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文档简介

1、第二章 非线性方程数值解,1 基础知识,求 f (x) = 0 的根,其中f(x)为非线性函数。,此类问题 在工程和科学计算中，此类问题广泛存在。,当f(x)为代数多项式时，称为代数方程，否则为超越方程。,x1,x2,a,b,x*,2,优点： 简单; 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .,缺点： 无法求复根及偶重根 收敛慢,迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。,迭代法是一种重要的逐次逼近方法。这种方法 用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精 确化，最后得到满足精度要求的结果。,2 迭代法,的不动点,由此也称为不动点迭代法，,迭代法的一般形式：, , .,若 收敛，即存在 x

2、* 使得 ，且 连续，则由 可知 ，即 是 的不动点，也就是f 的根。,从一个初值 出发，计算,( I ) 当 xa, b 时， (x)a, b； ( II ) 0 L 1 使得 则任取 x0a, b，由 xk+1 = (xk) 得到的序列 收敛于 (x) 在a, b上的唯一不动点。并且有误差估计式：,( k = 1, 2, ),k,考虑方程 x = (x), (x)Ca, b, 若,定理1,注1, 不动点唯一, 当k 时， xk 收敛到 x* ？,证明： (x) 在a, b上存在不动点,注：事实上，定理3是充分必要的，即另有结论：,两个迭代值组合的方法：,三个迭代值组合的方法：,P(x0,

3、y0),P(y0, z0),3 牛顿法,引入：将非线性方程线性化 Taylor 展开,取 x0 x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开:,， 在 x0 和 x 之间。,将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：,（ f C1，f (x*) 0）,单根情形,定理1,（收敛的充分条件）设 f C2a, b，若 f (a) f (b) 0； 则Newtons Method产生的序列 xk 收敛到f (x) 在 a, b 的唯一根。,定理2,（局部收敛性）设 f C2a, b，若 x* 为 f (x) 在a, b上的根，且 f (x*) 0，则存在 x* 的邻域 使得任取初值 ，Newtons Method产生的序列 xk 收敛到x*，且满足,证明：Newtons Method 事实上是一种特殊的不动点迭代 其中 ，则,收敛,由 Taylor 展开：,只要 f (x*) 0，则令 可得结论。,重根情形,原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 ，使得 。,求复根 Newton 公式中的自变

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