第六章 用有限元法解平面问题 童中华

1、弹性力学,主讲：童中华 安徽工业大学,弹性力学简明教程 第三版 徐芝纶,6+ 上一讲回顾,有限元法是将连续体离散化，用有限大单元取代微分体，将问题转化为适合数值解法的结构型问题的求解方法。,常用有限元软件：ANSYS，MSC.Marc，ADINA， ABAQUS,有限元分析的步骤,取结点位移为基本未知量，求位移函数应变应力， 求结点力，荷载向结点移置，装配单元，进行整体分析。,Ni, Nj, Nm称为形(态)函数。,6+ 上一讲回顾,6-3单元的位移模式与解答的收敛性 6-4单元的应变列阵和应力列阵 6-5单元的结点力列阵与劲度矩阵 6-6荷载向结点移置、单元的结点荷载列阵 6-7结构的整体分

2、析、结点平衡方程,有限元分析详细步骤,第六章 用有限单元法解平面问题,6-4 单元的应变列阵和应力列阵,6-4 单元的应变列阵和应力列阵,B 称为应变转换矩阵， 用分块矩阵表示：,6-4 单元的应变列阵和应力列阵,应变转换矩阵,应变列阵,应力列阵,应力转换矩阵,6-4 单元的应变列阵和应力列阵,应变列阵,位移列阵,应力列阵,对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力均成为常量，因此，称为常应变（应力）单元。 位移的误差量级为O(x)2，应力和应变的误差量级为O(x)，相邻单元的应力和应变不连续。,考虑连续体变换为离散化结构的模型中的一个单元,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,(1)将作用于单元

3、上的各种外荷载，按静力等效原则移置到结点上去，化为等效结点荷载。故单元内已没有外荷载。 (2)单元与周围的单元在边界上已没有联系，只在结点i, j, m互相联系。,(3)假想将单元与结点切开，则单元仅仅受到结点力作用。,以沿坐标正向为正，是作用于单元上的“外力”。 单元作用于结点的力为,假想将单元与结点i 切开，则单元仅仅受到结点力,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,已知：单元结点处位移,求：单元受到的结点力,应用虚功方程求解,【虚功方程】外力（结点力） Fe在虚位移(d*)e上的虚功等于应力s在虚应变e*上的虚功。,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,假设发生一组结点虚位移(d*)e，则单

4、元内任一点 (x,y)处的虚位移为d*=N(d*)e，虚应变为e*=B(d*)e 。,单元劲度矩阵,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,三角形单元中应变为常量，因此B是常量，得,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,（1）k是66的方阵，k中每一个元素都表示发生单元结点位移时所引起的结点力，与单元的形状及方位有关，但与单元的大小无关。,（2）krs=ksrT，所以k是对称矩阵。,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,ai、bi、ci (i,j,m),B,D,e,k,Fe,DBeSe,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,假定只有结点i发生位移ui，如右图(a)所示，求得结点力和应力为：,其中， 。相

5、应的结点位移及结点力如图所示,单元应力如图(b)中单元的两直角面所示。根据单元的平衡条件,还可得出斜面上的应力 。若将这三个面上的应力分别按静力等效原则移置到结点上去，可以得到图(a)中相同的结点力。,6-6 荷载向结点移置、单元的结点荷载列阵,在FEM中，与结力相似，须将作用于单元的外荷载向结点移置，化为等效结点荷载,（1）刚体静力等效原则使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩也相同。 （2）变形体静力等效原则在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等。 刚体静力等效原则只从运动效应考虑，得出移置荷载不是唯一解；变形体的静力等效原则考虑了变形效应，在一定的位移模式下，其结果是唯一的

6、，而且也满足了前者条件。 FEM用变形体的静力等效原则。,6-6 荷载向结点移置、单元的结点荷载列阵,【集中力的移置公式】 设原荷载 fP=(fpx fpy)T 是作用于单元中任一点(x,y)为单位厚度上的作用力，移置荷载FLe=(FLi FLj FLm)T，作用于结点i,j,m。 假设发生一组结点虚位移(d*)e ，则(x,y)点的虚位移为d*=N(d*)e，使移置荷载的虚功等于原荷载的虚功： 对于任意的虚位移(d*)e，虚功方程都必须满足，得,6-6 荷载向结点移置、单元的结点荷载列阵,6-6 荷载向结点移置、单元的结点荷载列阵,【体力的移置公式】 如果单元受到分布体力f (fx, fy)

