4.2代数稳定判据.ppt

1、4.2 代数稳定判据,上面得到了系统稳定的充分必要条件，但直接检查系统的全部特征根是否都在复平面左半部，或者是否都在复平面的单位圆内是很困难的。本节介绍代数稳定判据，从特征方程的系数之间的关系，判别系统稳定性。,4.2.1 线性连续系统的代数稳定判据,1. 劳思稳定判据 设系统的特征方程为: (4.22) 劳思（Routh）稳定判据是利用劳思表第一列数的符号变化判别系统的稳定性。劳斯表构成如下：,表中 直至其余全为0。,直至其余全为0。,直至其余全为0。,在列劳思表时，为了简化运算，可以用一个正数遍乘同一行中的所有元素，不影响判别结果. 劳思稳定判据：系统稳定的充分必要条件是劳思表的第一列数的

2、符号相同。而且，系统正实部特征根的个数等于劳思表第一列数的符号变化次数.,例4.2 已知系统的特征方程为： 用劳思稳定判据判别系统稳定性。 解：劳思表的构成如下：第一列数符号相同，故系统稳定。,例4.3 已知系统的特征方程为: 用劳思稳定判据判别系统稳定性。 解：显然特征方程系数的符号不相同,不满足稳定的必要条件,所以系统是不稳定的. 下面用劳思判据判别系统稳定性，不仅得到相同的结论，而且可以确定有几个不稳定的特征根。劳思表构成如下：,因为劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定的，有2个特征根在右半S平面。 在列劳思表时，可能遇到一种特殊情况：劳思表中某一行的第一列数为0，其余不全为0。

3、这时可以用一个很小的正数（也可以是负数）代替这个0，然后继续列劳思表。,例4.4 已知系统 的特征方程为 用劳思稳定判据判别系统稳定性。 解 劳思表构成如下：,因为 是一个很小的正数，所以 ，因此劳思表第一列数符号变化2次，所以系统是不稳定的，有2个特征根在右半S平面。 在列劳思表时，还可能遇到另一种特殊情况：劳思表中某一行的数全为0。这时可以用上一行的数构成所谓辅助多项式，将辅助多项式对变量s求导，得到一个新的多项式，然后，用这个新多项式的系数代替全为0这一行的数，继续列劳斯表。,设劳思表中 行全为0， 行的数分别为 , , 等，则辅助多项式为 （4.23) 对 s求导得 （4.24） 则

4、行的系数分别替换为 , , , 。,，,劳思表中出现某一行的数全为0，表明系统存在对称于原点的特征根。就是说，系统特征根中或者存在两个符号相反、绝对值相等的实根；或者存在一对共轭纯虚根；或者存在实部符号相反、虚部数值相等的两对共轭复根；或者上述几类根同时存在。 对称于原点的所有特征根都可以通过求解辅助方程得到，而且，辅助方程的根都是对称于原点的所有特征根。正因为如此，辅助方程或多项式的最高幂次总是偶数，等于对称于原点的特征根的个数。,例4.5 已知系统的特征方程为 ： 用劳思稳定判据判别系统稳定性。 解 劳斯表构成如下：,因为劳思表第一列数符号变化1次，所以系统是不稳定的，有1个特征根在右半S

5、平面。 求解辅助方程 ： 可得系统对称于原点的特征根为 , . 应用劳思判据可以确定保证系统稳定的系统参数取值范围，这在系统设计中是很有用的。下面举例说明。,例4.6所示的系统，其中， ， ，确定保证系统稳定的参数 的取值范围。 解 系统的开环传递函数为： 特征方程为：,图4.3 例4.6控制系统,劳思表构成如下： 由劳思稳定判据，系统稳定的充分必要条件为： 1. 2. 解上面的不等式，保证系统稳定的参数的取值范围为 .当 时，系统临界稳定。,1,2. 赫尔维茨稳定判据 设系统的特征方程为: (4.25) 不失一般性，设 .因为当 时，只要用-1乘以式（4.25）的两边，即可满足假设条件。构造

6、赫尔维兹（Hurwitz）行列式如下:,注意到, 阶系统的赫尔维兹行列式 的主对角线上的元素依次为 ，每列元素是以主对角线元素为基准，往下按注脚递减的顺序排列，往上按注脚递增的顺序排列，凡是注脚大于 或小于零的系数均为零。而低阶赫尔维兹行列式 是的各阶顺序主子式。 赫尔维兹稳定判据：系统稳定的充分必要条件是 ， 。,3 李纳德-戚帕特稳定判据 李纳德-戚帕特（Lienard Chipart）证明，在特征多项式系数为正的条件下，若所有奇数阶赫尔维兹行列式均为正，即 ， ，则所有偶数阶赫尔维兹行列式也为正，即 ， ，反之亦然。所以，有下列李纳德-戚帕特稳定判据。 李纳德-戚帕特稳定判据：设特征多项

