第24章圆复习与小结.ppt

1、第24章 圆,复习与小结,本章知识结构图,圆的基本性质,圆,圆的对称性,弧、弦圆心角之间的关系,同弧上的圆周角与圆心角的关系,与圆有关的位置关系,正多边形和圆,有关圆的计算,点和圆的位置关系,切线,直线和圆的位置关系,三角形的外接圆,三角形内切圆,等分圆,圆和圆的位置关系,弧长,扇形的面积,圆锥的侧面积和全面积,圆,正多边形和圆,知识树,点、直线与圆的位置关系,弧长和扇形面积,圆的基本性质,圆,确定圆的条件,正多边形和圆,点、直线与圆的位置关系,圆的基本性质,知识树,轴,中心,旋转,垂径定理,内切圆,等分圆,扇形面积,弧长和扇形的计算,圆心角，圆周角定理,外接圆,切线的性质和判定,弧长,圆锥的

2、侧面积和全面积,几个相关概念与计算,能力树,圆,数形结合思想,运动变化观点,分类、方程思想,辅助线规律,1.圆的定义辨析,篮球是圆吗？ 圆必须在一个平面内 以3cm为半径画圆，能画多少个？ 以点O为圆心画圆，能画多少个？ 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ 半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 圆是“圆周”还是“圆面”？ 圆是一条封闭曲线 圆周上的点与圆心有什么关系？,圆的定义,2.圆的定义（集合观点）,一个圆把平面内的所有点分成了多少类？ 你能模仿圆的集合定义思想，说说什么是圆的内部和圆的外部吗？,圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； 到定

3、点的距离等于定长的点都在圆上。,弦和直径 什么是弦？什么是直径？ 直径是弦吗？弦是直径吗？ 弧与半圆 什么是圆弧（弧）？怎样表示？ 弧分成哪几类？ 半圆是弧吗？弧是半圆吗？ 弓形是什么？有几种类型？ 同心圆、同圆、等圆和等弧 怎样的两个圆叫同心圆？ 怎样的两个圆叫等圆？ 同圆和等圆有什么性质？ 什么叫等弧？,与圆有关的概念,圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度 ，都能与原来的图形重合。,圆的性质,垂径定理,AM=BM,重视：模型“垂径定理直角三角形”,若 CD是直径, CDAB,1.定理 垂直于弦

4、的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； (3) 平分弦 ；(4)平分劣弧； (5)平分优弧.,知二得三,注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?( ),错,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。,（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。,垂径定理推论1,垂径定理推论,例.O的半径为10cm，弦ABCD， AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是_ .,2cm或14cm,推论2：圆内的两条平行弦所夹的弧相等,1.两个同心圆的直径分

5、别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽度为_ cm； 2.如图1,已知O，AB为直径，ABCD，垂足为E，由图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出来 ; 3.为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽AB=60 cm，则污水的最大深度为 cm,图1,图2,练一练,A,B,4.M是O内一点，已知过点M的O最长的弦为10 cm， 最短的弦长为8 cm，则OM=_ cm.,A,B,C,P,6.如图，AB是O的任意一条弦，OCAB，垂足为P，若 CP=7cm，AB=28cm ，你能帮老师求出这面镜子的半径吗？,O,7,14,综合应用

6、垂径定理和勾股定理可求得半径,在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,如由条件:,AB=AB, OD=OD,AOB=AOB,圆心角、弧、弦、弦心距的关系,圆周角定理及推论,定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半.,推论：1.同弧(或等弧）所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等 2.直径（或半圆）所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径 3.如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形,图1,图2,练一练,5.如图：圆O中弦AB

7、等于半径R，则这条弦所对的圆心角是,圆周角是.,60,30或150,6.已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果 AOC=140 ，求 B的度数,7.平面上一点P到O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_.,D,解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD. AOC=140 D=70 B=18070 =110 ,2或4cm,(2)点在圆上,(3)点在圆外,(1)点在圆内,1.点和圆的位置关系,如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则d与r的大小关系为:,点在圆内,点在圆上,点在圆外,dr,dr,dr,与圆有关的位置关系:,1.如图,OA是O的半径,已知AB=OA,试探索当O

8、AB的大小如何变化时点B在圆内?点B在圆上?点B在圆外?,3.O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x26x80的两根，则点A与O的位置关系是（ ） A点A在O内部 B点A在O上 C点A在O外部 D点A不在O上,2.有两个同心圆，半径分别为和r，是圆环内一点，则的取值范围是.,rOPR,1、直线和圆相交,d r;,d r;,2、直线和圆相切,3、直线和圆相离,d r.,2.直线与圆的位置关系,=,切线的判定定理,定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,如图 OA是O的半径, 且CDOA, CD是O的切线.,判定切线的方法：,（）定义,（）圆心到直线的距离d圆

9、的半径r,（）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,切线的判定定理的两种应用,1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可； 2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可,切线的性质定理,圆的切线垂直于过切点的半径.,CD切O于, OA是O的半径,C,D,O,A,CDOA.,切线的性质定理出可理解为,如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么 第三个也成立。经过切点、垂直于切线、经过圆心。,如 , , ,从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹

10、角.,切线长定理及其推论:,直角三角形的内切圆半径与三边关系.,三角形的内切圆半径与圆面积.,PA,PB切O于A,B PA=PB 1=2,反证法的三个步骤： 1、提出假设 2、由题设出发，引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确,用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60”， 先应当假设这个三角形中 A. 有一个内角小于60 B. 每一个内角都小于60C. 有一个内角大于60 D. 每一个内角都大于60,1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_ cm； 2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点， 设AB=1

