立体几何中的向量方法求夹角

1、ZPZ,3.2.4立体几何中的向量方法,空间“角度”问题,1.异面直线所成角,l,m,l,m,若两直线 所成的角为 , 则,复习引入,1.两条异面直线所成的角 (1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a a, b b,则a , b 所夹的锐角或直角叫a与b所成的角. (2)范围: (3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 ,其夹角 为 ,则有 (4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.,空间三种角的向量求解方法,例2,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以：,所以

2、 与 所成角的余弦值为,题后感悟如何用坐标法求异面直线所成的角？ (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式； (3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角,方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为 其中AB,2、二面角,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ， 则二面角 的大小 ,2、二面角,若二面角 的大小为

3、, 则,法向量法,3.二面角 (1)范围: (2)二面角的向量求法: 若AB、CD分别是二面角 的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 与 的夹角(如图(1) 设 是二面角 的两个面 的法向量,则向量 与 的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图(2),(1),(2),例2 正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。,以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz,在坐标平面yoz中,设面 的一个法向量为,同法一，可求 B(0,1,0),由 得,解得,所以，可取,即二面角 的余弦值为,方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角,设平

4、面,如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值 策略点睛,题后感悟如何利用法向量求二面角的大小？ (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求出两个法向量的夹角； (4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角； (5)确定出二面角的平面角的大小,3. 线面角,3. 线面角,l,设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( ),则,2.直线与平面所成的角 (1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角. (2)范围: (3)向量求法:设直线l的方向向量为 ,平面

5、的法 向量为 ,直线与平面所成的角为 , 与 的 夹角为 ,则有,N,解：如图建立坐标系A-xyz,则,N,又,例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC= ，SA=SB= . (1)求证 (2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。,S,A,B,C,D,【典例剖析】,例3 如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。,【典例剖析】,D,B,A,C,E,P,解：以A为

6、原点，AD、AB、AP所在的直线分别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，,设BE=m，则,2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是_ .,3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为_ .,基础训练:,1、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是_ .,600,1350,【巩固练习】,1 三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的余弦值为_ .,2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成 角的余弦值为_ .,3正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的 中点, 则二面角E-BC-A的大小是_,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3