南航矩阵论第一章

1、矩 阵 论,教材: 矩阵论，戴华编，科学出版社。,主要参考书： 方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，2004. 2. 刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版，2003. 3.程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版，2000. 4. 罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版，2002.,第2章 线性映射与线性变换,第1章 线性空间与内积空间,第3章 -矩阵与矩阵的Jordan标准形,第4章 矩阵的因子分解,第7章 矩阵函数与矩阵值函数,第5章 Hermite矩阵与正定矩阵,第6章 范数与极限,第8章 广义逆矩阵,第1章 线性空间与内积空间,本章概述线性空间与内积空间的基本 概念和基本理论。这些概念是通

2、常几何空 间概念的推广和抽象。在近代数学发展中，这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。本章内容是学习本书的基础。,1.1 预备知识：集合映射与数域,1.2 线性空间,1.3 基与坐标,1.4 线性子空间,1.5 线性空间的同构,1.6 内积空间,1.1 预备知识：集合映射与数域,1.1.1 集合及其运算,1.1.2 二元关系与等价关系,1.1.3 映射,1.1.4 数域与代数运算,元素 a 属于集合 M , 记作,元素 a 不属于集合 M , 记作,1.1.1 集合,1. 定义及表示法,定义 1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集 ,

3、记作 .,表示法：,(1) 列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素 .,例:,有限集合,自然数集,(2) 描述法：指把集合中元素所具有的特征性质表示出来。,x 所具有的特征,例: 整数集合,或,有理数集,p 与 q 互质,实数集合,x 为有理数或无理数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合之间的关系及运算,定义2 .,则称 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如 ,显然有下列关系 :,若,设有集合,记作,记作,必有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义 3 . 给定两个集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,机

4、动 目录 上页 下页 返回 结束,或,由集合的交与并运算的定义，显然有,定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合,则,特例:,为平面上的全体点集,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.1.2 二元关系与等价关系,定义1.1.2 设A、B是两个非空集合，元素对 的集合 为A与B 的笛卡 儿积，记作 ，即,定义1.1.3 设A、B是两个集合， 的子集 R 称为 中的一个二元关系，即按某种 规定，定义了一个有序对(a,b)的集合R， 其中,特别地， 中的二元关系简称为A上的二元关系。,实质：二元关系是描述两个集合之间元素与元素 的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系， 它是满足某种规律的有序对

5、全体。,例 1：,例 2：,A=矩阵论五班学生。,想一想： 在该例中还存在什么关系？,则：1（1，1），（1，3）， （2，2），（2，4）， （3，3），（3，4）, （4，1），（4，4） ,是选双学位专业的二元关系。,定义1.1.4 若集合A上的一个二元关系R 满足,（1） 自反性：对任意 ，有aRa；,（2） 对称性：对任意 ，如果aRb， 则bRa；,（3） 传递性：对任意 ，如果 aRb，bRc，则aRc,则称R是A上的一个等价关系。,定义1.1.5 设R是A上的一个等价关系， 称 为a关于R的等价类。 A的所有元素关于R的等价类集合 称为A关于R的商集。,特点：,同一等价类之间有

6、关系R, 而不同等价类之间 无此关系。 由对集合中各元素性质的研究转化为对一个 等价类的研究，大大减少了工作量。,A=矩阵论五班学生， R: 为同性别关系。,例 4：,例 5： 张扑克 1（，）与同花，是扑克 2（，）与同点，是扑克 ,1把分为四类同花类， ,则,2把分为类同点类。,定义1.1.6 设每个 都是集合A的非空 子集，如果 ，并且对任意 ， 当 时有 ，则称 是A的 一个分类。,定理1.1.2,（1） 集合A上的每个等价关系R 都决定A的一个分类。,（2） 集合A的每个分类都决定A 上的一个等价关系。,证明,（1） 如果R是A上的等价关系，则 A/R给出了A的一个分类。,（2） 如

7、果 是A的一个分类，令 存在 ，使得 则R是A上的一个等价关系。,定义1.1.6 若集合A上的一个二元关系R满足,（1） 自反性：对任意 ，有aRa；,（2） 反对称性：对任意 ，如果aRb， 且bRa，则a = b；,（3） 传递性：对任意 ，如果 aRb，bRc，则aRc,则称R是A上的一个偏序关系，记为“”。若 是集合A上的一个偏序关系，则称A是关于 偏序关系的偏序集，记为（A , ）。,定义1.1.6” 设（A , ）是一个偏序集，如 果对任意 ，总有 或 则称是集合A上的顺序关系，并称（A , ） 为序集或序空间。,1.1.3 映射,1. 映射的概念,南航学生的集合,学号的集合,矩阵

8、论5班学生 的集合,531教室座位 的集合,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例1.,定义1.1.7,设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规,则 f ,使得,有唯一确定的,与之对应 ,则,称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 ,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .,集合 X 称为映射 f 的定义域 ;,Y 的子集,称为 f 的 值域 .,注意:,1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 .,2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录

9、 上页 下页 返回 结束,手电筒,D,映射f,恒等映射（单位映射）I：,对映射,若, 则称 f 为满射;,若,有,则称 f 为单射;,若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,如果,则称映射,相等，,逆映射与复合映射,1.1.8 逆映射的定义,定义:,设有映射,若存在一新映射,使,习惯上 计为,例如, 映射,其逆映射为,称此映射,g为 f 的逆映射 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若f有逆映射，则称f可逆.,定理1.1.4 设映射f :AB是可逆的，则f 的逆 映射 是唯一的。,复合映射,机动 目录 上页 下页 返回 结束,手电筒,

10、A,引例.,复合映射,定义1.1.9 设A、B、C是三个非空集合，并 设 有两个映射,由,确定 A 到 C 的映射,称为映射,的乘积（复合），记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 构成复合映射的条件,不可少.,以上定义也可推广到多个映射的情形.,C,定理1.1.3 设有映射,注意：复合映射一般不满足交换律。,定理1.1.5 映射f :AB是可逆映射的充 分必要条件是 f 是A 到B 的双映射。,证明：,定义1.1.11 设A 是一个非空集合，A 到 自身的映射称为A 的变换；A 到自身的双 映射称为A 的一 一变换；如果A 是有限集， A 的一一变换称为A 的置换。,1.1.4 数域与代数运算,定义1.1.12 设 P 是包含0和1在内的数集，如 果 P 中任意两个数的和、差、积、商（除数 不为0）仍是 P 中的数，则称 P 为一个数域。,定义1.1.13 设A,B,C是三个非空集合， 到C的映射