概率论与数理统计

1、,序 言,?,概率论与数理统计 是研究什么的？,引 言 一.确定性现象与随机现象 1.确定性现象:在一定的条件下, 现象的结果只有一个,事先可以预言其结果的现象. 如: A. 在标准大气压条件下，温度达到100的纯水,一定会沸腾； B. 树上的苹果一旦成熟,一定会落到地上. 2. 随机现象:在一定的条件下, 现象的结果不止一个,事先无法预言会出现哪一个结果的现象.,如:A. 抛一枚质地均匀的硬币，掷出哪一面？,B. 抛一枚质地均匀的骰子,掷出哪一点？,从表面上看，随机现象无规律可循.但是如果我们对随机现象进行大量试验，就可以发现其规律性.历史上曾有两位数学家对“抛掷硬币”的随机现象经过试验,统

2、计出其规律性.,从上表可知,随着试验次数的不断增加,出现正面与反面的次数差不多，即出现正面与反面的可能性大小一样,分别是1/2.这就是“掷硬币”这一现象的内在规律性. 二.概率论的研究对象 概率论是从数量上研究随机现象及其规律性的一门数学分支. 它是高等学校工科类，经济类专业的学生，应该学好的重要基础课程.它理论严谨, 应用广泛，发展迅速，是与实际问题比较接近的数学课程. 希望大家把握学习方法，认真学习，把这门不易学好的课程学好.,无序隐有序，,悟 道 诗,严加安（中科院院士）,随机非随意，,概率破玄机。,统计来解迷。,2.概率论与数理统计 浙江大学 盛骤编 高等教育出版社,参考书：,1.概率

3、论同济大学 编 高等教育出版社,教材：概率论与数理统计宗序平等编 机械工业出版社,3.概率论与数理统计(经管类） 吴赣昌编 中国人民大学出版社,国内有关经典著作,国外有关经典著作,概率论的起源,概率论 其起源于博弈问题.,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕,斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方,法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理,分配赌注问题” ( 即得分问题 ).,得 分 问 题,甲、乙两人各出同样的赌注，用掷,硬币作为博奕手段 . 每掷一次，若正面朝,上，甲得 1 分乙不得分. 反之，乙得1分，,甲不得分. 谁先得到

4、规定分数就赢得全部,赌注. 当进行到甲还差 2分乙还差3分，就,分别达到规定分数时，发生了意外使赌局,不能进行下去，问如何公平分配赌注？,11/16,5/16,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及,所有科学技术领域、工农业生产和国民经,济的各个部门中. 例如,1. 气象、水文、地震预报、人口控制,及预测都与概率论紧密相关；,2. 产品的抽样验收，新研制的药品能,否在临床中应用，均要用到假设检验；,3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计,和数据处理；,4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其,发射都离不开可靠性估计;,5. 处理通信问题, 需要研究信息论；,6. 探讨太阳黑子的变化规律

5、时,时间,序列分析方法非常有用;,7. 研究化学反应的时变率，要以马尔,可夫过程 来描述;,8. 生物学中研究 群体的增长问题时，,提出了生灭型随机模型，传染病流,行问题要用到多变量非线性生灭过程；,9. 许多服务系统，如电话通信、船舶,装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、,水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都,可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知,识就是 排队论.,目前, 概率统计理论进入其他自然科学,领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领,领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经,济的稳定增长等问题 , 都大量采用概率,统计方法. 法国数学家拉普拉斯(Laplace),说: “ 生活中最

6、重要的问题 , 其中绝大多数,在实质上只是概率的问题.”,英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾,对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正,的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那,么我们就寸步难行, 无所作为.,第一章 随机事件及其概率,随机事件及其运算 概率的定义及古典概型 概率的加法公式 概率的乘法公式与事件的独立性 全概率公式与Bayes公式 n重贝努利概型,1.1 随机事件及其运算,一、随机试验与样本空间,概率论的研究对象是随机现象,而对随机现象是通过试验来研究的.,1.随机试验,对某事物特征进行观察, 统称试验.,定义:若试验满足,1.可在相同的条件下重复进行；,2.试验的可能结果不止一

