小学数学奥数方法讲义40讲(四)

1、第31讲质因数的分解通过将一个复合数分解成两个或多个素因子来解决实际问题的方法称为素因子分解法。分解素因子的方法在寻找最大公约数和最小公倍数方面是有用的，它也广泛用于研究有理数的运算、因式分解和求解方程。分解素因子的方法也可以为一些数学问题提供新的解决方案，有利于开拓解决问题的思路，启发创造性思维。例1一个立方体木块的体积是1331立方厘米。这个方块的边长是多少厘米？(适用于六年级)解决方案：将1331分解成质因数；1331=111111这个方块的边长是11厘米。例2一个数的平方等于324。找到这个号码。(适用于六年级)解决方案：将324分解成主要因素：324=223333=(233)(233

2、)=1818甲：号码是18。例3两个相邻自然数的最小公倍数是462，所以找出这两个数。(适用于六年级)解决方案：将462分解成主要因素：462=23711=(37)(211)=2122这两个数字是21和22。*示例4 ABCD=1673。在这个乘法公式中，a、b、c和d代表不同的数字，而ABC是一个三位数。询问ABC代表什么数字。(适用于六年级)解决方案：因为ABCD=1673，ABC是一个三位数，所以1673可以分解成质因数，然后质因数被组合成一个三位数乘以另一个数，即ABC所代表的数。1673=2397答：美国广播公司代表239。例5一个正方形场地占地2304平方米。这片田地的周长是多少？

3、(适用于六年级)解法：将2304分解成素因子，并将分解后的素因子分成两组乘积相同的素因子，每组素因子的乘积为正方形的边长。2304=222222233=(22223)(22223)=4848这个正方形的边长是48米。该区域的周长为：484=192 (m)简短的回答。*示例6:有3250个橙子，平均分配给幼儿园的孩子们，剩下10个橙子。众所周知，每个孩子得到将近40个橘子。这个幼儿园有多少孩子？(适用于六年级)解决方案：3250-10=3240(件)将3240分解成主要因素：3240=23345接近40的数字是36、37、38和39在这些数字中，36=2232，所以只有36是3240的除数。23

4、345(2232)=2325=90这个幼儿园有90个孩子。*示例7 105的大概数字是多少？(适用于六年级)解决方法：要求出给定自然数的除数，首先把这个数分解成质因数，然后用一个质数、两个质数和三个质数的乘积一个一个地写出，然后求出它的数。因为105=357，因此，有4个除数，包括1，3，5和7；包含两个质数的乘积有三个除数：35，37和57。包含三个质数的乘积的除数是357。因此，105有4 3 1=8个除数。简短的回答。*示例8将9个数字15、22、30、35、39、44、52、77和91平均分成三组，因此每组中三个数字的乘积相等。这三组的人数是多少？(适用于六年级)解决方案：将这九个数字

5、分别分解成质因数；15=3522=21130=23535=5739=31344=221152=221377=71191=713看看上面九个数字的质因数，不难看出九个数字的质因数中有六个2、三个3、三个5、三个7、三个11和三个13，所以每组的三个数字应该包括两个2、一个3、一个5、一个7、一个11和一个13。根据以上观察和分析，这三组是：15、52和77；22、30和91；35，39和44。简短的回答。*例9有四个学生，每个人都比另一个大一岁，他们年龄的乘积是5040。这四个学生多大了？(适用于六年级)解决方案：将5040分解成主要因素：5040=22223357因为这四个学生比对方大一岁，所

6、以他们的年龄是四个连续的自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是：7，222，33，25也就是说，四名学生的年龄分别为7岁、8岁、9岁和10岁。简短的回答。*示例10在等式35()8127=718()162的两个括号中填写适当的最小数字。(适用于六年级)解：将已知方程的两边分解成素因子，得到：5377()=22367()简化上面的等式，得到：15()=4()因此，将4放在左括号中，将15放在右括号中。15(4)=4(15)简短的回答。*示例11:将84名学生分成相等的小组(每组至少2名学生)。有多少种方法？(适用于六年级)解决方案：将84分解成主要因素：84=2237除了1和84，84的除数是

