变量代换的应用

1、1 变量代换的类型变量代换法是指用另一些新的变量来代换某些变量的解析表达式,从而使原有的问题转化为较简单的,易解决的问题的方法,这种方法也称为换元法.在学习数学的过程中,变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法.恰当地运用变量代换的观点方法,常常能起到化难为易、化繁为简的作用变量代换有多种类型,它在解决数学问题中发挥着不可或缺的作用.我们只有掌握了变量代换的不同类型,才能在解决问题时更加得心应手. 本节先给出积分运算中几种常见的变量代换,然后给出公式变形和函数解析式中的变量代换. 1.1 算式代换算式代换是指积分表达式中含有的代换.例1 求定积分.解 令,则.当时,;当时

2、,.所以有.1.2 根式代换根式变换是指积分表达式中含有无理根式的代换.例2 求定积分.解 令,则当时,;当时,.则 .1.3 倒代换倒代换是指积分表达式中分母的两个自变量的幂之差大于1的代换.例3 求不定积分.解 令,则 .1.4 三角代换三角代换是指积分表达式中含有,等形式的代换.例4 求.解 令,则当时,;当时,.所以.1.5 指数代换指数代换是指积分表达式中含有的代换.例5 求不定积分.解 令,则有.1.6 公式变形中的变量代换在解题时,我们常对一些形式的式子感到很难理解,但只要仔细分析,我们会发现它可能就是一些公式的变形形式.因此,我们在认识公式时,可适当利用变量代换法来认识其变形形

3、式例如 设,则,于是有同样,利用变量代换方法也可来理解其他的三角函数的公式.又例如 .设,当时,于是有, 即 .如果设,则.同理,则,即.通过对公式进行变量代换,我们不仅可以加深对公式的理解,还可以看到一些我们解题时有用的式子例如 .1.7 函数解析式中的变量代换 例6 已知,求.解 由于题中函数表达式不是我们习惯的形式,可先把函数表达式化为我们习惯的形式,根据题意,不妨设,则.从而有.例7 已知,求表达式.解 令 ,则有.因此有,得的表达式.2 变量代换在数学中的应用2.1变量代换在条件极值中的应用条件极值是高等数学中的一项重要内容,而变量代换法是求极值和最值的方法之一,他可以是问题简化.下

4、面我们来对变量代换在极值和最值方面的应用加以探讨.设定 为实函数, ,且,. 文献3引论1 对于设定,若函数组均在S上连续,则由函数组确定的SD的映射F在S上也连续 引论2 设,是度量空间,映射,那么在上连续的充要条件是像空间中的任一开集的原像是X中的开集 引论3 设X是度量空间,B为开集,则A为X的开集的充要条件是A是相对于B的开集 结论1 设S,D均为开集,函数组在S上均连续, ,若是的极大(小)值点,则为的极大(小)值点证 设由函数组确定的SD的映射为 F,因为均在S上连续,所以F也在S上连续(引论1)因为为D中极大值点,所以总存在点的某一邻域 ,使时,因为D为开集,所以是相对于D的开集

5、(引论3),又因为F连续,所以是相对于S的开集(引论2),而S为开集,所以也为的开集(引论3)又因为,则为点的一个邻域对于,则有,所以有. 同理可证极小值的情况. 结论2 在结论1中,若由函数组确定的SD的映射F为一一对应,且F的逆映射连续(即 F是SD的同胚映射),则是的极大(小)值点的充要条件是为的极大(小)值点.证 必要性可由结论1得证,充分性仅对极大值点的情形予以证明.设是的极大值点,则存在的一个邻域,使 ,.由F是SD的同胚映射及引论3可知,的一个邻域设 ,存在,使得,对给定的,是唯一存在的,则当时, ,因此有.在结论2中,把“极大(小)值点”都改为“严格极大(小)值点”,结论仍成立

6、 结论3 设,则是的最大(小)值点的充要条件是是的最大(小)值点.(证明略) 结论4 设,则为在约束条件下的最大(小)值点的充要条件是为在约束条件下的最大(小)值点.(证明略) 例1 讨论函数在 D上的极值与最值, 约束条件为.解 设 由(2-1),(2-2)确定的映射F：SD是同胚映射,所以原问题可化为函数在S上满足约束条件下的极值与最值问题,即化为函数在区间内的无条件极值与最值问题.设,令 . (2-3)显然由(2-3)确定的映射是同胚映射这时在内有唯一驻点,且是极小值点,从而也是最小值点又因为驻点唯一,所以函数没有极大值与最大值当t = 1时,得；再由及0 r 0,当0时,取),可将方程

