第二章弹性力学课件.ppt

1、佐原健二应力状态理论，2020/7/16，2，应力概念是固体力学最重要的概念之一，应力分量具有张量的性质，并且符合张量的坐标转换定律。考虑单元体的平衡，得到平衡微分方程，从边界得到边界条件。边界条件在弹性力学问题解决中占有重要地位。2020/7/16，3，2.1张量的概念和坐标转换2.2应力和点的应力状态2.3平衡微分方程2.4边界条件2.5主应力和应力张量不变2.6轴应力张量的转换2.7圣维南原理2.8示例，2.1张量的概念和坐标转换，指标符号(1)两个矢量具有大小和方向，因此不能表示为一个数值，也不能表示为多个，2020/7/16，5，坐标x，y，z轴，x1，x2，x3，通常可以缩写为Xi

2、，每个轴的基本矢量可以缩写为e1，e2，e3，可以缩写为ei的矢量的点积将该指标改为其他指标不会影响结果。这叫哑巴。非聚合指标称为自由指标。一个项目有它的符号的指标，通常有一般意义。(2) Einstein求和规则：最后一个表达式在符号下的fi si中具有两个相同的指标I。如果相同项目有一对相同的指标(即，一个指标出现两次)，则认为此指标的总计为1至3，限制相同项目不能出现相同下标超过3次，省略总和符号，2020/7/，此定义表示对称，与指针对齐顺序无关。也就是说，ij ji、2020/7/16，8、关键向量的混合积(E I E J)E K=E IJK称为置换符号。使用位移符号，两个向量的向量

3、乘积可以记录为a I b j=e ijk ai bjek。当I，J，K为2到3个，I，J，K为偶数位移时，当I，J，K为奇数位移时，2020/7/标量的名称为0张量，矢量为一阶张量，矩阵(隔振)为二阶张量。力学中常用物理量(或几何量)可分为标量(只有大小没有方向)的多个类别的两张量的定义。向量(大小和方向)；张量(多方向更复杂的物理量)、2020/7/16，11、应力张量：方向加倍的应力状态。也就是说，应力分量的值与剖面法线的方向和应力分量本身的方向相关，它是二次张量。=，2020/7/16，12，2.2应力和1点的应力状态，根据物体连续性的假设，小面上物体的S力被认为是连续分布的，内力F是此

4、分布力的合力，因此分布集中度是平均力。S非常小时，这组限制称为应力，表示为，F，S，2020/7/16，13。在给定的直角坐标系中，应力可以在三个坐标方向上分解。分别用、表示，这里分别表示坐标单位矢量。应力矢量可以沿微分面的法向和切向分别分解为正应力和切向应力。、2020/7在笛卡尔坐标系中，我们沿三个微分面方向进行应力分解，每个面平行于坐标平面，然后得到九个应力分量。这称为应力张量。每个量称为应力分量。应力张量由2020/7/16，15表示，9个应力分量完全确定一点的应力状态。2020/7/16，16，由于外力的作用，物体的整体平衡将同时保持任何部分的平衡。我们取出细胞dv=dxdydz进行

5、分析，物体内某一点的正应力为I。如果仅考虑单元的平衡，则可以认为前后两侧的应力大小相同，方向相反，而不考虑单元同一方向上恒定距离应力的微小变化。但是在分析总体平衡时，应力的这一微小变化是由于各面的应力差异导致物体各处应力变化的原因，必须考虑。2.3平衡微分方程，2020/7/16，17，图单元Z轴方向的平衡，Z面负Z方向的正应力为Z，X面负部分的切向应力为XZ。、x、y、Z、o、Z前端z dz中的应力是x前端x dx中的剪切应力，请记住xz、2020/7/16，18、y面负y中的应力，Z方向的静态平衡方程式Z=033其中，Fbx、Fby、Fbz是物体的体力成分，平衡方程中唯一未知的ij是6个。

6、使用前、后、上、下、左、右中心线轴的旋转距离为零，可以得到剪切应力的相互等效定理。根据切向应力各向同性定理，应力分量是对称张量。2020/7/16，20，平面状态的平衡微分方程如下：平衡微分方程的张量格式如下：2020/7/16，21，平衡微分方程的矩阵格式为：L F=0，其中L是微分运算符：偏移边界问题：所有边界上对象的偏移分量已知。应力边界问题：在所有边界处，对象的应力分量已知。混合边界条件：由于对象的某些边界具有已知位移，因此存在位移边界条件，而另一些具有已知面力，因此存在应力边界条件。2.4边界条件，2020/7/16，23，由于外力的作用，如果我们从物体上取出的细胞体在边界上，细胞内

