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文档简介

1、近 世 代 数(Abstract Algebra),主讲教师 ： 蔡 炳 苓,（河北师范大学数学与信息科学学院),第9节 子群的陪集,河北师范大学,子群陪集的概念是对群进行分类的有力工具， 它是由伽罗瓦于1830年首先引入群论的.子群的 陪集实际上就是群的基础集在某种等价关系下的 类.本节中将给出陪集的概念和相关的性质，对 有限群则给出重要的定理拉格朗日定理，这也 是群论中一个定量的定理.,一、集合的积,设,为群,是群,定义,若,，则,的两个非空子集,二、陪集的引入,引例 整数加群,，模n的剩余类：,构成,的一个分类：,现利用群的观点，分析此分类的特点：,即说明整数加群按上面同余关系分类 和利

2、用子群分类是一回事，将其推广至一般群：,命题1：,证明：首先,命题2：,注：对同一个群，由同一个子群确定的上述两种等价关系未必相同，因此其左右陪集也不同。下面看一个例子,例1,在,中的全部不同的右陪集有:,在,中的全部不同的左陪集有:,右陪集的性质,1）,2）,3）,4）,同样的，对左陪集也有类似性质。,定义2,设,是子群,在群,中的所有不同的左陪集，称等式,为群,关于子群,的左陪集分解，而称,为群,的一个左陪集代表系.,关于子群,群,中每个元素属于且只属于一个左陪集，,可以按照其子群,的左陪集分类.,因此群,若,则,上例中左陪集代表系同时是右陪集代表系。,是否所有的左陪集代表系同时是右陪集代

3、表系吗？即,上述猜测是不对的，引发下面两个问题 1）什么时候左陪集代表系同时是右陪集代表系； 2）如何由一个给定的左陪集代表系得到一个对应的右陪集代表系。,定理1设,，,则,是,到,映射.,证明,的个数相同，或者都为无限大或有限且相等。,的左陪集的个数与右陪集,的一一,定义 3称群,的子群,的不同左(右),在,中的指数.,.,陪集的个数(有限或无限)为,记作,例1中,三、有关陪集的主要性质,由此可知，,即,是群,关于子群,的一,是群,的一个右陪集代表系.,个左陪集代表系，则,关于子群,定理 2设,，则群,陪集都与H含有相同个数的元素.,到,的一一映射;,是,的任何一个左（或右）,证明:,到,的一一,映射.,又由群中消去律成立知它是单射，因而它是,同理，,定理 3(Lagrange定理)对有限群,，,则,证明 因为, 所以,也是有限群，,，且,所以,推论,推论1有限群子群的阶整除群的阶.,的任一元素的阶都能,推

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