导数的几何意义 (3)

1、,3.1.3 导数的几何意义,平均变化率,函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:,平均变化率的几何意义： 割线的斜率,导数的概念, 求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步驟是:,问题1 平面几何中我们是怎样判断直线是否 是圆的割线或切线的呢？,问题2 如图直线l1是曲线C的切线吗? l2呢?,思考:切线应该怎么定义,下面来看导数的几何意义:,如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM/x轴,QM/y轴,为PQ的 倾斜角.,斜率!,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近

2、时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,动态演示,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.,注：曲线的切线,并不一定与曲线只有一 个交点, 可以有多个,甚至可以有无穷多个., 表示什么？,思考,已知曲线y=f(x)上两点，,根据切线定义可知： ， 割线 切线 ，那么割线 的斜率 ？,结合 ，割线 切线 ， 则切线 的斜率 可以表示怎么表示？,斜率!,

3、在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率有何联系？,（二）导数的几何意义：,函数 在 处的导数就是曲线在点(x0,f(x0)处的切线的斜率 ， 即：,曲线在点(x0,f(x0)处的切线的方程为：,因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: 求出切点P的坐标； 求切线的斜率，即函数y=f(x)在x=x0处的导数； 利用点斜式求切线方程.,例2.试求过点 且与曲线 相切直线方程,求过点P与曲线相切的直线方程的步骤：,1设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线() A不存在B与x轴平行

4、或重合 C与x轴垂直 D与x轴斜交 答案：B,2已知曲线y2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为() A4 B16 C8 D2,C,3曲线y2x21在点P(1,3)处的切线方程为_ 答案：4xy10,4已知曲线y3x2，求在点A(1,3)处的曲线的切线方程,例2 如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,的图象. 根据图象, 请描述、比较,曲线 在 附近的变化情况.,t4,t3,例2,解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况.,(1)当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.

5、故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.,(2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h(t1) 0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减.,(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h(t2) 0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减.,从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明 h(t) 曲线在 l1 附近比在 l2 附近下降得缓慢,血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度,从图象上看

6、,它表示,曲线在该点处的切线的斜率.,函数f(t)在此时刻的导数,（数形结合，以直代曲）,以简单对象刻画复杂的对象,抽象概括：,是确定的数,是的函数,导函数的概念：,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,什么是导函数?,由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:,f (x0)与f (x)之间的关系：,1、y=f /(x)是y=f(x)的导函数,注意：,2、f /(x0)是y=f(x)在点x0处的导数值,也即f (x)在点x0处的函数值,（是一个函数）,（是一个常数）,如何求函数y=f(x)

7、的导数?,看一个例子:,例5.已知 ,求,归纳小结,通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结论?,(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替； (2)函数的单调性与其导函数正负的关系 ； (3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系 .,练习1：在例2中，描述函数 h(t) 在t3和t4附近增（减） 以及增（减）快慢的情况。,练习2,（2）曲线,在点P（1，3）处的切线方程为（ ）,A,B,（1）如果曲线,在点,处的切线方程为,，那么（ ）,A,B,不存在,小结:,2.导数的几何意义,3.求切线方程的步骤,1.曲线切线的定义,1、了解切线的概念,掌握切线斜率是一种特殊的