应用泛函T1.ppt

1、应用泛函分析,湖北工业大学理学院,主讲：田德生,绪论,泛函分析的产生和发展大致经历了三个阶段：第一阶段是酝酿与创始时期（19世纪80年代至20世纪20年代）。第二阶段是定型期（ 20世纪20年代至20世纪40年代）泛函分析作为独立的数学分支诞生，其标志是波兰数学家巴拿赫(S.Banach 1892-1945)线性算子理论（1931年）一书的问世以及德国数学家冯诺伊曼(J.Von Neumann 1903-1957)的算子谱理论的出现（1929年至1930年）。第三阶段是发展、成熟期（ 1940年以后）,形成于20世纪30年代的数学分支,泛函分析概览,从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展而

2、来,泛函分析起源于经典的数学物理边值问题（积分方程问题）和变分问题（极值问题），它的产生和发展主要受两个因素的影响。一方面，19世纪以来，数学的抽象化与公理化的高度发展为泛函分析的产生提供了理论基础；另一方面，20世纪初期，量子物理学的大发展需要新的数学理论予以诠释，而泛函分析中的谱理论恰好成为研究量子力学的强有力的工具。, 综合运用了函数论，几何学，代数学的观点 来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。 ,泛函分析的产生 十九世纪后数学发展进入了一个崭新阶段 对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何 对于代数方程求解的研究，建立并发展了群论 对数学分析的研究又建立了集合论 二十世纪初出

3、现了把分析学一般化的趋势 瑞典数学家弗雷德荷姆(Fredholm 1866-1927)和法国数学家阿达玛（Hadamard，1865-1963）发表的著作 希尔伯特空间的提出 ,分析学中许多新理论的形成，揭示出分析、几何、代数的许多概念和方法常常存在相似的地方 代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响,函数概念被赋予了更为一般的意义 古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系 现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关

4、系 在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子 研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。,“泛函”这个名词是由法国数学家阿达玛（Hadamard，1865-1963）在1897年研究变分问题时引进的。“泛函”也称泛函数，它是对实（复）值函数概念的拓广或发展，通俗地说，泛函就是以函数为变元的函数，其基本思想是把函数（或曲线等）看作空间的元素或点，而函数的集合构成了空间。,泛函分析隶属于分析学，是无限维分析学的一个重要组成部分。其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。巴

5、拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。,20世纪40年代以后，一方面，泛函分析在理论上日渐深化，诸如算子谱理论、算子代数、拓扑线性空间、拓扑度、不动点、凸分析、非线性分析、极值分析、随机泛函分析等理论逐一崛起，精彩纷呈；另一方面，泛函分析在应用中也获得了更为广阔的活动空间，它在几何学、拓扑学、微分方程、函数论、群论、概率论、计算数学、最优化理论及控制论中都有重要的应用。,泛函分析的特点 把古典分析的基本概念和方法 一般化 几何化 从有限维到无穷维 泛函分析对于研究现代物理学是一个

6、有力的工具 从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统 现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统,正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。,可看成是无限维向量空间的解析几何及微积分学,泛函分析这门学科最主要的特点是它的理论与方法具有高度的抽象性，它综合地运用分析的、代数的、几何的方法研究分析数学、现代物理和现代工程技术中的许多课题，因而应用非常广泛。在数学界人们通常用“分析的课题、代数的方法、几何的

7、观点、广泛的应用”这四句话来描述泛函分析这门学科的特点。,泛函分析的方法还被大量应用到力学、电子及工程技术等学科中。时至今日，泛函分析、抽象代数与拓扑学已被公认为现代数学的三大基础学科，因而泛函分析很自然地成为数学类各专业以及对数学要求高的理工科专业的一门专业选修课或硕士研究生必修的一门学位基础课。,本课程讲授54学时，主要内容包括线性赋范空间、有界线性算子、内积空间等。 本课程的教学目的和要求：使学生获得泛函分析中一些必备的基础知识，包括基本概念、基本定理和抽象处理问题的方法。为进一步学习或高层次研究现代纯粹及应用数学、理论物理学、现代力学和现代工程理论的许多分支和课程打下基础。,参考书：,

