固体物理中32个基础问题

1、固体物理问题1 如何理解什么是晶体结构。1 理想晶体：An ideal crystal is constructed by the infinite repetition of identical structural units in space.本质在于长程有序。2 晶体结构（Crystal structure） = lattice + basis1) 点阵（lattice）：a regular periodic array of points in space.选取不唯一，不同的基元可能对应不同的点阵。2) 基元（basis）：the group of atoms。选取不唯一，体积最小和

2、原子数最小的基元是原胞（初基基元），对应着初基晶轴，这两个是唯一的。3) 基矢（Primitive translation vectors ）：，（晶轴），晶轴选取不唯一，初基晶轴选取也不唯一；初基平移矢量对应于初基基元，因此初基基元形状不唯一。晶格平移矢量（Lattice translation vector）：where ， and are integers.基元中第j原子的相对位置（The center position of an atom j inside the basis）：where 3 原胞（Primitive lattice cell）：形状不唯一。 1）Primitive

3、 lattice cell is the minimum volume cell in the lattice。最小体积为其中，称为初基晶轴。2）There is always one lattice point per primitive lattice cell。同原胞中一个格点相联系的基元称为初基基元，初基基元是包含原子数目最少的基元。注意是一个格点，而不是一个原子。3）维格纳-赛兹原胞（Wigner-Seitz cell） 原则上是所有的点，但通常近邻的点即可，由近到远。在倒易空间的维赛原胞就是布里渊区。4）惯用晶胞（The conventional cell）can be same

4、or sometimes bigger than the primitive cell。2 晶格有哪些基本类型。立方晶格及简单晶体结构的基本特点。晶格平移矢量具有任意性，因此给出的一般性晶格通常都称为斜方晶格；布拉维晶格（Bravais lattice）是对某种具体晶格类型的通称。对称性使然。1二维晶格：五种不同的类型正方晶格，长方晶格，六角晶格，有心长方晶格（不是原胞），一般的斜方晶格。2 三维晶格：七大晶系十四种晶格类型一般的晶格类型为三斜晶格。七大晶系（惯用晶胞）：立方（3），四角（2），正交（4）；三角（1），六角（1）；单斜（2），三斜（1）（二斜和三斜的对称性一样）。3 立方晶格：

5、简单立方（sc），体心立方（bcc），面心立方（fcc）1）三个最近邻点作初基晶轴（这只适合于立方晶格）。2）最近邻数和堆积比率正相关。3）体心立方晶格的原胞是10928的菱面体；面心立方的是60菱面体。（三角晶格）4简单晶体结构1）密堆结构（Close-packed structures）六角密堆结构（hcp）：ABAB 面心立方结构（fcc）：ABCABC 二者最近邻数都是12，堆积率一样（0.74）；并且结合能（自由能）仅取决于每个原子的最近邻键的数目，因此两种结构在能量上没有差别。hcp原胞有2个原子，fcc原胞不是3个原子，而是一个原子！fcc沿着体对角线方向进行堆积。2）金刚石结构

6、（Diamond structure）图中分数值表示以立方体边长为单位，其原子处在一个fcc格子上；在1/4和3/4处的点是处在另一个相似的格子上（两套fcc，体对角线方向平移1/4）。如果看作单个的fcc晶格，基元是由位于（000）和（1/4,1/4,1/4）的两个全同原子组成（原胞中应该是相邻的原子，满足式）。每个原子有4个最近邻，因此堆积率很低，只有0.34；碳、硅、锗，锡都能结晶为金刚石型结构。3）氯化纳型结构（NaCl）面心立方，基元由一个Na+和一个Cl-组成，间距为一个单位立方体体对角线的一半，每个原子有6个异类原子作为最近邻。（一个大一个小，填充）。问题是面心立方的基元怎么会两

7、个原子？这也是两个面心立方合在一起的结果，距离长才构成离子晶体。4）氯化铯型结构（CsCl）（典型的离子晶体）简单立方，基元由一个Cs+和一个Cl-组成，每个原子有8个异类原子作为最近邻。5）立方硫化锌型结构（ZnS）（介于离子键和共价键之间）面心立方，类似于金刚石结构，错开于立方体体对角线的1/4，不同的是不存在一个反演对称操作中心。6）立方钡钛矿结构（BaTiO3）:Ba在顶点，Ti在体心，O在面心。3 如何确定晶面指数。1求晶面指数Step 1: find the intercepts, h, k and l, on the axes in the terms of lattice co

