拉氏变换与逆变换.ppt

1、04:55,1,拉普拉斯(Laplace)变换,04:55,2,复数与复变函数,1.复数,(,为实数),2. 复变函数,3. 复数的代数表示法,4. 复数的模与幅角,04:55,3,设函数 若满足： （1）当 时， （2）当 时，实函数 的积分 在s的某一域内收敛，则定义 的拉普拉斯变换为,一、 拉普拉斯变换的定义：,（s = + j）,称为 的象函数； 称为 的原函数.,04:55,4,拉氏逆变换,拉氏变换与拉氏逆变换一一对应,04:55,5,2010-10-7,5,1、单位脉冲函数 (t),二、 常用函数的拉氏变换,04:55,6,2、单位阶跃函数1(t),04:55,7,2010-10-

2、7,7,3、单位斜坡（速度）函数,04:55,8,2010-10-7,8,4、单位抛物线（加速度）函数,04:55,9,5、幂函数：f(t)=tn,6、指数函数： f(t)=eat (a为常数),04:55,10,7、正弦函数和余弦函数,04:55,11,三、拉氏变换的基本性质,1、线性性质（叠加原理）,设f1(t)和f2(t)是两个任意时间函数，它们的象函数分别为F1(s) 和F2(s) ，a和b是两个任意实常数，,Laf1(t)+ bf2(t) = aL f1(t) + bLf2(t),= aF1(s) + bF2(s),L-1aF1(s) + bF2(s) = af1(t)+ bf2(t

3、),04:55,12,例：求函数 的象函数。,f(t)=K(1-e-at),根据拉氏变换的线性性质，求函数乘以常数的象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。,04:55,13,2、微分性质,函数f(t)的象函数F(s)与其导数的象函数之间有如下关系:,零初始条件下：,04:55,14,解：,例：利用导数性质求余弦函数的象函数。,04:55,15,3、积分性质,若Lf(t)= F(s) ,且各重积分在t=0时的值均为0，则,n重积分,04:55,16,4、延迟性质,若 Lf(t)= F(s)，则,例：求e-b(t-a) 的拉氏变换，a、b为任意实数。,5、位

4、移性质,若Lf(t)= F(s)，则F(s-a)= Lf (t) eat,04:55,17,6 、初值定理,7、终值定理,条件：sF(s)的所有极点都在S左半平面,04:55,18,2）卷积定理,设,则,3）卷积定理的应用,线性系统中如果 xo(t)是任意激励下的零状态响应，xi(t)是任意激励，g(t)是系统的脉冲响应，则：,8、卷积定理,1）两个时域函数的卷积,04:55,19,常用函数拉氏变换表,04:55,20,1） A(s)=0无重根，即F(s)只有不相同的极点,四、拉氏逆变换的部分分式法,，,按代数定理将F(s)展开为部分分式：,分三种情况：,2） A(s)=0有一个k重根P1 ，即F(s)有k重极点,3） A(s)=0有一对共轭复根,04:55,21,1). A(s)=0无重根，即F(s)只有不相同的极点,四、拉氏逆变换的部分分式法,，,04:55,22,例：求 的拉氏逆变换。,解：,求,04:55,23,解： 将方程两边取拉氏变换，得 整理得 故,例：解方程 ,其中,应用拉氏变换求解线性常系数微分方程,04:55,24,2） A(s)=0有一个k重根P1 ，即F(s)有