大学高等几何课件

1、高等几何多媒体课件,教师授课助手 学生自修向导,课 程 概 论,一、高等几何的内容,高等几何,数学与应用数学专业主干课程之一,前三高,数学分析,高等代数,高等几何,后三高,实变函数,近世代数,点集拓扑,高等几何,射影几何,几何基础,本课程,主要介绍平面射影几何知识(教材前五章),综合大学：空间解几仿射几何、射影几何, 一个学期,课 程 概 论,一、高等几何的内容,什么是射影几何？,直观描述,欧氏几何,仿射几何,射影几何,十九世纪名言,一切几何学都是射影几何,鸟瞰下列几何学,欧氏几何(初等几何),研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数量,搬动,正交变换,对图形作有限次的平移、旋转、轴反射的结果

2、,欧氏几何,研究图形的 正交变换不变性的科学,(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等),仿射几何,平行射影,仿射变换,仿射几何,研究图形的 仿射变换不变性的科学,透视仿射变换,有限次平行射影的结果,仿射不变性,比如平行性、两平行线段的比等等,射影几何,中心射影,射影变换,射影几何,研究图形的 射影变换不变性的科学,透视变换,有限次中心射影的结果,射影不变性,比如几条直线共点、几个点共线等等,射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！,课 程 概 论,一、高等几何的内容,二、高等几何的方法,综合法,给定公理系统(一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统)，演绎出全部内容,解析法,形、数结合，利用代

3、数、分析的方法研究问题,本课程,以解析法为主，兼用综合法,课 程 概 论,一、高等几何的内容,二、高等几何的方法,三、开课目的,学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想,训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养,新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他学科，提高观点，加深理解，举一反三,四、几何的发展历史线索,射影几何学是一切的几何学 英 Cayley,经验几何,（远古元前600年）,（元前600年 400年）,积累了丰富的经验，但未上升成系统理论,埃及几何跟希腊逻辑方法相结合，以抽象化、逻辑化为特点,画法几何,解析几何 (17世纪),仿

4、射几何,（坐标法）,代数几何,代数法,微分几何 (19世纪),（分析方法）,射影几何 (19世纪),（综合法、爱尔兰根纲领代数法）,特例,应用,四、几何的发展历史线索,非欧几何,（19世纪）,四、几何的发展历史线索,拓扑学,（几何与代数、分析相结合，多样化发展）,分形几何,周学时3，一个学期，学习第一章第六章,五、课程简介,主要参考书： 梅向明、门淑惠等编高等几何,高等教育出版社出版，2008年; 朱德祥、朱维宗等编高等几何（第二版）,高等教育出版社出版，2010年; 罗崇善编高等几何,高等教育出版社出版,1999年6月； 朱德祥、李忠映、徐学钰等编高等几何习题解答。,第一章 仿射坐标与仿射变

5、换,本章地位,学习射影几何的基础,本章内容,阐明仿射变换的概念，研究仿射变换的不变量与不变性质。,学习注意,认真思考，牢固掌握基本概念，排除传统习惯干扰,透视仿射对应,一、概念,与b交于,1、同一平面内两直线a到b间的透视对应，设L为平面上另外一直线,a与 b不平行。过a上的点 作与L平行的直线,即得a到b的一个一一映射，,称为透视仿射对应。,注：透视仿射对应与L的方向无关。若a与b相交，交点称为自对应点。,第一章、仿射坐标与仿射变换,两条直线间的透视仿射对应,L,a,b,第一章、仿射坐标与仿射变换,两个平面间的透视仿射对应,M,A,B,C,A1,B1,C1,L,第一章、仿射坐标与仿射变换,2

