石油大学华东动力学02

1、Dynamics II Index,Chap.14 虚位移原理,14-1虚位移原理的有关概念,14-2虚位移原理,静动法的应用,*14-3 保守系统平衡的稳定性,Chap.15 动力学普遍方程,15-1 动力学普遍方程,15-2 第二类拉格朗日方程,Chap.16 碰 撞,16-1 碰撞与碰撞力,16-2 对心正碰撞 恢复系数与能量损失,16-3 转动刚体的碰撞 撞击中心,16-4 平面运动刚体 的碰撞,Chap.14 虚位移原理,静力学用平衡方程解决平衡问题, 对有些复杂系统, 常需求解许多反力, 繁琐.,虚位移原理求解用功的概念, 方程不含理想反力, 未知量减少, 求解简捷.,例欲求曲柄连

2、杆机构中,曲柄上力偶M 与滑块上力P之间的平衡关系.,静力学,至少需2研究对象和解2平衡方程,B:1方程NB;,整体：MO=0 M=f(P),sB,r,l,由速度投影定理,由虚位移原理,有,该原理用动力学理论研究静力学问题, 对应动静法不妨称之为静动法 另外，结合达朗伯原理还可解决非自由质点系动力学问题,虚位移原理,1研究对象和解1方程即可,14-1虚位移原理的有关概念,1.约束的概念,约束的数学表达式,约束Constraint,限制物体运动的各种条件,静力学仅强调限制“作用”,约束方程Constraint equation,几何约束Geometric constraint,运动约束Kinem

3、atic constraint,对于物体运动几何位置的限制条件,限制物体运动的运动学条件,几何约束方程,运动约束方程,几何约束方程,约束条件随时间变化的约束，否则称为,非定常约束或不稳定约束,constraint or Unstable constraint,Un-constant,定常约束或稳定约束Constant constraint or Stable constraint,定常 约束,v,非定常约束,完整约束Integrated constraint,约束方程 不含坐标导数或经积分可之消除的约束,非完整约束Un-integrated constraint,单面约束Single-side

4、d constraint,约束方程为不等式,双面约束Two-sided constraint,约束方程为等式,本章仅限于研究定常双面几何约束情况,细刚杆,柔绳,2.自由度与广义坐标的概念,自由度Degree of freedom,可以确定一个质点系空间位置的独立坐标数目,n个质点的自由质点系位置可由3n个相互独立坐标确定,其为受s个约束的非自由质点系,k=3ns个独立坐标,其余坐标可由s个约束条件求得,例曲柄连杆机构若简化为 O,A,B三个质点构成的质 点系, 可用六个坐标和 五个约束方程表示 其位置., 则约束方 程写为,y,x,系统为(6-5=)1自由度,广义坐标Generalized c

5、oordinates,表示质点系位置的独立参变量,意义,质点和约束数目较多而自由度数较少质点系, 适当选择k个独 立参变量比用3n个直角坐标和s个约束方程表示位置要方便,质点系各质点直角坐标可由广义坐标表示,广义坐标的选取不是唯一的,曲柄连杆机构,可取xA,yA,xB中任意一 个, 也可取,取各质点坐标,3.虚位移与理想约束的概念,虚位移或可能位移Virtual displacements or Possible displacements,质点系所有约束所容许的无限小的位移,例曲柄连杆机构, sB,简单说来,虚拟的、,可能的、,微小的,假想的、非真实的,仅与约束条件有关, 具有任意性.变分表

6、示(无限小”变更”), 不用微分.以区别于实位移是主动力 作用下、一定时间内真实发生的位移, 有确定方向, 与运动初始条件和约束条 件有关, 仅是虚位移中的一个.,非随意假设， 须满足约束 条件，运动时 是可以发生的,线位移构件 尺寸 角位移1,虚功Virtual work,力在虚位移上所作的功,F,r,=,W,区别于元功,理想约束Idealized constraints,任何虚位移的过程中反力虚 功和等于零的约束，记为,静力学中所介绍的凡没有摩擦的约束都属于这类约束,14-2 虚位移原理,一、虚位移原理,Principle of virtual displacement or Princi

7、ple of virtual work,理想约束的质点系平衡所有主动力 某位置的任何虚位移上虚功和等于零,虚功方程或静力学普遍方程 Equation of virtual work or General equation of statics,2.证明,反证法,设质点系不平衡,第二牛顿定律,与条件矛盾,条件成立, 必 平衡, 充分,质点系 平衡,各质点 平衡,给各质点一组虚位移ri,条件必要,1.原理,*3.广义力表示的虚位移原理,广义坐标表示虚位移, 相互独立, 方程表达简捷.不必建立虚位移间关系,虚位移可由广义坐标表示,广义力Generalized forces,式中,与广义坐标qj相对应