7、应力形成的内力和边界外力平衡。1)如果边界界面与坐标平面完全平行，则可以立即获得应力必须满足的条件。2)边界界面和坐标平面成一定角度相交时，应根据形成的四面体的平衡条件获得应满足应力的条件。应力边界条件，2020/7/16，24，将边界上某点处a的外力设定为沿轴线的px，py(沿正方向正)。边界A中可见的外力分量是应力分量，直接获得应力边界条件。x=px yx=py，2020/7/16，25，将坡度ACD设置为边界接口，外部法线n的方向为(l1S，l2S，l3S四面体的体积为dv)。n，x，y，z，o，2020/7/16，26，其中边界的外力是轴方向的分量。x方向的平衡：pxS=l1Sx l2

8、Syx l3Szx，即px=l1xl2yxl3zx，x，y，z，0，2020/7/16，27张量格式为Pi=ij这种未分面称为主未分面，即主平面，法向称为应力主方向，其上的应力称为主应力。主应力和应力不变，2.5主应力和应力不变，2020/7/16，31，前面的结果是斜应力公式。它提供了通过点(例如物体内某一点的9个应力分量)的每个未分面的应力之间的关系。为此，需要理解各点的应力状态问题，并转换为求出各点9个对应力的问题。如前面的斜应力公式所示，在法向矢量通过任意点为N的微分坡度处，斜应力为：如果法向矢量N是应力的主方向，则斜应力N的方向必须与斜法向矢量N的方向相同。此时，由于坡度只有正应力，

9、没有剪切应力，因此可以通过引入主平面法向矢量N必须满足的关系：ij来更改标签。非零解决方案存在条件：表达式(*)称为应力状态的特征表达式，三个特征根是主应力。I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、第二和第三不变性。方程式的总系数必须是不变的，因为2020/7/16，33方程式(*)的根不会变更。如果轴正好与三个主方向一致，则应力张量是？主坐标系、主空间？主应力的几个重要特性：(1)不变性：在物理意义上，主应力是物体内部受外部决定因素影响时客观存在的量。(2)实数(3)正交(4)极值：通过一点的所有未分面的总应力中的最大和最小总应力分别是绝对值最大和最小主应力。2020/7/16，34，弹性理

10、论的应用范围由材料的屈服条件确定。大量实验表明，剪切应力对材料进入塑性屈服阶段具有决定性作用。例如，第三强度理论也称为Tresca H (Tresca H)屈服条件，它是对材料是否进入塑料屈服阶段的最大剪切应力的判定。第四强度理论，又名米杰斯屈服条件与八面体剪应力有关。测试问题：在点M应力I已知的主坐标空间中，求最大剪切应力和八面体的应力计算公式吗？2020/7/16，35，2.6轴上的应力分量转换，坐标系更改时通过点的每个应力分量如何变化？坐标转换时，应力张量的每个应力分量保持不变，可以证明坐标旋转时仅研究应力张量的转换。直角座标系统oxyz中点的九个应力分量为2020/7/16，36。现在

11、，将坐标系旋转特定角度以获得新坐标系，并将与旧坐标的关系设置为：如果三个新轴表示前一个轴的方向馀弦：，)2020/7/16，38，其中，通过M点并垂直于轴的未微分面是急倾斜的未微分面，其法线方向是轴的方向，方向馀弦为唯一坡度的应力43.座标系统变更时，应力元件也会变更。坐标系旋转到特定位置时，应力分量的切向应力为零，只有正应力非零。这些正应力称为主应力。坐标系现在指向主方向。从转换的角度来看，主应力是应力矩阵的特征值，主方向是特征向量的方向。2.7城南原理，2020/7/16，45，2020/7/16，46，将物体小边界部分的面力转换为徐璐其他静态等效面力(主向量相同，同一点的主力矩也相同)，摘要分析中的应力必须满足平衡微分方程和应力边界条件，空间应力状态中有六个未知的应力函数，只有三个平衡方程。平面应力状态中有三个未知的应力函数。只有两个平衡方程。问题是静态的，从变形和物理关系方面补充方程才能解决。边界条件主要用于确定已释放应力的待定常量。2.8示例，2020/7/1