7、式系数全为正，则系统稳定的充分必要条件是: （若为奇数)(4.27a) （若为偶数)(4.28b),例4.7 推导二阶系统稳定的条件。 解 :设二阶系统的特征方程为: 由李纳德-戚帕特稳定判据，系统稳定的充要条件是: , , , 解得 : 。所以，二阶系统 稳定的条件是特征多项式的系数全为正,或者全为负。,例4.8 推导三阶系统稳定的条件。 解 : 设三阶系统的特征方程为: 由李纳德-戚帕特稳定判据，系统稳定的充要条件是: 解得: 所以，三阶系统稳定的条件是特征多项式的系数全为正，并且 用赫尔维兹稳定判据也得到同样的结果。,4. 劳思判据与赫尔维兹判据的关系 劳思判据与赫尔维兹判据虽然是独立提

8、出的，但本质上是一样的。劳思表的第一列元素 和赫尔维兹行列式 的关系是： 因此，在 的情况下，如果所有的赫尔维兹行列式为正值，那么，劳思表的第一列元素必大于零，反之亦然。,4.2.2 线性离散系统的代数稳定判据,判别离散系统稳定性的代数方法有：朱利（Jury）判据和舒尔科恩(Schur-Cohn)判据。这些方法和连续系统中的劳斯、赫尔维兹判据很相似。 设系统的特征方程: (4.28),1. 朱里稳定判据不失一般性,设系统特征方程（4.28）中 。列表：,其中 (j=0,1,2,) 上面表中,第一行依序排列特征方程的系数 到 ，然后以反向次序记入第二行。以后各行用二阶列式计算，然后再以反向次序记

9、入下一行。当行只有三个数时，这个表就构成了。,朱利稳定判据:线性离散系统稳定的充分必要条件为：,朱利判据中的列表类似于劳思判据中的列表，但朱利判据不能说明有多少特征根在单位圆外。朱利判据中列表虽然比较麻烦，但往往可以在列表之前先检验 的符号,或者 的符号，或者是否满足 。这三个条件只要有一个不满足，系统就是不稳定的。但如果都满足，系统可能是稳定的，也可能是不稳定的，还需要通过列表检查后面的条件是否满足来确定。这个方法类似于连续系统中先检验特征多项式 的各项系数的符号是否一致。,例4.9 已知系统的特征方程为: 判别系统稳定性。 解 :因为 ，不满足 的条件， 或者因为 ，不满足“当n为偶数，

10、”的条件，所以，该系统不稳定。,例4.10 已知系统的特征方程为: 判别系统稳定性。 解 : 因为 D(1)=5.70，D(-1)=-0.10, ，所以满足朱利判据的前三个条件，下面再列表检验是否满足后面的条件：,可见，也满足约束条件 , 所以，该系统是稳定的。,2舒尔-科恩稳定判据 定义行列式 如下： 其中， 和 为共轭复数，对于实系数特征方程， (i=0,1,2,n)。,舒尔-科恩稳定判据:线性离散系统闭环特征根在单位圆内的个数,等于序列 符号变化的次数。离散系统稳定的充分必要条件是序列 的符号变化n次，即,例4.11 已知系统的开环Z传递函数为: 判别闭环系统的稳定性。 解: 闭环特征方

11、程为: 可见，满足系统稳定的充分必要条件，所以，系统是稳定的。,3. 修正劳思稳定判据 连续系统的分析、设计方法是基于S平面的，系统的稳定边界是S平面的虚轴。由于离散系统的稳定边界是Z平面上以原点为圆心的单位圆，所以，不能直接用连续系统的分析、设计方法。如果通过一个变换，将Z平面的单位圆内部变换到一个新的复平面W的左半平面，而将Z平面的单位圆外部变换到新的复平面W的右半平面，Z平面的单位圆周变换到新的复平面W的虚轴，如图4.4所示，则可以在W平面上，利用连续系统的分析与设计方法来分析与设计线性离散系统。,具有上述功能的最简单、最常用的变换是双线性变换。双线性变换可以表达为: (4.30a ) 或者 (4.30b） 双线性变换也可以取为: （4.31）,离散系统的Z域特征方程D(z)=0经过双线性变换后,得到W域的特征方程,记为D(w)=0。显然，判别系统稳定性，即判别D(z)=0的根是否都在Z平面的单位圆内，等价于判别D(w)=0的根是否都在W平面的左半平面。可以采用劳思、赫尔维兹等稳定判据判别D(w)=0的根是否都在W平面