11、2，则两圆构成圆环面积为_； 3、下列四个命题中正确的是（ ） 与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； 垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 ； 到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 ；过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线 A. B. C. D.,练一练,4.在RtABC中,B=90,A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作D. 试说明:AC是D的切线.,F,过D点作DFAC于F点，然后证明DF等于圆D的半径BD,只要连接OC，而后证明OC垂直CD,5.如图，AB在O的直径，点D在AB的延长线上, 且BD=OB,点C在O上,CAB=30. (1)CD是O的切线吗？说明你的理由; (

12、2)AC=_，请给出合理的解释.,3.三角形的外接圆和内切圆：,三角形内切圆的圆心 叫三角形的内心。,三角形外接圆的圆心 叫三角形的外心,三角形三边垂直平分线的交点,三角形三内角角平分线的交点,到三角形各边的距离相等,到三角形各顶点的距离相等,锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.,三角形的外心是否一定在三角形的内部？,等边三角形的外心与内心重合.,特别的:,内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.,O,D,一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ ） 2、直角三角形的外心是斜边的中点 （ ） 二、填空： 1、直角三

13、角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆 半径，内切圆半径； 2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比 三、选择题： 下列命题正确的是（ ） A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形的内心不一定在三角形的内部 C、等边三角形的内心、外心重合 D、三角形一定有一个外切圆,6.5cm,2cm,2:1,C,四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为_,30cm2,练一练,1.过一点的圆有_个 2.过两点的圆有_个，这些圆的圆心的都在_ 上. 3.过三点的圆有_个 4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离

14、相等） 5.锐角三角形的外心在三角形_，直角三角形的外心在三角形_ ，钝角三角形的外心在三角形_。,无数,无数,0或1,内,外,连结着两点的线段的垂直平分线,在斜边的中点上,五.填空,圆内接四边形的性质： （1）对角互补； （2）任意一个外角都等于它的内对角,圆内接四边形ABCD中，ABCD可以是（ ） A、1234 B、1324 C、4231 D、4213,4.四边形与圆的位置关系,交点个数 名称,0,外离,1,外切,2,相交,1,内切,0,内含,同心圆是内含的特殊情况,d , R , r 的关系,d,R,r,d R + r,d = R + r,R-r d R+ r,d = R - r,d

15、R - r,5.圆与圆的位置关系,正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 正n边形： 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。,三条边相等，三个角也相等（60度）,四条边都相等，四个角也相等（90度）,6.正多边形和圆：,正多边形有关概念,2.半径：正多边形外接圆的半径 叫做这个正多边形的半径,.中心：一个正多边形外接圆 的圆心叫做这个正多边形的中心,3.中心角：正多边形每一边所对 的外接圆的圆心角叫做这个正多 边形的中心角,4.边心距：中心到正多边形一边 的距离叫做这个正多边形的边心距,边心距r,半径R,中心角,O,边,D,1.正多边形的各边相等，正多边形的各

16、角相等,正多边形的性质,2.正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有 n条对称轴,每条对称轴都通过n边形的中心.,3.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形,它 的中心就是对称中心.,把圆分成n（n3）等份： 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形； 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。,画正多边形,画正多边 形的方法,用量角器画图,用量角器作出相等的n个圆心角，得到圆的n个等分点,用量角器画图一个圆心角，在圆上依次截取与这个圆心角所对的弧相等的弧,尺规画图：一些特殊的正多边形 例如：正六边形 正方形 正三角形 正八边形 正十二边形 正十六边形

17、正二十四边形 正三十二边形 ,1.圆的周长和面积公式,2.弧长的计算公式,圆中的有关计算:,周长C=2r,面积s=r2,一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形,或,3.扇形的面积公式,弓形：由弦及其所对的弧组成的图形,S弓形= S扇形-SAOB,S弓形= S扇形+SAOB,S弓形=S半圆,4.弓形,5.圆柱的展开图:,r,h,S侧 =2r h,S全=2r h+2 r2,6.圆锥的展开图:,底面,侧面,a,a,h,r,S侧 =r a,S全=r a+ r2,扇形AOB的半径为12cm,AOB=120,求扇形的 面积和周长.,2. 如图,当半径为30cm的转动轮转过120时,传 送带上的物体

18、A平移的距离为_.,A,练一练,3.如图，把RtABC的斜边放在直线 上，按顺时针方向转动一次,使它转到 的位置。若BC=1,A=300。求点A运动到A位置时，点A经过的路线长。,4.如下图，所示的三角形铁皮余料，剪下扇形制成圆锥形玩具，已知C=90度，AC=BC=4cm，使剪下的扇形边缘半径在三角形边上，弧与其他边相切，设计裁剪的方案图，直接写出扇形的半径长。,O,5、扇形的面积是它所在圆的面积的 ，这个扇 形的圆心角的度数是_.,240,6、 圆锥的母线为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为_,24cm2,7.已知：在RtABC, 求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。,分析：

19、 以AB为轴旋转一周所得到的 几何体是由公共底面的两个 圆锥所组成的几何体，因此 求全面积就是求两个圆锥的 侧面积。,8：如图，在RtABC中，ACB=900。,(1)分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗?,(2)以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？,(3)若AB=5，BC=4，你能求出题(2)中几何体的表面积吗？,9.如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为8cm，一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到A点，求蚂蚁爬行的最短路线长是多少？,B,常见的基本图形及结论:,1.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,则:,AC=BD,若大圆的弦切小圆于C,则,AC=BC,两圆之间的环形面积,S= AB2,2.如图,以等腰ABC的腰AB为直径作O交底边BC