析解决方案)；subplot(133)；线条(x、a1、color、r、线条样式、线条宽度、

7、1.5)；线条(x、a2、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；线条(x、a3、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；标题(数值解法)；Clc问题% 1，问题3ClearT1=0.01T2=0.02T3=0.1x=0:0.1:1；y1=0:0.013360 t1；y2=0:0.013360 T2；y3=0:0.01: T3；La=1.0subplot(131)；A1=zhongxinchafen(x，y1，la)；U1=jiexijie1(x，t1)线条(x、a1、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；霍尔德温线条(x、u1、颜色、b、线条宽度、1)；A2=zhongx

8、inchafen(x，y2，la)；U2=jiexijie1(x，t2)线条(x、a2、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；线条(x、U2、颜色、b、线条宽度、1)；A3=zhongxinchafen(x，y3，la)；U3=jiexijie1(x，t3)线条(x、a3、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；线条(x、u3、颜色、b、线条宽度、1)；标题(示例1(3)；subplot(132)；线条(x、u1、颜色、b、线条宽度、1)；线条(x、U2、颜色、b、线条宽度、1)；线条(x、u3、颜色、b、线条宽度、1)；标题(分析解决方案)；subplot(133)；线条(x、

9、a1、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；线条(x、a2、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；线条(x、a3、color、r、线条样式、线条宽度、1.5)；标题(数值解法)；运行结果：表1:时间分析和数值解决方案时间(t)分析解决方案数值分析时间(t)分析解决方案数值分析时间(t)分析解决方案数值分析0000000.22690.19960.20560.19390.09340.09440.43170.39680.39110.37810.17760.17960.59410.58220.53830.53730.24440.24720.69840.72810.63280.64870

10、.28730.29070.73440.78670.66540.68910.30210.30560.69840.72810.63280.64870.28730.29070.59410.58220.53830.53730.24440.24720.43170.39680.39110.37810.17760.17960.22690.19960.20560.19390.09340.09440.000000.000000.00000表2:时间分析和数值解决方案时间(t)分析解决方案数值分析时间(t)分析解决方案数值分析时间(t)分析解决方案数值分析0000000.22690.20000.20560.200

11、00.09340.09490.43170.40000.39110.37500.17760.17170.59410.60000.53830.55000.24440.24840.69840.70000.63280.62500.28730.27780.73440.80000.66540.70000.30210.30710.69840.70000.63280.62500.28730.27780.59410.60000.53830.55000.24440.24840.43170.40000.39110.37500.17760.17170.22690.20000.20560.20000.09340.094

12、90.000000.000000.00000表3:时间分析和数值解决方案时间(t)分析解决方案数值分析时间(t)分析解决方案数值分析时间(t)分析解决方案数值分析0000000.22690.20000.20560.20000.0934220.2000.43170.40000.39110.40000.1776-453.6000.59410.60000.53830.60000.2444684.6000.69840.80000.63280.40000.2873-861.2000.73440.60000.66541.00000.3021929.0000.69840.80000.63280.40000.

13、2873-861.2000.59410.60000.53830.60000.2444684.6000.43170.40000.39110.40000.1776-453.6000.22690.20000.20560.20000.0934220.2000.000000.000000.00000图1:时间的分析解决方案和数值解决方案图2:时间的分析解决方案和数值解决方案图3:时间的分析解决方案和数值解决方案示例2以Crank-Nicolson格式完成示例1中的所有任务。解决方案：类型如果把第一层和第一层放在等式的两端，(在程序中用表示)，时间点，空间点(在程序中用表示)简化：可以同时乘以左侧和右侧。

14、程序：Function a=granknicolson (x、y、la、a)U=zeros(大小(x，2)，大小(y，2)；For I=1:大小(x、2)If x(i)0x(i)=0.5U(i，1)=2 * x(I)；Elseif x(i)0.5x(i)1U(i，1)=2 *(1-x(I)；终端终端x=0:0.1:1；V1=零(大小(x，2)-2)；V2=零(大小(x，2)-2)；For I=1:大小(x，2)-2For j=1:大小(x，2)-2If i=jV1(i，j)=2 2 * a* la；V2(i，j)=2-2 * a* la；Elseif i=j 1|j=i 1V1(i，j)=-a* la；V2(i，j)=a*