数值计算方法第2版 第1章 数值计算引论.ppt

1、数值计算方法，第1章数值计算导论，第2章非线性方程的数值解，第3章线性代数方程的数值解，第4章插值方法，第5章曲线拟合的最小二乘法，第6章数值积分和数值微分，第7章常微分方程初值问题的数值解， 第一章数值计算简介1.1数值计算方法1.2误差来源1.3近似数的误差表示1.4数值运算误差分析1.5数值稳定性和减少运算误差第一章数值计算方法和误差分析理工科大学本科生科研简介。 现代科学研究的三大手段是理论分析、科学实验和科学计算。1.1数值计算方法1.1.1数值计算方法及其主要内容1。课程名称：科学与工程数值计算方法简称：科学计算、科学与工程计算、数值分析、计算方法和数值计算方法。科学与工程：从实践

2、的角度来看，科学研究和工程技术中遇到的实际问题用数学模型来描述，以便进行定量分析和研究。数值：数字，数字，由0-9十个数字组成的数字，小数点和符号。计算法：解决问题的方法。它可以用自然语言、数学语言或约定的符号语言来描述。计算：只能包括计算机可以直接处理的运算，即加、减、乘、除等基本运算。数值计算：相对于非数值计算，如查表和排序。使用数字(由0-9十个数字、小数点、加号或减号等组成。用计算机进行基本运算，如加法、减法、乘法和除法。2 .数值算法：科学研究和工程技术中遇到的实际数学问题的解决方法归结为基本运算，如数值的加、减、乘、除等，具有确定的运算顺序。一个完整而准确的描述叫做数值算法。数值计

3、算方法是研究用数字计算机解决数学问题的数值算法和理论的课程。主要内容：工程中遇到的数学问题的数值计算误差分析非线性方程线性方程插值法最小二乘法数值积分和数值微分常微分方程1.1.2用计算机解决问题的步骤当科学研究和工程技术中遇到实际问题时，首先根据专业知识建立实际问题的数学模型，即建模或建模。然后求解数学模型。有两种方法可以求解数学模型(包括公式、表格、图表等)。):解析解和数值解。找到解析解，该解用表达式表示，这是一个精确的解。为了找到数值解，解在一些离散点以值的形式表示。在大多数情况下，数值解是近似的，它需要计算机来找到数值解。寻找数学模型数值解的方法称为数值计算法。在选择了计算方法后，设

4、计了程序，即用编程语言对算法进行编程，然后在计算机上得到数值解。实际问题-数学问题(建模)-数值计算方法的构造-程序设计-计算机计算-数值解-结果分析，1.1.3数值计算的特征：算法要求。1.它只能包括能被计算机直接处理的运算，即基本运算，如加法、减法、乘法和除法。2.它可以任意逼近，满足精度要求，并保证逼近算法的收敛性和稳定性。3.更少的计算时间和存储空间。4.数值实验表明该算法是有效的。错误的来源是错误的原因。主要有四种类型：1 .模型误差建立的数学模型与实际模型之间的距离，以及目标量的精确值与数学模型的精确解之间的差异。例如，运动方程舍入误差：计算工具的字长是有限的，所以计算时只能操作有

5、限的位数，如果超过这个位数，就会出现舍入误差。舍入误差可能出现在原始数据、中间步骤和最终结果中。例如，圆周率是3.14159265，实数不能准确存储。例如，在十进制数的限制下，近似数的1-3误差表示、1.3.2相对误差和1.3.3有效数由绝对误差决定。如果近似值x*的绝对误差(极限)是半个单位，那么x*对该位是准确的；如果从x*左边的那一位到第一个非零数字有n个数字，那么近似值x*有n个有效数字。通过舍入得到的近似值的误差极限是后半个单位。如果近似数的误差限是后半个单位，则有n个有效数。因此，通过舍入得到的近似值是一个有效的数字。2.在公式运算中，有必要区分精确量和近似数。精确的数字有无限个有

6、效数字。3.有效数字和小数点后的位数之间没有直接关系。1.3.4有效数字和相对误差。1.这个定理给出了一个充分条件，而不是必要条件。这个定理的逆命题不成立。2.在实际应用中，为了使近似数的相对误差满足一定的要求，可以用定理来确定近似数应该有有效位数。这个定理给出了一个充分条件，而不是必要条件。这个定理的逆命题不成立。也就是说，如果近似数有n个有效数字，相对误差可能不满足定理。2.在实际应用中，为了使近似数有N个有效数字，近似数的相对误差应满足定理的要求。1.4数值运算误差分析功能运算误差算术运算误差，1.5数值稳定性和运算误差的减小不会放大计算过程中的误差或对计算结果的精度要求影响很小。为了减

7、少运算误差： 1，我们应该避免两个相似数字的相减。为了防止大数字吃小数字。3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。4注意简化计算步骤，减少运算次数。例：计算积分，写递推公式，误差传递规则，如果公式改变，误差会按照规则逐渐减小，1.5.1数值稳定性：安算法，如果计算结果受误差影响较小，据说该算法具有较好的数值稳定性。否则，数值稳定性不好。因此，我们应该努力控制错误的传播。1.5.2减少操作误差，1。为了避免两个相似数字之间的相减，13.5846-13.5839=0.0007，6位有效数字变成1位有效数字。丢失了有效位数。当x接近0时，我们应该求解二次方程a2bx c=0，其中-b、c和2应该防止大数“吃掉”小数，并注意保护重要的物理参数。在8位十进制计算机上计算。标准化和对齐。因此，大数字“吃掉”小数。同样，更改计算方法，例如，在5位十进制计算机上计算，在5位十进制