9 场的量子化及其状态的描述.ppt

1、第9章 场的量子化及其状态的描述,半经典理论：对原子进行量子化处理，而电磁场仍然是经典场。理论是近似的，适用于无需考虑场的量子力学行为的场合，可使问题得到简化。 全量子理论：对原子和场都采用量子化处理。理论是完备的，适用于任何场合，但是当场的量子力学效应可以忽略不计时，不利于问题简化。能给自发辐射以理论解释，从而能解释激光场由真空场到稳定场的建立过程，能研究激光场的相干性和光子统计性质，等等。,9.2 电磁辐射场的量子化,研究辐射场的量子化不必牵涉电磁相互作用，因而只需考虑真空无源区的自由辐射场。在开式的真空腔中，电磁场满足以下Maxwell 方程组（ 是真空光速）,9.2.1 单模辐射场的量

2、子化,选择Cartesian坐标系，使得单模辐射场沿z轴传播，电场振动方向（即偏振方向）在x轴方向上，则E=(Ex, 0, 0)，磁场振动方向在y轴上H=(0, Hy, 0)，假定电磁场处于两镜腔内，沿x、y轴方向变化可忽略不计，则腔中单模电磁场的波动方程为,可用分离变量法求解以上方程，可得到,即有,A为振幅，为初相，k为波矢，=kc为角频率。单模场处于两镜腔内，满足驻波条件,(9-1),其中V=LS为腔体体积，L为谐振腔的长度，S为谐振腔的横截面积，M为归一化因子（具有质量量纲）,定义单模电磁场的广义坐标(具有长度量纲),则方程(9-1)可以表达为,(9-2),(9-3),显然广义坐标Q(t

3、)满足如下谐振子方程,另一方面，由Maxwell方程,和H=(0, Hy, 0)有：,故,将(9-3)式代入上式，得到,利用,上式可以写成,9-4,引入场的广义动量（具有动量量纲）,光腔体积内的电磁场能量为,利用(9-4)和(9-5)两式，得到,(9-5),(9-6),(9-7),将(9-3)和(9-6)式代入上式，利用驻波条件得,因此电磁场的哈密顿量为：,这跟质量为M、频率为的简谐振子的哈密顿量相同。把Q(t)看作广义坐标，把P(t)看作广义动量。 9.2.2 电磁场的量子化 在场的量子化中，把经典的广义坐标广义动量共轭对Q和P换成对应的算符，且让它们满足以下对易关系：,(9-8),引入新的

4、算符,或相应的有：,(9-9),(9-10),(9-11)、9-2-18,将(9-11)和(9-8)式，电磁场的Hamiltonian算符为,于是电磁场算符可以表达为：,(9-12)、9-2-25,(9-2-24),并且存在着如下对易关系 的本征值 En表示 的本征值，|n表示属于这一本征值的本征态，则 将 作用到态 上，利用（9-13），得：,(9-13),(9-14),将 作用到态 上，利用（9-13），得： 可见，如果|n为 的本征态，则 ， .也是 的本征态，其本征值为 ，即，若En是 的本征值，则 也是 的本征值。 如果把能量 看成为一个简谐振子量子所具有的 能量，则算符 的作用是减

5、少一个简谐振子量子，使能量本征值为En的态变为能量本征值为 的态。,(9-15),算符 称为湮灭算符，同理，对算符 有,算符 称为产生算符,粒子数算符,9.1.2 能量本征值（粒子数算符的本征值）,则必然有n0，且当n=0时，有,这是因为,引理1 若粒子数算符的本征值和本征态分别用n和|n表示，即有,的最小本征值,设最低能量本征态为|0,相应的本征值为E0，则应满足,所以,可知 的本征值谱为,(9-16) 9-1-17,由于粒子数算符的本征值为非负整数，于是,一维谐振子的能量是以为单位增减的，即能量是一份一份的组成的，每一份能量大小为，我们称每一份这样的能量单元为一个能量量子（光子） 粒子数算