7、化为常系数线性齐次方程,其中都是已知常数,求出该方程的通解,再代回原变量就可得到尤拉方程的通解. (2) 对二阶变系数线性齐次方程.当该方程的不变式为常数时,我们可以经过未知函数的线性齐次变换,化为关于新未知函数的不含一阶导数项的常系数二阶线性齐次方程,从而达到求解的目的.通过对以上几类常微分方程的分析,不难看出,分离变量和变量代换的结合使用是求解微分方程的重要方法之一,而恰当的变量代换又可以使方程化简.掌握上述微分方程的类型,就能够适当的选取变量代换来求其通解.下面我们来列举一些用变量方程求解常微分方程的例子.例1 解方程.解 将方程整理后可得.故令,代入后可得.分离变量后,两边积分可得.再

8、代回原变量,得原方程通解为例2 解方程.解 令可得,代入方程得,分离变量,再积分,化简整理可得,再代回原变量,得原方程的通解.例3 解方程.解 作平移变换,从而有 ,原方程化为.为了消去方程右边分子、分母的常数项,令,从而求得.故令 ,原方程化为.由此可知通解为.带回原变量得原方程的通解.例4 解方程. 解 令,则方程可变形为,整理后可得分离变量方程.分量变量,再积分,整理后得,再代回,可得原方程的通解.通过对以上几类常微分方程的分析,我们不难看出,将分离变量和变量代换的结合使用,是求解微分方程的重要方法之一,而恰当的变量代换又可以使方程化简.掌握上述微分方程的类型,我们就能够适当地选取变量代

9、换来求其通解3 变量代换中常见的问题变量代换法是解高等数学题时常用的一种解题方法,在数学中扮演着非常重要的角色,它是通过变换未知量来解题的一种方法,在一般情况下就是要通过变量代换使形式复杂的问题转化为形式简单的问题,生疏的问题转化为熟悉的问题正确恰当地运用变量代换会使问题简化,易解,起到事半功倍的作用.但是,如果所用的变量代换不恰当甚至不正确,就可能导致问题变得更复杂、难解,甚至得到错误的结果还有些题目从形式上看似可以用变量代换法,但在实际操作的时候可能会出现一些问题,从而使转化以后的问题与原问题相背离,导致最终得到错误的答案所以,在用变量代换法解题时一定要谨慎本节将分别从极限运算、导数运算、

10、积分运算等几个方面举例说明用变量代换解题时出现错误的地方3.1 极限运算方面的问题例1 求极限.解 令,则原式=.上述解法的错误在于:作变量代换后,新的变量的趋势应为,与第一个重要极限要求的自变量趋于0不符,所以不能直接利用第一个重要极限来作该题的正确做法为:由于是当时的无穷小量,是有界函数,利用：无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量的结论即可得该题的答案为0通过上例我们可以看出:对于形如的极限,能否用变量代换把原式转化成第一个重要极限的形式来做,要看当时,是否有,若是,才可按上步骤来做例2 求极限. 解 令, 则当时, ,故.因为不存在,所以原式的极限也不存在上述解法的错误在于:在求复合函数

11、的极限时,若,且当时,作变量代换,则当不存在且不是无穷大量时可能存在 该题的正确做法为:当时,故. () 3.2 导数运算方面的问题 例1 设存在,求,其中为不等于零的常数 解 令,则原式=.上述解法的错误在于:在导数的定义中,是定点而在上面的解法中,作代换以后,是随变量的变化而变化的,不再是定点,与导数的定义不符该题的正确做法为原式.例2 求函数 的导数.解 令 ,则原函数可以看作是由复合而成的,由复合函数求导的链式法则得 .上述解法的错误在于:把复合关系搞错了上面的做法实际上求的是由复合而成的函数的导数该题的正确做法为 . 3.3 积分运算方面的问题例1 求.解 令,则,故原式上述解法的错

12、误在于:作过变量代换以后,积分的上下限没有作相应的改变该题的正确做法为:令,则 ,当从0变到4,相应的t从0变到2,故原式=.例2 求.解 先求不定积分,令,故 = .所以,由牛顿莱布尼茨公式可得=.上述解法的错误在于:由于所作的变量代换在上不连续,所以函数不是函数在上的原函数故不能利用牛顿莱布尼茨公式.该题的正确做法为:首先,令,则 对第二个积分作代换 , 则上式再作代换 , 则,故上式 .即此题的解为.4 结束语 本文从多个角度介绍了变量代换法在数学学习中的广泛应用,充分显示了变量代换法是众多数学方法中易于掌握而且行之有效的方法它不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法正确恰当地运用变量代换会使问题简化、易解,起到事半功倍的作用 当然,尽管变量代