8、nstants a1, a2, a3.Step 2: take the reciprocals of these numbers and multiply the same ratio to have three integers, usually the smallest three integers, h, k, and l, enclosed them into brackets (hkl).（反过来时则只需要求倒数，因为晶面是一系列可通过晶格平移矢量移动的平面，只有不可以移动时才是不等价的，例如（200）与（100）2 具体情况Case1: all h, k and l 1 multi

9、ply a number to 1/h, 1/k and 1/l to have the smallest three integers.Case2: any h, k and l a时，可把晶体看作连续介质，角频率为的弹性模式为描述的振动是一个行波，它的能量有一半是动能，另一半是弹性势能，由此可算出和驻波模式相同的关系2 声子动量1）声子不携带物理动量。对于原胞中只含有一个原子的晶格弹性振动，经典力学的解为动量为因为，得。因此一个弹性模式（确定的w，可以对应很多的k）的动量为零，而一个模式含有个声子数，因此声子的动量为零。当K=0时模式时（质心坐标），w为零，声子数为零，因此声子也没有动量；

10、P不为零，此时晶格均匀平移，携带线动量（如果以质心为坐标系时就是静止的，对应波动里的能量为零）。举例：两粒子体系。（量子谐振子，经典波模型，经典粒子模型）2）声子的准动量尽管声子没有物理动量，但平常这些有声子参与的过程中，为处理问题方便起见，我们把量称为声子的准动量或声子的晶体动量，主要是由于它的性质类似于一个动量。这样凡是有声子参与的碰撞过程中动量守恒依然存在。但它的动量不是真实动量，因为当波矢增加一个倒格矢量时，不会引起声子频率和原子位移的改变。即从物理上看，它们是等价的，这是晶体结构周期性的反映。但在处理声子同声子、声子同其它粒子之间的相互作用时，又具有一定的动量性质，所以叫做准动量。3

11、 声子波矢的范围声子波矢K的范围在第一布里渊区，即1）对于原胞中只含一个原子的情况，由式，两个相邻平面的位移之比为位于与区间的相位Ka涵盖了指数函数所有独立的值。因为波函数只要知道了各处的比例，就得到波函数在所有地方的分别，这是由归一化得到的，因此声子波矢K的范围在第一布里渊区。2）在时空间的格波中，如下图所示，黑点就是晶格，由实线所代表的波不能给出比虚线更多的信息。即两个波具有相同的振幅和频率。从晶体结构角度来看，是由于离散的晶体结构导致了晶格能够用无数的波描述，因此把声子的波矢定义在第一布里渊区。13 基元中含一个原子或两个原子时声子色散关系。光学支声子，声学支声子。1 基元中含一个原子或

12、两个原子时声子的色散关系1）只考虑最近邻之间的相互作用，可得到具有胡克定律形式的受力，再由牛顿第二定律，可得运动方程为通过时间分离和代入行波解（可用传递矩阵求得），得色散关系为长波极限下，有2）基元中含两个原子时声子色散关系同理地，得到相应的运动方程代入行波解，并把两方程的系数写成行列式形式，可得解得在长波极限下，有2 光学支声子和声学支声子当每个原胞含p个原子时，有3pN种格波，即有3pN种声子。其中有3N中声学支，有（p-1）3N个光学支。对含有2个原子的情况，1）光学支声子：当K趋于零时，频率w在红外频率范围；两原子相对于质心振动，而质心不动， 把色散关系回代运动方程，在K趋于零时可得。

13、即。式左式为光学支。2）声学支声子：当K趋于零时，频率w在声频范围；两原子随质心一起运动，即。式右式为声学支。14 声子的统计分布，态密度。1 声子的统计分布声子是准波色子，遵循的是普朗克分布，为准波色分布。一个频率为的简正模式在某一温度下对应的平均量子数（声子数）为其中，是能量的特征长度。由于声子数不守恒，所以化学势为零。通过统计物理的状态数的指数比例关系，求加权平均的一般定义，还有求和的数学技巧可得到以上分布。2 态密度态密度是指单位频率（能量）间隔内的模式数。对于给定的色散关系，我们来推导态密度的一般性表达式。在K空间中，有其中是等频率面（等能面）的面积元。通过梯度的定义和群速的表达式，