6、、定义,P1,P2,P,第一章、仿射坐标与仿射变换,称,2). 符号,(P1P2P)表示一个数, 是有向线段P1P与P2P的比值, 与解几中的定比分点反号.,3）.与定比的区别, 1 透视仿射对应,二性质,3保平行性,2保单比不变, 1 透视仿射对应,1保同素性和结合性,第一章、仿射坐标与仿射变换,第二节、 仿射对应与仿射变换,一、概念,设同一平面内有n条直线，,如下图,是,的透视仿射对应,经过这一串对应，得到,的透视仿射对应，,这个对应称为,的仿射对应。,记作：,如图所示：,第一章、仿射坐标与仿射变换,如图,第一章、仿射坐标与仿射变换,二、性质,为什么？,第一章、仿射坐标与仿射变换,（1）保

7、持同素性和结合性；,（2）保持共线三点的单比不变；,（3）保持直线的平行性不变。,注：仿射对应下，对应点的连线不一定平行。,反之，若两个平面间的一个点对应（变换）保持同素性、结合性和共线三点的单比不变，则这个点对应（变换）称为仿射对应（变换）,例、平行四边形经仿射（对应）变换仍变为平行四边形,例、两平行线段之比经仿射对应不变,例、仿射对应保持平形性不变,第一章、仿射坐标与仿射变换,第三节、仿射坐标系,第一章、仿射坐标与仿射变换,第一章、仿射坐标与仿射变换,仿射变换的坐标表示,已知仿射坐标：仿射变换为:T 变换将 ： 且,第一章、仿射坐标与仿射变换,平行四边形 变为平行四边形 ，且保持单比不变，

8、故 在坐标系 中的坐标为 (x,y),o,o/,p,p/,px,py,px/,py/,x,y,y/,x/,第一章、仿射坐标与仿射变换,一方面 ：,另一方面： 所以：,第一章、仿射坐标与仿射变换,例 已知三点 求仿射变换T使顺次变为 .,练习：1、求使直线 分别变为 的仿射变换。 2、已知仿射变换 求点 的像点，及直线 的像直线。,第一章、仿射坐标与仿射变换,复习仿射坐标及代数表示式,正交变换 位似变换,第一章、仿射坐标与仿射变换,相似变换 压缩变换,第一章、仿射坐标与仿射变换,第四节、仿射性质,一、定义：图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（量）,第一章、仿射坐标与仿射

9、变换,同素性，结合性，平行性是仿射性质。 单比是仿射不变量。,证明：两平行直线经过仿射变换后仍变为平行直线,证明：设变换为：T:,第一章、仿射坐标与仿射变换,例,二、重要结论：,1、两相交直线经仿射变换后仍为相交直线。,第一章、仿射坐标与仿射变换,2、共点直线仍变为共点直线,3、两平行线段之比是仿射不变量。,4、两三角形面积之比是仿射不变量 （证明见课本）,5、两个多边形面积之比是仿射不变量6、两封闭图形面积之比是仿射不变量,例、求椭圆的面积,A,B,C,O,D,第一章、仿射坐标与仿射变换,设在笛卡尔直角坐标系下椭圆方程 为,：,第一章、仿射坐标与仿射变换, 2.1 射影平面,一、中心射影,1

10、、平面上两直线间的中心射影,定义1.22,因此 ，1: l l是 l 到 l 的中心射影,OP 投射线,P l 上的点P在l上的像,P l 上的点P在l上的像,OV/l, 与l不相交， V为l上的影消点,影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个一一对应!,X=ll 自对应点,OU/l, 与l不相交， U为l上的影消点,三个特殊点：, 2.1 射影平面,一、中心射影,2、平面到平面的中心射影,定义1.23,OP 投射线,P 上的点P 在上的像,P 上的点P在上的像,因此 ，,是到的中心射影,自对应直线(不变直线),三条特殊的线：,， u为由影消点构成的影消线,， v为由影消点构成的影消线,影

11、消线的存在导致两平面间的中心射影不是一个一一对应, 2.1 射影平面,一、中心射影,1、平面上两直线间的中心射影,定义1.22,2、平面到平面的中心射影,定义1.23,均不是一一对应,中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线,存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点,如何使得中心射影成为一一对应？,给平行线添加交点！,一、中心射影,二、无穷远元素,目标：,改造空间，使得中心射影成为双射,途径：,给平行直线添加交点,要求：,不破坏下列两个基本关系,两条相异直线确定惟一一个点(交点),两个相异点确定惟一一条直线(连线),点与直线的关联关系, 2.1 射影平面, 2.1 射影平面,二、无穷远元