7、：2，3，7，22=4，23=6，27=14，37=21，223=12，227=28，237=42 .以下可以根据不同的除数进行分组。842=42，843=28，844=21，846=14，847=12，8412=7，8414=6和8421=。因此，每组2人被分成42组；每组3人分为28组；每组四个人被分成21组；每组6人分为14组；每组7人分为12组；每组12人分为7组；每组14人分为6组；每组21人分为4组；每组28人分为3组；每组42人被分成两组。有10种方法。简短的回答。*示例12将八个数字14、30、33、75、143、169、4445和4953分成两组，每组有四个数字，并使每组中四

8、个数字的乘积相等。找出这两组的数量。(适用于六年级)解决方案：为了使两组乘积相等，这两组乘积中的每个因子不必相同，但是这些因子被分解成素因子，它们的素因子必须相同。因此，首先，八个数字应该分解成质因数。14=27 143=111330=235 169=131333=311 4445=5712775=355 4953=313127在上述质因数中，有两个质因数2、7、11和127，以及四个质因数3、5和13。当问题中的八个数字分成两组时，每组应该有一个质因数2、7、11和127，以及两个质因数3、5和13。根据这一要求，每组中四个数字的乘积应为：271112733551313因为(27)(355)

9、(1113)(313127)根据下面的“14，75，143，4953”，它是符合主题的意思的，所以一个组所需的数目是14，75，143，4953。此外，简短的回答。*示例13矩形的面积为315平方厘米，长度比宽度大6厘米。找出这个矩形的长度和宽度。(适合五年级水平)解决方法：让矩形的宽度为x厘米，那么长度为(x 6)厘米。根据问题含义列方程，得到：x(x 6)=315x(x 6)=3357=(35)(37)x(x 6)=1521x(x 6)=15(15 6)x=15x 6=21这个长方形长21厘米，宽15厘米。*示例14众所周知，三个连续自然数的乘积是210。这三个自

10、然数是什么？(适合五年级水平)解决方法：让这三个连续的自然数分别是x-1，X，x 1。根据问题的等式，我们可以得到：(x-1)x(x 1)=210=2110=3725=567比较等式两边的因子，我们得到：x=6，x-1=5，x 1=7。这三个连续的自然数是5、6和7。*示例15:将37分为三个数字：A、B和C，这样A、B和C的乘积为1440，A和B的乘积为C的三倍(适用于六年级)解决方案：将1440分解成主要因素：1440=121210=22322325=(222)(33)(225)=8920如果A和B分别是8和9，C是20，那么：89=72，203 12=72符合问题中的条件。答：数字甲、乙

11、、丙分别是8、9和20。一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们发现了吗？在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟的年龄之和？”儿子们异口同声地说：“是的，我们的年龄和你的年龄的乘积等于你儿子的立方数乘以1000，再加上你儿子的平方数乘以10。”从这次谈话中，你能确定母亲是什么时候生下第二个儿子的吗？(适用于六年级)解决方法：根据问题的意思，母亲有三个儿子。母亲年龄和三个儿子年龄的乘积等于：331000 3210=27090将27090分解成主要因素：27090=4375322根据“大哥的年龄等于两个弟弟的年龄之和”，重新组合上述定性因素：431495这个质因数中的14是9和5的和。因此，母亲43岁

12、，长子14岁，次子9岁，幼子5岁。43-9=34(岁)这位母亲在34岁时生下了她的第二个儿子。第三十二课最大公约数法通过计算几个数的最大公约数来解决问题的方法叫做最大公约数法。例1:A班有42名学生，b班有48名学生。现在，这两个班的学生应该平均分成几组，每组应该是同一个班的一名学生。每组学生的最大数量是多少？(适用于六年级)解决方法：为了使每组成为同一个班的学生，并且使每组的人数尽可能多，最大公约数42和48是必需的：23=642和48的最大公约数是6。每个小组最多可以有六名学生。例2:有一个长150厘米，宽60厘米的矩形纸板，它应该被分成几个面积最大、井面积相等的正方形。它可以分成多少个正