14、最后用V是最一般的，用2/L只是立方晶格这个具体情况。因为是在均匀条件下，k空间里包含一个状态模式的体积。但我还不是很懂二者的联系。可求出事实上，对于简单的晶格，我们直接用态密度的定义就可以得到具体表达式1）一维态密度可以利用固定边界条件和周期边界条件得到相同的结果，但对于较大尺寸的晶体，常用周期边界条件。N=2k/(2/L)=kL/，态密度为2）二维态密度3）三维态密度15 Debye模型和Einstein模型。1 声子比热容定容比热容是指体积一定下，内能对温度的导数。声子的总能量就是所有声子能量之和，可以通过波矢K和极化模式指标p求和，也可以对频率w和极化模式p求和；由于温度的存在，需要用

15、到普朗克分布。表达式为其中，是能量子的无量纲化。由此可知，要求比热，就需要求出态密度，最终需要确定色散关系（或群速度）。在色散关系中，做泰勒展开时，取零阶近似，即为爱因斯坦模型；只取一阶近似，即为德拜模型。2 德拜模型德拜近似：声速保持恒定；有截止频率（确定的原胞数N）。即由此可得内能和比热容为其中定义为德拜温度，。1）温度很高时，对其中的指数形式做泰勒展开取二阶近似，在计算得2）在很低温度下，可以认为积分区间从零到正无穷。由此式的积分是常数，运用数学技巧，可以把积分算出。可知比热容与温度的三次方成正比。通常称为定律。3 爱因斯坦模型频率均为，在红外范围。态密度为内能和比热为1）高温下，2）在

16、很低温度下，。比德拜模型更快地衰减至零。4 德拜模型和爱因斯坦模型的关系1）Debye model is a good approximation for the acoustical branch（声学支）at long wave limit（速度恒定）. However it cannot describe the optical branch. On the other hand, the optical branch can be treated in the first approximation by Einstein model.2）At very low temperature

17、 only the acoustical branch with small K can be thermally excited. The acoustical branch contributes mostly to the heat capacity.3）At very high temperature all the phonons are thermally excited to high energy level. Both models lead to the classical results.4）For a complex crystal structure with p a

18、toms in a primitive cell, the batter approximation is to combine Debye model and Einstein mode together. The acoustical branches are described by Debye model and the optical branches by Einstein model.即16 为什么热膨胀源于晶格的非谐振动。当势能只依赖于原子相对位移的平方项时（一次方项和常数项都为零），为谐和理论；当势能含有高于二次项时，即为非谐项。令原子在绝对零度下偏离平衡间距的位移为x，相应

19、的势能可写成其中c,g,f都是正数；三次方项代表原子之间排斥作用的非对称性，四次项代表在大振幅下振动的软化。采用波尔兹曼分布求平均位移通过泰勒展开取一阶近似，并利用函数的奇偶性，可求出在经典范围内，热膨胀的表达式为由奇偶性容易知道，势能中含有偶数项的值都在积分中为零了，所以谐项中是没有热膨胀的；并且一阶近似中，f也没有发挥作用。事实上，通过作势能图像，利用平均值在中心，可以很形象地体现热膨胀机理。17 声子气和自由电子费米气的热导率。倒逆过程。Wiedemann-Franz定律。1 声子气和自由电子费米气的热导率与电导率相似地，可以通过热流定义热导率其中是热流（热通量），即单位时间内通过单位面

20、积传输的能量。上述定义为一维情况。若粒子 所有粒子的热导率皆是如此定义，无论是声子还是电子。（声子或电子）的浓度为n，则在x方向上粒子通量为；在平衡时，反方向上存在同样大小的通量。两方向粒子通量给的总能通量为那么在三维情况下为因此，如果v是常量，由式知热导率为其中C是定容比热，v是群速度，l是平均自由程。平均自由程由几何散射（晶体边界和缺陷）和声子间散射引起；在谐和力下，没有声子散射（热膨胀中可以证明） 弹性散射不改变声子数，联系一下。含非谐项耦合时，在高温下，l正比于1/T（碰撞随温度升高而增加）。德拜模型下的讨论1）低温下，声子数少，l近似为常量，v是常量，（电子为）。2）高温下，声子数多

21、，C近似为常量，v是常量，（电子一样）。2 倒逆过程三声子过程，正常过程为；倒逆过程（U过程）为，此时K3的x方向是倒转了的。两过程的动量和能量都是守恒的。倒逆过程表明，所有有物理意义的声子波矢K都在第一布里渊区里，因此在碰撞过程中产生的任何更长的波矢都必须通过一个倒格矢，使其折回第一布里渊区。图为3 Wiedemann-Franz定律（维德曼-夫兰兹定律）定律：在不太低的温度下，金属的热导率与电导率之比正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。利用电导率公式和电子的热导率公式可以得到。不太低温度是由于只涉及电子的热导率，忽略了声子的作用。18 什么是自由电子费米气。费米能级，费米面。自