8、3.泛函分析引论及应用 （美）E克里兹格著 张石生等译 重庆出版社 1986,2. 实变函数与泛函分析基础（第2版）程其襄，张奠宙，魏国强等著高等教育出版社，2003,1.应用泛函分析. 龚怀云, 寿纪麟, 王绵森 西安交通大学出版社 1995,第一章 线性空间与内积空间,所谓的集合是指一定范围内研究对象的全体,一、集合的定义,一般用大写字母如 A, B, C 等表示集, 用小写字母如 a, b ,c 等表示集的元素. 若a是集A的元素, 则用记号 a A表示(读作a属于A). 若a不是集 A的元素, 则用记号 a A表示(读作a不属于 A).,1 集合与映射,不含任何元素的集称为空集, 用符

9、号表示. 约定分别用 R , Q , N和Z表示实数集, 有理数集, 自然数集和整数集.,二、集合的表示法,列举法 列出给定集的全部元素.,例如 A=a , b , c , B= 1 , 3 , 5 , 2n 1 , ,2.描述法 当集A是由具有某种性质P的元素的全体所构成时, 用下面的方式表示集 A:,A = x : x具有性质 P,例如, 设 f 是定义在 R 上的实值函数, 则 f 的零点所成的集 A可表示成,A = x : f (x ) = 0 .,三、集合的相等与包含,设 A 和 B 是两个集. 如果 A 和 B 具有完全相同的元素, 则称 A 与 B相等, 记为 A=B. 如果 A

10、 的元素都是 B 的元素, 则称 A 是 B 的子集, 记为 A B (读作 A 包含于 B), 或 B A (读作 B 包含 A). 若 A B并且 A B则称 A为B的真子集. 按照这个定义, 空集是任何集的子集. 由定义知道 A = B当且仅当 A B并且 B A .,四、集合的运算,1.并运算与交运算 设 A 和 B 是两个集. 由 A 和 B 的所有元素所构成的集称为 A 与 B 的并集, 简称为并, 记为 A B即,由同时属于 A 和 B 的元素所构成的集称为 A 与 B 的交集, 简称为交, 记为 A B即,若 A B = , 则称 A与 B 不相交.,集族的并,集族：,特别当

11、时，称集族为集列，记为,集族的交,（其中S为全集）,简记为Ac,2.差运算与余运算,De Morgan公式,注：通过取余集，使A与Ac，与互相转换,五、直积集,设有两个非空集合X,Y，如果有一个对应关系（或法则）存在，对于X的每一元素x,有Y中唯一的一个元素y与之对应，就称给出了一个从X到Y的映射f,记作f ：,六、映射,称y为 x 在映射 f 下的象，记为 y = f (x)。 称 X 为 f 的定义域，记为D(f) 。称集 f(X)= f(x):x X 为 f 的值域,记为R(f) 。,泛函：值域为数域的映射叫泛函。,满射：对映射f： ，有 时，称为满射。,单射：对映射f ： ，如果对X中

12、所有不同的两元素 均有 。,一一映射（一一对应、双射）：既是满射又是单射的映射。,显然逆映射是反函数概念的推广. 若 f 是 X 到Y 的一一映射, 则由逆映射的定义知道成立以下等式:,映射的逆与复合 设 f 是 X 到Y 的一一映射. 则对每个 y Y ,存在唯一的 x X使得 f (x) = y .因此我们可以定义一个Y 到 X 的映射 g 如下: 对每个 y Y ,令 g (y ) = x,其中 x是 X 中的唯一存在的满足 f ( x ) = y 的元. 称这样定义的映射 g为 f 的逆映射, 记为 .,设 f : X Y 和 g : Y Z 分别是 X 到Y 的和Y 到Z 的映射.

13、令 h (x) = g (f ( x), x X. 则h是 X 到Z 的映射. 称h为 f 与 g的复合映射, 记为 .显然复合映射是复合函数概念的推广.,设 A是 X 的子集, f 和 g分别是 A到Y 的和 X 到Y 的映射. 若对每个 x A成立 f(x) =g (x),则称 g是 f 在 X 上的延拓, 称 f 是 g在 A上的限制, 记为,1.2 集合的基数,定义 设 A, B是两个非空集. 若存在一个从 A 到 B 的一一映射, 则称 A 与 B是对等的, 记为 A B .此外规定 .,定义 设 A, B是两个非空集. 若存在一个从 A 到 B 的一一映射, 则称 A 与 B是对等