7、个,但事先能明确所有可能发生的结果；,3. 试验前不能预知出现哪种结果;,称此试验为简单随机试验，简称随机试验。 常用T或E来表示.,例1.1 T1: 掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面还是反面。,例1.2 T2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。,例1.3 T3: 记录某电话台一小时内接到的电话呼唤次数。,例1.4 T4: 在一批灯泡中任取一只，测试某寿命。,2.样本点与样本空间,样本点: 试验的每一个可能发生的结果称为一个样本点,记为.,样本空间：随机试验的所有可能结果所 组成的集合称为样本空间，记为。 这里要说明的是： 样本点及样本空间只是特殊的元素与集合而已.,例1.1 T1

8、: 掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面还是反面。 例1.2 T2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。 例1.3 T3: 记录某电话台一小时内接到的电话呼唤次数。 例1.4 T4: 在一批灯泡中任取一只，测试某寿命。,样本空间,有限样本空间,无限样本空间,可数样本空间,不可数样本空间,注1：样本空间可以由数组成，也可以不是数组成；,注2：最简单的样本空间由两个样本点构成；,二、随机事件,注：1.这里的结果既包含试验T的可能结果或试验的更加复杂的结果. 如在例1.2的T2中： A=“掷出5点”； B=“掷出奇数 点”；C= “掷出的点数不大于3”. 2.事件可以理解为样本空间的子集合.

9、如：A=“掷出5点”=5 B=“掷出奇数点” =1，3，5 C= “掷出的点数不大于3”=1，2，3. 再如：D= 2，4，6 =“掷出偶数点”,定义：把试验的结果称为事件，常用大写字母A，B，C来表示.,例1.2 T2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。,事件：A=“掷出5点”=5； B=“掷出奇数点”=1，3，5； C=“掷出的点数不大于3”=1，2 ，3 。 例1.3 T3: 记录某电话台一小时内接到的电话呼唤次数。 事件：A=“一小时内接到的10次呼唤”=10； B=“一小时内接到的不少于100次呼唤” =100 ， 101 ， 102 ， 。, ,而是由全体样本点组成集合,它

10、在一次试验中必然发生,把称为必然事件 同样,H= “掷出的点数小于10”= ,注3:因为 ，用 表示不可能事件。 如:T2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。 F = “掷出的点数小于0”= ,A,随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算,文氏图 ( Venn diagram ),三、事件的关系和运算,(2)性质:,(1)定义:若 事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称A 包含于B,记为,1. 事件的包含,2. 事件的相等,A,B,或,(1)定义:把“事件 A与事件B 至 少有一个发生”的事件,称为A 与B 的和事件,记,的和事件,(2):推广,3. 事件的并(和),“ 至少有一

11、个发生”,“ 至少有一个发生”,的和事件,或AB,(1)定义:把“事件 A与事件B 同时发生”的事件称为A 与B 的积事件,记为,的积事件 ,的积事件 ,(,4. 事件的交(积),(2)推广,(1)定义:A 与B 互不相容,若A、 B不可能同时发生 即 AB=,两两互不相容(互不相容),两两互不相容(互不相容),5.互不相容关系 (互斥关系),(2)推广,(1)定义:若A 与B 满足,A,称A 与B 相互对立的,并且把B称为A 的对立 事件,(2)性质,6.对立关系,注:这里每次试验 A、 B中有且只有一个发生,(1)定义：把“事件 A 发生，但 事件 B 不发生”的事件，称为A 与B 的差事

12、件，记为AB,7. 事件的差,(a) A-B =,(2)性质,8. 完备事件组,若 互不相容，且,则称 为完备事件组.,或称 为 的一个划分.,空间、全集 空集 全集中的元素 集合A是的子集 集合A包含于B 集合A与B相等 集合A与B的并 集合A与B的交 集合A的余集 集合A与B交为空 集合A与B的差集,A=B A-B,集 合 论,概 率 论,记 号,样本空间、必然事件 不可能事件 基本事件，样本点 事件A 事件A发生必然导致B发生 事件A与B相等 事件“A，B至少有一个发生” 事件“A，B同时发生” A的对立事件或逆事件 A,B事件互不相容(互斥) 事件“A发生,B不发生”,四.事件运算的运算法则,1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC) (AB)C(AC)(BC) 4、德摩根(De Morgan)律：,A、B、 C 的运算关系表示下列事件：,例1.5：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，,以A、B、C分别表示甲、乙