22、由电子费米气的态密度。1 自由电子费米气两两没有相互作用并遵循费米狄拉克分布（暗含泡利原理）的电子系统，可以用单电子近似进行描述。而在晶体中引入周期性势场是作了平均场近似，这是在弱关联情况下很有效的近似方法。2 费米能级，费米面The Fermi sphere: in the ground state (T = 0), the occupied orbitals may be represented inside a sphere in k space.费米球不一定是球。The Fermi energy: the energy at the surface of Fermi sphere.Th

23、e Fermi surface: the surface in k space where the energy equals to Fermi energy.3 自由电子费米气的态密度三维的自由电子费米气模型，就是在自由粒子的薛定谔方程中加入周期性边界条件。解为其中受周期性边界条件作用，波矢取分量值色散关系（本征值）为当N个自由电子的系统处于基态 基态是指在绝对零度下，能量最低的状态。具体是由于泡利原理，电子一个一个地从低能级往高能级填，直至填完，这时的能量最低。这样三维下在k空间填出来的就是一个球。时，被占据轨道可以表示为k空间中一个球内的点，这个球就是费米球；费米能定义为基态下最高被填满

24、能级的能量，因此球面上的能量就是费米能，球面为费米面，费米面上波矢大小用表示，有k空间中，由泡利原理，一个费米子填充一个轨道。因此填充的轨道总数就等于电子数。填充的轨道总数为结合和式可推出关于电子浓度的表达式。通过定义或对数的数学技巧，可以得到态密度为19 为什么经典模型求出的电子比热容比实际测量结果大很多。金属的比热容。1 经典模型求出的电子比热容比实际测量结果大很多的原因the heat capacity of electron Cel= 3kBN/2. Reason: the Pauli exclusion principle and the Fermi-Dirac distributi

25、on。Not every electron gains an energy kBT, but only those electrons in orbitals within an energy range kBT of the Fermi level can be excited.估算：在态密度图中，利用简单的几何关系，用面积（粒子数）比可以看出，只有比例T/TF的那部分电子被激发，室温下为0.01数量级。，为费米温度。2 电子比热容内能增量为利用轨道数N的恒等式和分布函数的具体表达式，可写成第一个积分表示将电子由激发到轨道所需的能量；第二个积分表示能量在以下的轨道将电子激发到所需的能量。其中

26、第一个积分占主要。在低温下（），化学势为常量；由式知态密度也是与温度T无关的量，同时在低温下，取变换过自变量的积分下限从。由此得电子比热3 金属比热容在温度远低于德拜温度和费米温度的情况下，金属的比热容可以写成电子和声子两部分贡献之和，即由于系数的观测值与计算值符合不甚好，在实际中定义热有效质量进行应用。值得注意的是，热有效质量和电子的有效质量是完全两回事。热有效质量与电子质量比值等于电子比热容的观测值与计算值之比，用于电子的热学性质，并且比例之所以不为一是由于电子费米气模型产生的；电子有效质量是由色散关系的曲率定义的，完全不同的物理定义和应用。20 利用自由电子费米气模型证明欧姆定律。Mat

27、thiessen定则。为什么有电阻。我们开始研究晶体中电子在外场作用下的运动规律。由于温度的存在，分布的一般化和碰撞的增加会使问题变得更加复杂。当粒子的平均自由程远大于晶格常数时，可以用准经典运动的方式来研究。也就是在单电子模型下，用经典的受力来分析单粒子的运动行为。在金属中，电子的平均自由程很长，我们用准经典的方式研究电子行为，并且是在绝对零度下。1 欧姆定律在准经典运动中，电子在外电磁场下，存在碰撞时，由牛顿定律得B=0时，恒定的外加电场使k空间中的费米球开始时以匀速率运动 费米球作为整体移动为经典模型；只有费米面移动为费米模型。我们更关注的是费米面（一种思想）下的状况，因为在碰撞中，所有

28、碰撞仅仅涉及费米面附近的电子；即只与费米面的电子碰撞有关。，但由于碰撞的存在，使得移动的费米球在电场中维持一种稳态。和是常数，可求得，有这就是欧姆定律。由，可求出电导率和电阻率为在含内场（如周期性势场）时,n和m都将有所改变，m为有效质量，n随m变化；温度存在时，n和改变，n增加，变小。这在半导体理论中有更具体的分析，但整个电导率的公式是一样的。2 Matthiessen定则总的电阻率 和热阻率类似，是平均自由程的缘故；事实上，热导率也如此。因此，一个思想是把晶体的热学和电学性质进行类比。为其中是热声子引起的电阻率，而是那些破坏晶格周期性的所谓静态缺陷对电子波散射而引起的电阻率。在缺陷浓度不算