14、的, 记为 A B .此外规定 .,定义 设 A, B是两个非空集. 若存在一个从 A 到 B 的一一映射, 则称 A 与 B是对等的, 记为 A B .此外规定 .,对等关系具有如下性质: (i) A A . (自反性) . ( ii ) 若 A B ,则B A . (对称性). ( iii ) 若 A B , B C ,则 A C .(传递性) .,1.定义 对于所有相互对等的集, 我们给予他们同一个记号, 称为这其中每一个集的基数. 集 A的基数记为 。,规定空集的基数为0. 用符号a表示自然数集N 的基数. 实数集 R 的基数用c表示, 称之为连续基数.,有限集的基数等于该集中元素的个

15、数. 这样, 集的基数就是有限集的元素个数的推广.,可数集：凡与自然数集N等势的集合称为可数集或可列集。,不可数集的例：区间0, 1中的点（实数）是不可数的。,至多可数：一个集合是可数或有限时，称为至多可数。,不可数集：一个集合不是至多可数集，称为不可数集。,等价定义: 集 A 是可数集当且仅当 A 的所有元素可以编号排序成为一个无穷序列 (编号排序必须既无遗漏, 也无重复.):,可数集的简单例: 自然数集N , 整数集Z , 奇自然数集, 偶自然数集.,例,说明: 与Hilbert旅馆问题比较;,有限集与无限集的本质区别： 无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等） 且一定能做到，而

16、有限集则不可能。,例,可数集的子集或为有限集或为可数集,性质1,. 可数集的性质,性质2,有限集与可数集的并仍为可数集,可数个可数集的并仍为可数集,有限个可数集的并仍为可数集,A=a1, a2, a3, a4, a5, a6, ,当集合有公共元素时， 不重复排。,假设A，B，C两两不交，则 AB= b1, b2, b3 , , bn ，a1, a2, a3, ,C= c1, c2, c3, c4, c5, c6, ,B=b1, b2, b3, ,bn,AC= c1, a1, c2, a2, c3, a3, ,当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列; 当Ai有公共元时，在排列的过程中

17、除去公共元素；,可数个可数集的并仍为可数集的证明,首先0,1中的有理数全体 =0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 是可数集，,例 全体有理数之集Q是可数集,所以Q是可数集（可数个可数集的并）,说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上 的整数集有相同多的点(对等意义下).,例 不可数集的存在性,证明：假设（0,1）是可数集,则 （0,1） 可以写成一个无穷序列的形式： 把每个数写成正规小数（不能以0为循环节）,令x=0.a1a2a3a4 其中,则得到矛盾，所以 (0,1)是不可数集。,(区间(0,1)是不可数集),性质3 有限个可数集的直积集是可数集,设A

18、，B是可数集，则AB也是可数集,从而AB也是可数集（可数个可数集的并）,利用数学归纳法即得有限个乘积的情形,假设这是一个无限集M,我们可以取出其中一个点a1 显然Ma1还是无限集,在Ma1中可以取出一点a2 显然Ma1，a2还是无限集,我们可以取出一个可数子集a1,a2,a3,.,性质4任何无限集合均含有可数子集 （即可数集是无限集中具有最小势的的集合),1.2.2 实数集的确界存在原理 -关于实数的几个定理,(x m)则称A为有上界(下界)的数集,x A ,都有x L,有界数集:,若数集A既有上界又有下界,则称A为有界集.,数L (m)称为A的一个上界(下界).,设A是R中的一个数集,若存在

19、数L (m),使得对任一,确界:,直观定义: 若数集A有上界，则它有无穷多个上界，其中最小的一个上界称为数集A的上确界，记作,同样，有下界数集A最大的一个下界称为数集A的下确界，记作,定义,同理可得下确界的定义.,定义,等价定义,的充要条件,1) 是的上界,2),使得,2.2 确界存在定理： 任何有上界的非空实数子集A必有上确界。任 何有下界的非空实数子集必有下确界。,定理2.3的几何解释,以递增数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生,2.3 单调有界定理：,是单调增加（减少）的有界数列，,设,则必有极限，且,2.4

20、 区间套引理：,是一列有界闭区间，满足,，并且有,那么存在唯一的,，使得,设,2.5 Cauchy收敛准则：,收敛的充分必要条件是：,当,时，有,满足以上条件的数列称为Cauchy列或基本列。,数列,2.6 Bolzano Weierstrass定理：,必有收敛子序列,任一有界实数列,定理2.5 的几何解释,柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.,2.7 HeineBorel有限覆盖定理：,是有界闭区间，,开区间，使得,（这时称此开区间族,的一个开覆盖），则可从其中选出有