6、符即是能量量子数算符，其本征值n对应能量量子数，本征态|n对应能量量子数为n的量子态。当 n=0时，谐振子的能量不为0，即谐振子存在基态能量 湮灭（产生）算符每作用于能量本征态|n一次，能量量子数n就会减少（增加）一个。因此它代表湮灭（产生）一个粒子（能量量子）的算符。,9.1.3 能量本征态,将本征态归一化=1，可求出它的一些表达式。一方面，粒子数算符的本征方程满足,另一方面，前面已经给出,因此有,其中常系数 和 根据归一化关系求出,于是,根据以上递推公式，有,于是得到,(9-17),(9-18) 9-1-21,作为代表物理可观测量的厄米算符，粒子数算符的本征态（也即能量算符的本征态）满足正

7、交归一和完备性关系，即,因此本征态集合|n可以构成态矢量空间中的一组基矢，任意量子态可以用它展开。由于|n代表粒子数为n的量子态，由基矢|n构成的表象，称为粒子数表象或占有数表象，又称作Fock空间表象。,(9-19),于是，对于电磁场我们有(n=1, 2, 3)：,电磁场的能量是离散化的，即能量是一份一份的组成的，每一份能量大小为 ，我们称每一份这样的能量单元为电磁场的场量子，即光子。 粒子数算符即是光子数算符，其本征值n对应场所包含的光子数，本征态|n对应光子数为n的场量子态。当光子数n=0时，场的能量不为0，即场存在真空涨落所产生的“零点能” （又称为场的基态能量） ，它是产生自发辐射的

8、物理根源。 湮灭/产生算符代表湮灭/产生一个光子的算符。,由于光子数本征态是正交归一的，可以用集合|n, n=0, 1, 2构成一个正交归一的基矢量组（称为光子数表象），一般的量子态|可以用这组基矢展开，展开的系数构成一个列矩阵，称为|在光子数表象下的矩阵表示。同理，任意一个算符 在光子数表象下存在矩阵表示,矩阵元为,利用|n的正交归一性，以及,可知在光子数表象下，有,光子数算符在自身表象中自然是对角矩阵，对角元为它的本征值,在粒子数本征态下，电场强度的平均值为,即此时电场相位是完全随机的（电场矢量方向各向同性）。光强的平均值为,光子数为零时，存在电磁场的真空起伏（起伏的平均值为零），使得光强

9、不为零。 表示n个光子的光强，因此 表示单模场中一个光子的光强，而 为一个光子的光场振幅。,在这里，虽然是针对谐振腔中的单模电磁场进行量子化，对于自由空间中的电磁场量子化也适用。无限大自由空间，可以看作是V时的情形，其中的归一化称为箱归一化。,9.2.2 多模电磁场的量子化 前面已经讲述单模电磁场的量子化。多模电磁场对应多个不同频率的单模电磁场的叠加，它是Maxwell方程组的一般解。因此在与前面相同的条件下，多模电磁场可以表达为：,其中s=1, 2,，而,是第s个模（纵模）的广义坐标和广义动量,是第s模的单模电磁场， 是第s模的本征角频率， 是第s模的波数矢量的z分量。多模电磁场的Hamil

10、tonian对应所有单模电磁场的Hamiltonian之和：,其中 为第s模的Hamiltonian,量子化之后，经典力学量换成对应的算符，由此得到多模电磁场的Hamiltonian算符为：,其中 为第s模的Hamiltonian算符：,广义坐标算符与广义动量算符满足以下对易关系：,与单模电磁场相似，引入光子的湮灭算符和产生算符分别如下：,根据坐标算符与动量算符之间的对易关系，可以求得：,倒过来有：,把上式代入多模电磁场的Hamiltonian算符表达式，并利用产生算符和湮灭算符满足的对易关系，可得到：,其中：,用 表示第s模的粒子数算符本征态，则有,对于多模辐射场，假设第s个模中有ns个光子

11、（s=1,2,，ns=0,1,2），则粒子数算符的本征态矢可以写成所有单模本征态矢的张量积（并式矢）,则有,利用上式可得,即多模电磁场的总能量等于各个单模能量之和。第s模的产生和湮灭算符只对第s模的本征态作用，故有,利用单模本征态的正交归一关系和完备性关系，可以得到多模本征态的正交归一和完备性关系如下：,因此可以用多模本征态构成的基矢量组构成一个Fock空间（粒子数占有表象），电磁场的任意一个量子状态矢量|可以用这组基矢展开，展开系数构成的列矩阵，称为|在该Fock空间中的表示。具体地，有,展开系数模的平方,表示在态|中，在第1模中找到n1个光子、且在第2模中找到n2个光子、且在第s模中找到n

