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文档简介

1、第十二讲,狄拉克符号 占有数表象,一、狄喇克符号,在几何学或经典力学中，常用矢量形式讨论问题而不指明坐标系. 同样，量子力学中描写态和力学量，也可以不用具体表象. 这种描写的方式是狄喇克最先引用的，这样的一套符号就称为狄喇克符号.,微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是 ，称为右矢；也可以用另一种矢量来表示，这种矢量的符号是 ，称为左矢.,显然 和 互为共轭，即,和 是两种性质不同的矢量，两者不能相加，它们在同一种表象中的相应分量互为共轭复数。 在 表象中的分量为 ，那么 在 表象中的分量为 。 和 在同一表象中相应分量的乘积之和称为 和 的标积，用符号 表示.,一个状态是算符 （或一

2、组相互对易的算符) 的本征态，对应的本征值是 ，而且属于这个（或这组）本征值的本征态只有这样一个时，,和 的正交归一条件可写为：,的本征值组成连续谱 ，则,设 为表示某一状态的右矢，这个态在 表象中以波函数 描写， 就是右矢 在 表象中的分量， 可以按 展开：,以任意左矢 左乘（1）式两边，得,以 左乘上式两边，得,两边取共轭复数，有,是任意的，所以得,式中 和 分别是 和 在 表象中的分量，由此有,上式表示的性质称为本征矢 的封闭性。,如果 的本征值既有分立谱又有连续谱，以 表示对应于连续本征值 的本征矢，那么 本征矢的封闭性表示为：,设算符 作用在右矢 上得到右矢 ，则可写为：,设 有分立

3、的本征值谱，将 和 按 的右矢 展开，则有,得,利用 ，得,式中 是算符 在 表象中的矩阵元,有,得,算符在 表象中的矩阵元可写为,设 是任意的右矢，则,当 是厄密算符时， ；上式写为,一些公式的通常写法与用狄喇克符号的写法对照如下：,或,或,二、线性谐振子与占有数表象,线性谐振子的能量本征方程，求得它的能级为,引入新的算符,和它的共轭算符,由 ， 的对易关系 可以得出 ， 的对易关系：,利用变数代换,将 作用于谐振子哈密顿算符的第 个本征态 得：,得,同样,用狄喇克符号 ，上式可写为,简化为,不用具体表象，上两式写为,， 和 都是谐振子哈密顿算符 的本征矢，分别对应于本征值 ， 和 。由 可知能量 等于 的 倍加零点能 。谐振子的能量只能以 为单位改变，这个能量单位 可以看作一个粒子。本征态 表示体系在这个态中有几个粒子。经算符 作用后，体系由状态 变到状态 即粒子数减少一个，所以 称为粒子的湮灭算符，同理 称为粒子的产生算符。,有,是表示谐振子基态的右矢.,有,反复应用可得,解出 ， ，得,代入线性谐振子的哈密顿：,得到 用 ， 表示的式子：,以 表示 ：,算符 的本征值是粒子数,以 为

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