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文档简介
1、,第四节,一、立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,重积分的应用,第十章,1. 能用重积分解决的实际问题的特点:,所求量是,对区域具有可加性, 用微元分析法 (元素法)建立积分式,分布在有界闭域上的整体量,3. 解题要点:,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算尽可能简便,2. 用重积分解决问题的方法:,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,例1. 求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的体积.,解: 在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,设曲面的方程为：,如图，,二、曲
2、面的面积,（曲面S的面积元素）,注：曲面面积公式,若曲面的方程为：,曲面面积公式为：,若曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,解：,例3. 计算双曲抛物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xOy 面上投影为,则,出的面积 A .,三、质心, 对 x 轴的静矩, 对 y 轴的静矩,当薄片是均匀的，质心称为形心.,同理可得,设物体占有空间域 有连续密度函数,其质心 公式：,例4. 求位于两圆,和,的质心.,解: 利用对称性可知,而,之间均匀薄片,四、转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数,物体 对 轴 的转动惯量:,例5.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径,解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量,的转动惯量.,G 为引力常数,五、物体的引力,设物体占有空间区域 ,物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为,其密度函数,引力元素在三坐标轴上分量为,其中,若求 xOy 面上的平面薄片D,对点P0处的单位质量质点,的引力分量,因此引力分量为,则上式改为D上的二重积分, 密度函数改为,即可. 例如,其中:,例6.,设面密度为 ,半径为R的圆形薄片,求它对位于点,解: 由对称性知引力,处的单位质量质点的引力.,。,例7
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