8、, 虚位移为线位 移,为力; 虚位移为角位移, 为力偶,广义坐标相互独立, 广义虚位移任意, 上式成立, 须有,原理,质点系平衡条件:所有广义力等于零,讨论,应用关键是广义力的计算,一个方程组，方程个数=自由度数,例14-1 试用虚位移原理推导刚体上平面力系的平衡方程.,即，虚位移原理与静力学平衡方程是等效的 虚位移方程实际是个方程组,独立方程的个数等于质点系的自由 度数或广义坐标数.,解:刚体,F1,F2,Fn,O,虚位移=随基点O平动的虚位移分量 +绕基点O转动的虚位移,y,x,x,y,虚位移原理,三虚位移相互独立,则上式欲成立,须有,虚功,例14-2 椭圆轨机构,摩擦与杆重不计.求平衡时

9、P和Q关系.,解: 系统：,x,y,O,xB,yA,I,I为AB的速度瞬心，由瞬心法,xB = lsin, yA = lcos 则,xB = yA tan,虚功方程,注：确定虚位移间关系的方法是多样的，此处，还可如P431;也可通过建立A,B 的运动方程，变分而得。请大家自行练习,代入分析结果,解得,例14-3 曲柄连杆机构 （见21片）,例14-4 图示各杆均光滑铰接, AC=CE=BC=CD=DF=FE=l, 在F点作用有铅垂力P, 求支座B的水平约束反力XB.,解: 系统:,XB,x,y,yF,xB,虚功方程,代入分析结果,解得,例14-5 双锤摆, 摆锤M1与M2重分别为P1与P2,

10、M2上加一水平 力Q以维持系统平衡.不计杆重. 求角及.,解: 系统:,x,y,(x1,y1),(x2,y2),P1,P2,M1与M24坐标表示系统位置, 2杆长不 变的约束条件,2自由度,取及为广 义坐标,则有,虚位移,虚功方程,代入分析结果,得,广义力表示的虚位移原理,解得,e.x.14-3,7,10(1),三、静动法原理的应用,静动法Method of stato-dynamics,用虚位移原理解决静力平衡问题的方法,或用动力学理论解决静力学问题的方法,应用：1不考虑反力, 解题方便. 非理想约束, 将摩擦力视为主动力.,2解决复杂机构或结构的静力平衡问题. 在弹性力学、结构力学 中应用

11、广泛.,3确定平衡条件（平衡位置、主动力关系）e.g.14-2,3,4求反力解除对应约束, 代之以反力, 视为主动力e.g.14-4,5解题步骤：,取研究对象 分析：画清主动力（含解除约束的反力） 表述虚位移关系(图示)或广义力 写出虚功方程(其数目=自由度数)，求解,e.g.14-5,例14-6 汽门系统.3OA=OB.求图示平衡位置P和Q间的关系.,解: 系统:,xE,xA,AE瞬时平动, xB=3xA= 3xE,xB,rC,BC平面运动 速度投影定理,虚功方程,代入分析结果,解得,例14-7 图示组合梁,求支座A的反力NA,解: 系统:,NA,rA,r1,rC,r2,虚位移,虚功方程,代

12、入分析结果,解得,例14-8 图示三铰拱, 求支座B的水平约束反力XB,解: 系统:,XB,A,C为OB的速度瞬心，由瞬心法,C,C,虚位移,OA=OC,C=A,虚功方程,代入分析结果,解得,例14-9 图示系统中, 物A放在粗糙的水平面上. 求平衡时W 及物A与水平面间的滑动摩擦系数f.,解: 系统:,x,y,A、B、C三体中,给定两体位置,系 统位置即确定系统2自由度,虚位移,广义坐标,xA、yB,G,轮H平面运动,G为基点，有,yC=xA+( yB xA)/2,xA,yB,yC,F,虚功方程,WyC F xAPyB =0,代入分析结果,整理得,(W/2F )xA+(W/2P)yB =0