13、方形？(适用于六年级)解决方法：因为被分割的正方形有最大且相等的面积，正方形的边长应该是150和60的最大公约数。找出150和60的最大公约数：235=30150和60的最大公约数是30，也就是说，正方形的边长是30厘米。看看上面的短除法公式，150和60除以2，然后除以3和5，最后的商是5和2。这表明，当一个正方形的边长为30厘米时，有五个30厘米长的150厘米和两个30厘米宽的60厘米。因此，这个矩形可以分为正方形：52=10(件)甲：它可以分成10个方格。例3有一个长方体方木，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。如果你把这块方木切成相等体积的小方块，并使每个小方块尽可能大。这个小块

14、的边长是多少？你能切成多少小块木头？(适用于六年级)解决方案：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米。这个问题实际上是325，175和75的最大公约数。55=25325、175和75的最大公约数是25，也就是说，一个小立方体的边长是25厘米。因为75、175和325除以5得到商15、35、65、15、35和65，然后除以5，最终商是3、7和13，并且小立方体块的边长是25厘米，所以75厘米中有3个25厘米，175厘米中有7个25厘米，325厘米中有125厘米。它可以被切成25厘米长的小木块：3713=273(块)答：一个小立方体的边长是25厘米，可以切成273个立

15、方体。有三根绳子，第一根45米长，第二根60米长，第三根75米长。现在我们必须把三根长绳子切成相等长度的小块。每个部分最长的长度是多少？你能切成几段？(适用于六年级)解决方法：这个问题实际上是求三根绳子长度的最大公约数。35=1545、60和75的最大公约数是15，也就是说，每根绳子的最长长度是15米。因为短除法公式中的最终商是3、4和5，所以当绳子被切成15米时，45米长的绳子可以被切成3段，60米长的绳子可以被切成4段，75米长的绳子可以被切成5段。所以有：3 4 5=12(分段)答：每段15米长，可以切成12段。一所学校有234名男生和146名女生。男孩和女孩被分成相等的小组后，还剩3个

16、男孩和3个女孩。为了最大限度地减少小组数量，每个小组应该有多少人？你能分成几组？(适用于六年级)解决方案：由于还剩3名男子和3名女孩，进入各组的男子和女孩人数如下：234-3=231(人).男性的146-3=143(人).女性的为了最小化组的数量，每个组的数量应该是最大的，也就是说，每个组的数量应该是231和143的最大公约数。231和143的最大公约数是11，也就是说，每组有11个人。因为231和143除以11的商是21和13，所以男孩可以分成21组，女孩可以分成13组。21 13=34(组)每组应该有11个人，可以分成34组。例6将330个红色玻璃球和360个绿色玻璃球装在小盒子里，这样每

17、个盒子里的玻璃球的数量是相同的，最大的数量被包装。我应该装多少小盒子？(适用于六年级)解决方法：问一下总共能装多少个盒子，知道有多少盒子是用红色和绿色包装的。如果红色和绿色分别装在盒子里，并且每个盒子里的球数相同，那么每个盒子里的球数必须是最大公约数330和360。235=30330和360的最大公约数是30，即每盒30个球。33030=11(盒).36030=12(盒).11 12=23(盒).简短的回答。例7除了40，一个数小于2，除了68，一个数小于2。这个数字的最大值是多少？(适用于六年级)解决方案：“一个数除以40小于2，而68小于2”意味着40除以这个数并且不能被整除。如果你在40上加2，你可以被这个数整除；如果68除以这个数，它就不能被整除。如果你在68上加2，你可以被这个数整除。似乎这个数可以被40 2=42整除，68 2=70。这个数是42和70的公约数，也是最大的公约数。27=14甲：最多14个。例8李明昨天卖了三筐白