12、s个光子的概率。电磁场算符为,与单模类似，我们有,多模场的真空态指的是多模场中的每一个模都没有光子，n1=n2=ns=0，显然真空态的零点能为各个模的零点能之和：,同理，在真空态下，电场场强的平均值为零，而它的平方（对应光强）的平均值不为零,对空间取平均，即得到多模场的零点起伏,光子数为零的电磁场基态，虽然存在零点涨落，但不足以引起原子吸收一个光子而从低能级向上一能级跃迁的（实）过程发生（违背能量守恒，真空能量不为零），但是可以引起能量守恒的自发辐射发生。,在前面讨论电磁辐射场的量子化中，粒子数算符是Hermitian算符，其本征值n（粒子数）对应物理上的可观测量，其本征态|n对应光子数为n的

13、量子态。由于光子数与场振幅的平方成正比，|n仅反映量子化电磁场的振幅方面的信息。但是要了解一个波场的全部信息，得知道它的频率、振幅和相位（初相）。因此，下面将研究与量子化电磁场的相位对应的位相算符及其特性。,9.3 单模位相态与单模光子数态,9.3.1 位相算符的引入,初相算符（位相算符）由湮灭算符来定义：,(9-20) 9-3-2,由上式可得：,(9-21) 9-3-1,由于 和 一样不是厄米算符，不能作为场 的可观察量。,注意到：,有,(9-22),(9-23),因此，通常把该算符的余弦函数和正弦函数取作位相算符（显然它们都是厄米的）,(9-24),因为（h.c.表示前一项的厄米共轭）,在

14、粒子数表象下，其矩阵形式为,利用,不难验证,因此，粒子数算符与位相算符是不对易的，二者没有共同的本征态。例如当场处于粒子态|n时，就不可能处于某个确定的位相态，从而当粒子数具有确定值n时（也即场的振幅有确定大小时），场所处在的相位就完全不确定，反之亦然。,因此，量子化场的粒子数（振幅）与相位不能同时确定。一般地，按照量子力学理论，若算符满足关系 ，则有测不准关系,其中A和B是相应力学量算符的均方根误差,力学量算符的均方根误差，是量子涨落产生的偏差，使得力学量的测量值偏离平均值。这种误差不是由于测量设备或测量人员造成的，而是自然界本身内在的随机性造成的。,由此可以算出量子化场的粒子数（振幅）与相

15、位之间存在以下测不准关系,上式表明，粒子数（场振幅）越确定，测量值越准确（即偏差越小），则场的相位就越不准确，测量值偏差就越大，反之亦然。量子化场的振幅与相位不能同时确定，这是量子化电磁场与经典电磁场之间的又一个重要区别。,9.3.2 位相算符的本征态位相态 不难验证，前面定义的两个位相算符不对易,因此二者没有共同的本征态。不过，上式左端仅有一个矩阵元不为零：,其他的无穷多个矩阵元皆为零。因此，从极限意义上考虑，两个位相算符具有同一本征态是可能的。,考虑到在经典电磁场中，相位是一个单一的变量，不必分为cos和sin等两种表达形式，因此不必用两个不同的量子力学算符的本征态来表示位相态。为此，定义

16、位相态,其中(S+1)-1/2是归一化系数。,上式右端展开系数模的平方都相等，故在位相态上（相位是确定的），包含各种可能的光子数的几率均相等，即光子数是完全不确定的。位相态满足正交归一关系，例如,可以证明，这样定义的位相态同时是两种位相算符的本征态（证明从略，可参考教材第173-174页），即有,从而有,此结果仅在S+时（即光子数趋于无穷大时，过渡到经典力学）成立。,9.3.3 单模光子数态|n 对量子化辐射场，场的粒子数与位相在同一态中不能同时具有确定值。将光子算符 的本征态|n称为单模光子数态 下面计算辐射场处于单模光子数态|n时，光子数及位相的不确定量（均方偏差）。粒子数算符,这是显然的