13、,(W/2F )=0, (W/2P )=0 ,N,由于N=2P,平衡时要求FfN,*14-3 保守系统平衡的稳定性,1.平衡位置的判据,由物理学, 有势力做的正功等于 势能Potential energy的减少,广义力 (保守场中),平衡时 Qj=0,平衡位置的能量判据Energy criterions of equilibrium position,理想约束下质点系平衡条件: 其势能在平衡位置一阶变分为零, 或势能 对每个广义坐标的一阶偏导数为零。即系统在平衡位置势能取极值,2.稳定平衡位置的判据,质点系平衡状态分类：,稳定平衡 Stable equilibrium,随遇平衡 Indiffe

14、rent equilibrium,Unstable equilibrium,不稳 定平 衡,稳定平衡的能量判据Energy criterions of stable equilibrium,保守系统不稳定平衡位置的势能取极大值; 在稳定平衡位置的势能取极小值. 对于单自由度保守系统,多自由度系统判据可参考它书,例14-10 图示倒置摆中, 摆锤重P,摆在铅垂位置时弹簧未变形, 杆重不计.求系统平衡稳定的条件.,解: 系统:,单自由度,广义坐标取,铅垂位置为零势能,任意位置系统势能,微幅,即=0铅锤位置时，系统平衡,此即系统平衡稳定的条件,e.x.14-12,14 ,16,虚功是力在虚位移上所作

15、的元功.,理想约束是实际约束的理想模型，其条件为,虚位移原理:,或,3.虚位移原理用于求解系统平衡时主动力关系或系统位置, 解除相应约束,代以反力(视为主动力)也可求约束反力,小 结,1.虚位移原理为分析静力学的基础,通过主动力在约束容许 的微小位移上的元功来揭示质点系的平衡规律.,2.虚位移原理提供了用动力学方法解决质点系静力学的普 遍方法, 即静动法. 应用静动法关键是通过运动分析,表 达清楚虚位移间的关系及主动力虚功. 静动法方便之处 在于不涉及约束反力.,虚位移是质点系各质点可能的微小的虚拟的位移.,思 考 题,14-1 何为虚位移? 它与实位移有何不同?,14-2 应用虚位移原理的条

16、件是什么? 它解决平衡问题与用静力学平衡方程比较有何优点?,14-3 当两个刚性摩擦轮啮合时, 若不打滑, 试说明两轮接 触处的约束是否为理想约束? 为什么?,Chap.15 动力学普遍方程,虚位移原理可解决静力平衡问题，还可以结合DAlembert原理, 通过 导出动力学普遍方程, 解决非自由质点系动力学问题.,15-1 动力学普遍方程,DAlembert原理, 质点系一质点,+,+,=,0,(,),或,解析式,1.动力学普遍方程或达朗伯-拉格朗日方程General equation of dynamics or DAlembert-Lagranges equation.,理想约束下质点系上

17、任意瞬时, 所有主动力和惯性力在该瞬时质点系的 任何虚位移中所作的虚功之和等于零,2.应用:与静力学普遍方程一样, 不含约束反力, 便于求解复杂 的动力学问题.求动平衡条件，建立运动微分方程,例15-1 瓦特调速器绕铅垂轴以匀速转动, 重球A、B均 重P,重G的套筒C可沿y轴滑动,各杆长均为l,重量不计.求 重球张开的角度.,解: 系统:,=const. =const.aC=0,QA,QB,P,P,G,取为广义坐标,有,虚位移,动力学普遍方程,即,例15-2 滑轮系统中动滑轮上悬挂着重Q1的重物, 绳子绕过 定滑轮后悬挂重Q2的重物,轮和绳的重量及摩擦不计. 求物 Q2的加速度.,解: 系统:

18、,a2,FQ2,a1,FQ1,s1,s2,由题意,虚位移和加速度,s1,s2,动力学普遍方程,代入分析结果，且考虑s20，整理得,解得,15-2 第二类拉格朗日方程,1.含义：广义坐标表示的动力学普遍方程,2.导出,质点系质点n,完整理想约束s,自由度k=3n-s,取广义坐标qj (j=1k),虚位移和广义力,由动力学普遍方程,qj相互独立且虚位移任意,=f(qj,t), f(v),3.第二类拉格朗日方程 Lagranges equations,保守系统,系统的动能,系统的势能,Lagranges fuctuion=T-U,4.应用:不含反力, 求解方便.主要建立运动微分方程,例15-3 图示