21、限个,使得,（这有限个开区间称为原来开覆盖的有限子覆盖）,设,是一族,是,开区间,1.3 线性空间与线性算子,1.3.1. 线性空间,(1)(2)(3) X中存在唯一的零元素 ，它满足 对任意的 ；(4)对任一 ，均存在唯一的“负元素” , 它满足 。 (5) (6)(7)(8)则称X是数域K上的线性空间。,例如： n维空间 ，其元素x由n个有次序的数构成： ，其中的加法和数乘如通常的方式定义：对于 和 及数 ，定义,则 成为线性空间。,例1 在区间a,b上连续的函数的全体所构成的集合C(a,b)是线性空间。,例2 所有平方可和的无穷数列构成的集合,是线性空间，其中加法和数乘定义为：若 ， ，

22、定义( 为数),例3设X为正实数构成的集合，数域为R，在X上定义运算：,则X是线性空间。,例4 设,则,是线性空间。,1.3.2 线性子空间 定义1.3.2 设X是线性空间，Y是X的子集，如果Y按照X上的运算也构成线性空间，则称Y为X的线性子空间。,注：任意多个子空间的交，仍为子空间； 两个子空间的并不一定是子空间,线性子空间的判定,，若Y对于X中两种运算封闭，即,则Y是X的一个子空间,设X为数域K上的线性空间，集合,Y是X的子空间,例3,称为 线性组合。,生成子空间,定义：X为数域K上的线性空间，,则,，,设M是线性空间X中的子集，则由M中的任意有限个元素的线性组合构成的集合： 称为由M张成

23、（生成）的子空间，记为spanM.,零向量集合与X本身称为平凡子空间，非平凡子空间称为X的真子空间,定义:,例如在Kn 中，,为Kn的一组基，,即 Kn 由它的一组基生成.,类似地，还有,事实上，任一有限维线性空间都可由它的一组基生成.,命题 spanM是X包含M的最小线性子空间。,和 直和 补子空间,与线性代数中类似，可以在线性空间中引入线性相关、线性无关和基的概念。 设 是线性空间X中的n个元素，如果存在不全为零的常数 ，使得,则称 是线性相关的。反之，若上式 成立能导致 ，则称 是线性无关的。 集合线性无关 ：,1.3.3 线性空间,如果线性空间X中存在n个线性无关的元素 ，使得X中任一

24、元素x均可表为 的线性组合,则 称为X的一组基，n称为X的维 数。记为 。X称为有限维(n维)线 性空间。不是有限维的线性空间称为无穷维 线性空间。,设X是数域K上的线性空间，B是X的子集，若B线性无关，且对于X中的任意x,存在B中的n个元素 ，使得,则 B称为X的一个Hamal基。当B为有限集 时，称B为有限基，否则称B为无限基。,例6Kn维数为n,为Kn的一个基。,Pna,b的维数为n+1,一个基1,t,t2,tn。,Pa,b无限维,一个基1,t,t2,tn,。,Ca,b无限维。,例7,是mn维的。,1.3.4 线性算子,设X,Y都是数域K上的线性空间，T是从X到Y的映射，满足,则称T为线

25、性算子。当Y=X时，则T称为线 性变换；当Y=K时，则T称为线性泛函。,例910,一般地，设X与Y是两个线性空间，如果在 它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关 系保持线性组合的对应，那么就说线性空间X与 Y同构,线性空间的结构完全被它的维数所决定 定理 任何 维线性空间都与 同构，即维数相等 的线性空间都同构任何两个有限维的线型空间同 构的充要条件是：它们的维数相等。,1.3.5 线性同构,例7,1.4 内积空间,1.4.1 内积空间定义,是实数或复数域,了一个二元数值函数,：, 满足下,1 对第一变元的线性：,2 共轭对称性：,设,上线性空间,其中定义,列条件：,3 正定性：,且,则称,(对称性),是X上内积。,时称为复内积空间，,内积空间，此时2成为,内积空间，,时称为实,2,由1和2可推出,定义了内积的线性空间称为,4 对第二变元的共轭线性：,当F=R时, 4表示第二变元也是线性的。,特别有,在