电动力学讲稿(第0章2010年修改).ppt

1、第 0 章 预备知识场论复习 Preliminary Knowledge Revise in the Field Theory,第0章 预备知识场论复习 讲课学时 4 0-1 标量场的梯度 算符 0-2 矢量场的散度 高斯定理 0-3 矢量场的旋度 斯托克斯定理 0-4 在正交曲线坐标系中 运算的表达式 0-5 二阶微分算符 格林定理 教学内容和目的 本章主要复习矢量场的知识。 说明：理解矢量场的散度和旋度，标量场的梯度等基本概念，正确地使用算符作矢量分析运算。,本 章 主 要 内 容 标量场的梯度 算符 矢量场的散度 高斯定理 矢量场的旋度 斯托克斯定理 在正交曲线坐标系中 运算的表达式 二

2、阶微分算符 格林定理,本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶微分运算和算符 运算的重要公式。,0-1 标量场的梯度， 算符 Gradient of Scalar Field, Operator,方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。,例如：标量场在P点沿l方向上的方向导数 定义为,0-1. 标量场的梯度 算符,梯度: 标量场中某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一

3、个矢量。,在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为,式中grad 是英文字母 gradient 的缩写。,若引入算符，它在直角坐标系中可表示为,则梯度可表示为,0-2 矢量场的散度 高斯定理 Divergence of Vector Field, Gausss Theorem,通量： 矢量 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 通过该有向曲面 S 的通量，以标量 表示，即,0-2. 矢量场的散度 高斯定理,通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面

4、的外法线方向。,由物理得知，真空中的电场强度 通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数 0 之比，即，,可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。,散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 在该点的散度，以 div A 表示，即,式中div 是英文字母 divergenc

5、e 的缩写， V 为闭合面 S 包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。,直角坐标系中散度可表示为,因此散度可用算符 表示为,高斯定理,从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。,0-3 矢量场的旋度 斯托克斯定理 Rotation of Vector Field, Stokes Theorem,环量：矢量场 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 沿该曲线的环量，以

6、表示，即,0-3. 矢量场的旋度 斯托克斯定理,可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向处处与线元 dl 的方向保持一致，则环量 0；若处处相反，则 0 。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。,由物理学得知，真空中磁感应强度 沿任一闭合有向曲线 l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率 0 的乘积。即,式中电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。,旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 的旋度

7、，则其方向是使矢量 具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即,式中 rot 是英文字母 rotation 的缩写，en 为最大环量强度的方向上的单位矢量，S 为闭合曲线 l 包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。,直角坐标系中旋度可用矩阵表示为,或用算符 表示为,应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。,斯托

8、克斯定理,从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。,从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。,因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。,散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。,无散场和无旋场,两个重要公式：,左式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。,右式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度

9、场一定是无旋场。,0-4 正交曲线坐标系中 运算的表达式 Expression of Operation on Orthogonal Curvilinear Co- Ordinates System,0-4.正交曲面坐标系,度量系数 设x, y, z 是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为 其中,称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h1, h2, h3来描述。,哈密顿算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符 在正交曲线坐标系下的一般表达式,其中 为正交曲线坐标系的基矢； 是一个标量函数； 是一个矢量函数，,不同坐标系中的微分表达式 a)

10、 笛卡儿坐标 x1=x， x2=y， x3=z h1=1，h2=1，h3=1,b) 圆柱坐标系 坐标变量: x1= ，x2=， x3= z 与笛卡儿坐标的关系： x= cos， y= sin， z=z 拉梅系数: h1=1， h2= ， h3=1,将 应用于圆柱坐标可得：,c) 球坐标系,坐标变量：,与笛卡儿坐标的关系： 拉梅系数：,其中,0-5 二阶微分算符 格林定理 Second-order Differentiation Operator, Greens Theorem,0-5. 一、二阶微分运算 一阶微分运算 将算符 直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即 这些都叫一

11、阶微分运算。 举例： （1）设 为源点 与场 之间的距离，r 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求r 的梯度。,第一步：源点固定.r 是场点的函数，对场点求梯度用 r表示，则有 而,同理可得： 故得到：,第二步：场点固定.r是源点的函数，对源点求梯度用 表示。 而 同理可得：,所以得到： （2）设u是空间坐标 x, y, z 的函数，证明,证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有,（3）设 求 解： 而 同理可得,那么 这里 同理可得 故有,由此可见： （4） 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 证：,（5） 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 证：,二阶微分运算

12、 将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设 为标量场， 为矢量场。,并假设 的分量具有所需要的阶的连续微商，则不难得到： （1）标量场的梯度必为无旋场 （2）矢量场的旋度必为无散场 （3）无旋场可表示一个标量场的梯度 （4）无散场可表示一个矢量场的旋度,（5）标量场的梯度的散度为 （6）矢量场的旋度的旋度为,运算与乘积 （1）,（2）,（3）,（4） （5）,(6) 根据常矢运算法则 则有：,故有： (7) 根据常矢运算法则： 则有,（8） 因为 而 故得到：,Greens theorem（格林定理） 由Gausss theorem得到: 将上式 交换位置，得到 以上两式相减，得到,函数 函数即狄拉