19、水平面内行星轮系,质量m2的小齿轮(均质圆盘), 由质量m1的均质系杆OA驱动,沿固定大齿轮滚动, 系杆上作 用有转矩MO .求系杆的运动微分方程.,解: 系统:,取广义坐标,N,F,XO,非有势力仅MO做功,拉氏函数与广义力,由拉氏方程有,YO,例15-5 图示系统, 可沿光滑水平面移动的重物M1与可在铅 直面内摆动的摆锤M2重分别P1与P2, 用长l的无重杆连接. 求两物体的微幅运动规律.,解: 系统:,M1, M2 4坐标,2约束(杆长不变和y1=0) 即2自由度，取广义坐标,，x1则有,势能和动能,拉氏方程,运动微分方程,消去,运动方程,圆频率,摆动周期,振幅,初相位,由运动初始条件确

20、定,另外,系统水平无外力,质心水平守恒,取轴y过质心,则,M2轨迹方程,故系统称为椭圆摆,e.x.15-8,12,小 结,将某瞬时惯性力视为主动力,虚位移原理结合DAlembert 原理,可建立动力学普遍方程，推广于求解动力学问题.,2. 动力学普遍方程用广义坐标来表示,即Lagrange方程,其中L=T-ULagrange函数,要求系统具有理想完整约束.,3.应用解题时,首先要确定系统的自由度,选取广义坐标表示 系统的动能势能和广义力, 最后代入Lagrange方程建立 系统运动微分方程,求解结果.,Chap.16 碰 撞,研究碰撞现象, 掌握其规律, 用其利, 避其弊是有必要的.,伴有发热

21、/发声/发光等物理现象损失机械能. 碰撞力变化规律复杂难测与相对速度/材料/接触表面有关.,16-1 碰撞与碰撞力,1.碰撞现象及其特征,一般动力学研究物体的运动速度是连续渐 进地变化, 而工程实际中常遇到如打桩、 锻造、粉碎等过程中出现这样的现象:,物体受其它物体作用在非常短促的 时间内速度突然发生有限的变化,碰撞Impact/collision,碰撞力Impact force/,物体碰撞过程中的相互作用力,瞬时力Instant force,由于碰撞力作用时间很短，又称,碰撞特征,过程历时短暂(1/10001/10000s),速度变化有限,加速度很大碰撞力巨大(可使坚硬的物体变形),利弊,引

22、起机械构件损坏, 造成事故,利用碰撞产生的巨大碰撞力有效工作, 如打桩机、锻造机、粉碎机,碰撞过程有能量损失, 一般不用动能定理.,2.解决碰撞问题的定理,碰撞力变化规律复杂难测,一般用其对碰撞时间的积累效应即冲量或冲量矩 故一般避开碰撞过程，采用动量定理和动量矩定理的积分形式即,冲量矩定理Theorem of moment of impuls,冲量定理Theorem of impuls,或,和,3.碰撞问题的简化,基于碰撞特征,非碰撞力冲量忽略不计(远远小于碰撞力) 系统总动量守恒,物体的位移忽略不计（s=v* t0),有限,很小,16-2 对心正碰撞 恢复系数与能量损失,一.对心正碰撞,1

23、碰撞直线Straight line of collision,两碰撞物体最先接触的点的公法线,2对心正碰撞Central collision,两物质心和质心速度矢均在碰撞直线上 的碰撞。 否则,斜碰撞Oblique collision,m1,M1;m2,M2两球对心正碰撞,M1,C1,M2,C2,碰撞前,v1,v2,碰撞后,u1,u2,两球为质点系, 过程动量守恒, 轴n上, 有,碰撞 直线,n,碰撞过程中借助于相互碰撞力发生了机械运动传递, M1 损失的动量等于 M2增加的动量, 而质点系总动量不变.,或,3碰撞过程两个阶段：,压缩阶段:过程开始，受压最大变形两物同速u,u,压缩,恢复,恢复

24、阶段:最大变形分离恢复各自速度运动，过程结束,-I,I,二.恢复系数及碰撞分类,若已知v1,v2。求u1,u2. 一方程解不 出，还需考虑材料性质及物体变形,材料不同, 恢复程度不同. 试验观察结果表明,恢复程度取决于,碰撞后与碰撞前两物体的相对速度的比值,恢复系数 Recovery coefficient,完全弹性碰撞Perfect elastic collision两物可完全恢复原状,弹性碰撞Elastic collision两物不能完全恢复原状,塑性碰撞或非弹性碰撞Plastic collision or Imperfect elastic collision,两物不分离，同 速共动,