29、大时，通常不依赖于缺陷数目，而通常不依赖于温度。这种经验性结论被称为马西森定则。3 电阻的产生电阻来源于晶体的散射，也就是晶体中的碰撞 声子与声子的碰撞来源于非谐项势，温度越高碰撞越多。这里主要是电子的碰撞，并且没涉及电子间的碰撞。无论温度如何，电子碰撞总是有的，只是温度越高，碰撞越多。式的来源于此，冲量定理。分别是电子与热声子的碰撞，电子与晶格缺陷和边界的碰撞。电阻率中与温度相关的部分正比于电子同热声子和热电子的碰撞速率，而这正比于热声子的浓度。当温度高于德拜温度时，。21 利用自由电子模型说明霍尔效应。在电磁场作用下，一般的运动方程为式，即1 静磁场平行于z轴方向时，运动方程为2 对于静电

30、场的稳态，速率为常数，时间导数为零。把运动方程写成漂移速度形式其中，称为回旋平率，在高斯单位下为。3考虑一个放置在纵向电场Ex和横向磁场Bz的晶体，由于电流不能从y方向流出去，有。不考虑z轴情况，运动方程写成了电场形式其中Ex是外加电场，Ey是内生电场，就是霍尔电场。根据霍尔系数定义，并利用欧姆定律式，得1）The lower the carrier concentration, the greater the magnitude of the Hall coefficient. Measuring RH is an important way of measuring the carrier

31、 concentration.2）The positive Hall coefficient indicates the motion of the carriers of apparent positive sign, hole.3）事实上，用经典电子模型也可以得到霍尔系数相同的结果。22 晶体中为什么会产生能带。利用近自由电子模型说明能隙的由来和大小。 能带是由有起伏的周期势场产生，归根结底是周期性点阵排列。1 定性分析：原子能级是分立的，晶体中包含多个原子使得原子能级劈裂而得到晶体能带。而分立区间仍然很大，这就是能隙 要注意是所有布里渊区边界处都会产生能隙，而不只是第一布里渊区边界。2

32、微扰论我们研究一维周期场的晶体。所谓近自由电子近似是假定周期场的起伏比较小，作为零级近似，用势场的平均值代替。把周期起伏作为微扰 用微扰方法时，我们总是先用非简并微扰，发现有问题后，再考虑简并微扰。要注意不是就是简并了，还需要。这是简并理论更一般的表达式。处理。零级近似的解为自由电子，周期性边界条件使得波矢取分立值；本征值为利用一阶非简并微扰的本征值公式和平均值定义式，可以发现能量本征值为零。在利用一阶非简并微扰的波函数公式计算时，结合势能U（x）的周期性，分或不等于两种情况讨论，并利用数学技巧，可得在布里渊区里面（不包括边界处）是非简并的， 并且k状态只与有作用（这正是第n个傅里叶系数，从中

33、心方程中可知）。当k处于布里渊区边界时，为简并微扰。通过简并微扰的一般过程，可得到系数的行列式为其中。因此在布里渊区边界处，有且仅有与之相互作用（因此在布里渊区边界处，中心方程只有二分量，在附近也可以用二分量近似）。得3 近自由电子模型：受到离子实的周期势场微扰晶体的周期性结构，使得在布里渊区边界处满足布拉格反射，因此波矢为布里渊区边界处的波函数可以驻波描述，而电子密度为波函数的绝对值平方，因此可以得到电子密度分布。在第一布里渊区边界处，对原子线单位长度归一化的波函数为对于势能 由于势能是偶对称函数，因此做展开时只有偶数项，除去零阶项，这是偶数项的第一项。为，可求能隙为4 中心方程在布里渊区边界附近的能带计算，也可以算出在布里渊区边界处有能隙。结论是势能在区界上将导致宽度为的能隙。能隙值等于傅里叶分量。23 证明Bloch定律。如何理解Bloch定律。Bloch函数的性质。1 Bloch定律的证明1）适用于非简并 在这里，非简并意味着没有别的波函数和具有同样的能量和波矢。这也是更一般的含义。的。考虑长度为Na的一维周期链的N个全同格点，势能的周期为a，即U(x)=U(x+sa)，其中s是一个整数。由于链的对称性 对称性是指二者没有区别，因此波函数只能是相位的差别，这是