17、，因为按照量子力学，力学量算符在它的本征态下测量，必有确定值。,但是对于位相算符，考虑到,可验证,因此，当光场处于|n态且n0时，有,考虑到（n0），cos2在=02时的平均值为,即当电磁场处于|n态（n0）时，其光子数（因而最大振幅）有确定值，而相位可以取02之间的任意值。,下图表示单模光子数态|n的振荡电场是时间的函数（单模下每个正弦波的振荡频率都一样），最大振幅是确定的，但相位在02之间完全随机分布，即相位是混乱的，完全不确定的。,对于单模光子数态|n，电场算符的期望值为：,上图中电磁波（最大）振幅可定量地表示为,场的强度的期望值为：,电磁场在波动过程中，某一固定位置处的振幅大小（电场矢

18、量大小）在0和最大值E0之间周期性地变化着，因此电场强度的均方根偏差为,当然，当电磁场处于|n态时，它的最大振幅是确定的。此时它的相位是完全不确定的，具有在0, 2范围内随机分布的相位的正弦波，平均值为零，而正弦波的最大振幅（对应光强或者光子数）是确定的。,9.3.4 单模位相态 位相算符的本征态|称为单模位相态。在单模位相态|下，前面已经表明，位相算符的不确定量在S时为零，即单模位相态的相位是完全确定的,但是光子数是不确定的，即有,由此得到,因此在单模位相态|下，光子数的平均值和不确定量均为无穷大，而相对偏差为,是一个有限的确定值,上面的结果说明，当光场处于单模相位态时，与处于单模光子数态的

19、情形刚好相反，此时电磁场具有完全确定的相位，而具有完全不确定的光子数。下图描述了这种情况,单模位相态的光场随时间变化的情况，相位完全确定，振幅在0之间变化，因而完全不确定,前面的结果表明，由于光子数算符与位相算符之间不对易，量子化的电磁场的振幅与相位不能同时确定。 在光子数态|n下，振幅完全确定而相位完全不确定；在位相态|下，相位完全确定而振幅完全不确定。因此这两种态属于两个极端情形。 对于电磁场，通常我们既需要了解一定的振幅信息，也同时需要了解一定的相位信息。下面给出的相干态就能满足这一点。,9.4.1 相干态的定义 相干态存在多种等价定义，下面把相干态定义为湮灭算符的本征态,|表示相干态，

20、为本征值。由于湮灭算符不是厄米算符，因此“本征值是实数”和“本征矢是正交和完备的”这些定理不再适用。因此本征值可以为任意复数，即,9.4 相干态,9.4.1,9.4.2,为了讨论相干态的性质，利用粒子数态的完备性，将相干态用粒子数态展开,是光子数表象和相干态表象之间的变换系数。将上式代入本征方程，有,左边的求和可移动指标nn+1，则,9.4.4,将上式左乘n|，利用光子数态的正交归一性，得,其中归一化系数C0可由相干态|的归一化条件求得（忽略一个相位因子）,所以展开系数的递推关系,9.4.6,9.4.7,于是,因此，相干态可以表达为,相干态可以由光子数态|n的适当叠加构成,9.4.8,利用(9

21、-18)（教材9-1-21），将上式改写为,9.4.9,9.4.2 相干态的性质,1、正交归一性,以及,9.4.10,9.4.11,=时，=1，相干态是归一化的。,但是不同相干态之间不正交。 时，0,如若| -|时，0。可以认为两个相干态近似于正交,2、相干态下的平均光子数与光子分布,光子算符的期望值（平均光子数）,光子算符的方均根值,9.4.12,9.4.13,所以,光子数的不准确程度,3、相干态的光子分布是泊松分布,当单模场处于相干态|时，在相干态|中发现n个光子的概率是,9.4.14,9.4.15,9.4.16,即相干态的光子数分布是Poisson分布。激光器在远高于阀值时，其光子分布就是Poisson分布，即激光场的光子就是相干态的光子。,或利用9.4.12 ，用平均光子数表示）,9.4.16,位相算符的平均值及方均根误差分别为：,4、相干态下的测不准关系式,光子数的不确定程度和位相的均方根误差都随平均光子数 的增加而减少。即当平均光子数很大时，相干态所对应的量子化电磁场，越来越接近具有确定振幅和固定相位的经典电磁场,位相的量子涨落偏差为,同理,这是测不准关系式（9-3-17）取极小值的情况,