25、物无弹性, 不能恢复原状,由(1)(2)和冲量定理解得，碰后两球速度,平均碰撞力,球受碰撞冲量,碰撞时间,注意上述速度和冲量方向在碰撞 直线上, 为代数量,而对斜碰撞, 应 是在碰撞直线上的投影.,例16-1 恢复系数测定法之一: 图示待测两种材料分别制成的 小球和固定的平板, 球由高H处自由下落与板正碰撞后,反弹 最大高度为h.求两种材料的碰撞恢复系数.,解:,撞 前,v,撞 后,u,设向上为正, 则,板不动,即,则,例16-2 恢复系数测定法之二: 图示小球以与固 定平板法向成角 (入射角)的入射速度v与板碰 撞后,以与板法向成角(反射角)的反射速度u反 弹. 求两种材料的碰撞恢复系数.,

26、解: 设板光滑,则碰撞前后动量轴上守恒, 有,板不动,即,则,例16-3 恢复系数测定法之三: 待测材料制成的质量分别为m1 和m2大小相等的两个小球,用等长的细绳悬挂,将一球拉过 偏角后静止释放,对心正碰撞撞击另一球摆动最大偏角.求 两球的碰撞恢复系数.,解: 由动能定理知,则碰撞前两球的速度,(1),碰撞后两球的速度,(2),碰撞过程中系统动量守恒,解得,(3),由(1)(2)(3)式,得,三.碰撞过程中的能量损失,由上两物质点系碰撞过程始末动能,碰撞过程系统动能损失,1完全弹性碰撞,系统无动能损失或碰撞过程中动能守恒.,2塑性碰撞,第二物塑性碰撞开始静止, 系统动能损失与两物质量比有关：

27、,锻压, 砧重锤轻, T变形吸收越充分,打桩, 锤重桩轻, T1 T2桩吸收锤动能充分,k,T . k=1, Tmin; k=0, Tmax,例16-4 锤质量m1, 锻件与砧质量共m2, 恢复系数k.求锻打效率.,解: 碰撞为对心正碰撞,由能量损失公式,有,初动能即锤的动能,锻件变形吸收系统 能量(T)占碰撞 初动能的比值,锻打 效率：,m1/m2,k , . 这就是大砧小锤以及趁热打铁的道理.,例16-5 锤质量m1, 桩质量m2, k=0.求打桩效率.,解: 碰撞为对心正碰撞,k=0.,初动能即锤的动能,由能量损失公式,有,打桩效率,桩钻入地中吸收的系统 能量(碰撞剩余 能量)占碰撞初动

28、能的比值,m2/m1, . 这就是 大锤小桩的道理,e.x.16-3,4 ,5,7,上节仅涉及质点或刚体平动的情况，那么,16-3 碰撞对定轴转动刚体的作用与撞击中心,一、转动刚体的冲量矩定理,始,末,或,二.碰撞对转动刚体的作用,M,C,a,x,轴O质量对称面 Symmetry plane of mass内,O,I,A,h,y,Ix,Iy,冲量定理,冲量矩定理,解得,三.撞击中心,工程应用材料冲击试验机/枪弹速度测定冲击摆/锤式破碎机等. 其反冲量可使机件损坏, 缩短寿命，应避免之。为此,撞击中心Impact center,使轴承碰撞反冲量为零的外冲量作用点,反冲量为零的条件,例16-6 由

29、装满沙土的筒制成的质量为M的射击摆,对于水平轴 O的转动惯量为JO, 质心C到轴的距离为h,质量m的枪弹在距轴 a的位置水平射入砂筒, 使摆绕轴转过一转角. 求枪弹的速度,解: 系统:,碰撞前 v,碰撞后 ,外冲量对轴之矩为零,碰撞结束后到,动能定理,解得,入筒前子弹速度,例16-7 质量M的均质杆,长2a,绕水平轴O转动.杆由水平位置静 止落下, 撞上质量m的物块,恢复系数为k,求轴承反冲量和撞击 中心的位置.,解: 杆:,落下过程，由动能定理,碰撞过程,2,I,由冲量矩定理,解得,Iy,Ix,由冲量定理,解得,撞击中心位置,16-4 碰撞对平面运动刚体的作用,一般为偏心斜碰撞Non-central oblique collision,问题较为复杂,为此,E,D,A,B,x,y,都在质量对称面(图形)内,m,垂直于图形 的质心轴,Cz,A,D,x,y,Cz,I,碰撞始末,0，,冲量(矩)定理,恢复系数,例16-8 1m1m1m正立方形箱子质量m=200kg,对垂直于图 面的质心轴C的回转半径=0.4m, 平动铅锤落下时,一边与地 面相撞,碰撞初v=5m/s, BD边与地面成15,k