7、T作用，可将微分体tdxdy上的体力ftdxdy当作集中力，利用(6-40)，在区域A内积分得 例如，单元ijm的密度为r，试求自重的等效结点荷载 线性位移模式下，重力移置到每个结点的荷载均为1/3自重。,6-6 荷载向结点移置、单元的结点荷载列阵,【面力的移置公式】 如果单元某边界上受到分布面力 作用，可将微分面tds上的面力ftds当作集中力，利用(6-40)，在边界Ss上积分得 例如，单元在ij边界上受x方向分布面力q，求等效结点荷载 若在ij边界上受x方向线性分布面力q，试求等效结点荷载。,6-6 荷载向结点移置、单元的结点荷载列阵,【面力的刚体静力等效移置方式】,已知在ij边受有面力

8、q，则移置到i、j结点上的等效节点力为：,当某一边上有三角形分布的面力时，可由刚体静力等效直接写出,6-7 结构的整体分析、结点平衡方程,结点平衡方程： 假设将结点i与周围的单元切开，则结点i受到(1)围绕i结点的每个单元对i 结点(有结点力)的反力(-Fi)的作用, (2)外力荷载移置的结点荷载FLi的作用，平衡方程为,外荷载移置到结点荷载FLe，为单元的外力分析； 在单元分析中，从单元的结点位移de 求位移分布d求应变e求应力s求结点力Fe，为单元的内力分析；,把结点力用结点位移表示，则,6-7 结构的整体分析、结点平衡方程,i,j,m是单元内部的结点编号，称为局部编号； i=1,2, ,

9、n是整体结构的结点编号，称为整体编号 将式(6-47)按整体结点编号排列，得整个结构的平衡方程组。,整体劲度矩阵,整体结点位移列阵,整体结点荷载列阵,6-7 结构的整体分析、结点平衡方程,例：对角受压的正方形薄板，荷载沿厚度均匀分布，为2N/m，求其变形与应力。根据对称性可只取1/4进行研究。,结构离散化、结点编号,形函数B,弹性矩阵D,e,kiK,FLiFL,Se,求解,6-7 结构的整体分析、结点平衡方程,解：(1)将1/4结构离散化，如图，对单元和结点进行编号，列表如下,(2)计算单元劲度矩阵,II,III,6-7 结构的整体分析、结点平衡方程,I,II,IV三个单元的k相同，但与III

10、单元的k不同，本例中计算得到的结果四种单元k都相同。,(2)计算单元劲度矩阵,(3)将单元荷载向结点移置。,II,III,6-7 结构的整体分析、结点平衡方程,【装配整体劲度矩阵】 建立2n*2n整体劲度矩阵，全部充0，建立结点位移列表，每个结点的两个位移连在一起； 将单元劲度矩阵的每一个子矩阵krs按结点编号加到对应的位置上去；,k23,k33,k31,k32,k13,k11,k12,k23,k21,k22,k22,k25,k52,k55,k53,k32,k35,k33,6-7 结构的整体分析、结点平衡方程,【装配整体荷载列阵】 建立2n*1整体荷载矩阵，全部充0； 将单元荷载按结点编号加到对应的位置上去；,(4)装配整体劲度矩阵和整体荷载列阵，建立求解结点位移的线性方程组。,(5)由于存在刚体位移，k为奇异阵，需要引入位移约束,划去这些位移编号对应的行和同编号的列，得到的整体劲度矩阵是非奇异矩阵，存在逆矩阵。求解得到整体位移列阵，并进一步可求得各单元的应力，应变。,6+ 小结,荷载向结点移置用变形体的静力等效原则，集中力移置,6+ 小结,【装配整体荷载列阵】 建立2n*1整体荷载矩阵，全部充0； 将单元荷载按结点编号加到对应的位置上去；,求解结点位移,由于存在刚体位移，k为奇异阵，方程不能求解，需要引入