12、素,约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上添加的无穷远点不同.,区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P,约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l,区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l,总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应., 2.1 射影平面,理解约定1.1(1), (2),1、对应平面上每

13、一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.,2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.,3、平面上添加的无穷远点个数过一个通常点的直线数.,4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：,两直线,平 行,不平行,交于惟一,无穷远点,有穷远点,平面上任二直线总相交,5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点.,6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点., 2.1 射影平面,理解约定1.1(3),1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.,2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该

14、直线上的无穷远点.,3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.,4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：,两平面,平 行,不平行,交于惟一,无穷远直线,有穷远直线,空间中任二平面必相交于唯一直线, 2.1 射影平面,三、射影平面,定义 通常点和无穷远点统称拓广点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿射直线)； 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).,定理 在拓广平面上, 点与直线的关联关系成立： (1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线； (2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.,(1) 拓

15、广直线的封闭性,拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点,四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型,欧氏直线：向两个方向无限伸展,1、拓广直线(射影仿射直线), 2.1 射影平面,(2) 拓广直线的拓扑模型, 2.1 射影平面,(3) 射影直线上点的分离关系,欧氏直线：一点区分直线为两个部分。,射影直线：一点不能区分直线为两个部分。,欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。,射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。,点偶A,B分离点偶C,D,点偶A,B不分离点偶C,D, 2.1 射影平面,(i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域,任一直线不能划分射影平面为两个不同的区域,(ii) 两条相交直

16、线划分欧氏平面为四个不同的区域,两条相交直线划分射影平面为两个不同的区域,在射影平面上，可以证明：,I，II为同一区域,III，IV为同一区域,2、射影平面(射影仿射平面),四、射影直线、射影平面的基本性质及模型,(1) 射影平面的封闭性(从两个方面理解),2、射影平面(射影仿射平面),四、射影直线、射影平面的基本性质及模型,射影平面的封闭性, 2.1 射影平面, 1.4 Desargues透视定理,一、Desargues透视定理,一个古老、美丽、实用的重要定理！,1、两个三点形的对应关系,若两个三点形对应顶点的连线共点，则称这对对应三点形具有透视中心，透视中心也称为Desargues 点.,

17、若两个三点形对应边的交点共线，则称这对对应三点形具有透视轴，透视轴也称为Desargues 线.,问题,请问你是怎样画出这两个图的？,画图过程演示,一、Desargues透视定理,1、两个三点形的对应关系,2、Desargues透视定理,定理,(Desargues透视定理及其逆),注1、满足Desargues定理的一对三点形称为透视的三点形., 1.4 Desargues透视定理,证明,Desargues定理画图过程演示,一、Desargues透视定理,2、Desargues透视定理,注2、关于Desargues构图. 左图表示了一对透视的三点形ABC, ABC.,左图中共有10个点、10条直

18、线，过每个点有三条直线；在每条直线上有三个点. 这10点, 10线地位平等，此图称为Desargues构图., 1.4 Desargues透视定理,分析：为证X, Y, Z三点共线, 试在图中找出一对对应三点形, 具有透视中心，且对应边的交点恰为X, Y, Z.,二、应用举例,1、证明共线点与共点线问题,由题给, X, Y, Z分别为三对直线的交点, 此三直线涉及到六个字母, 试,例1 在欧氏平面上, 设ABC的高线分别为AD, BE, CF. 而BCEF=X, CA FD=Y, ABDE=Z. 求证：X, Y, Z三点共线.,所以, 由三点形ABCDEF的对应即得结论., 1.4 Desar

19、gues透视定理,二、应用举例,1、证明共线点与共点线问题,分析：因为R是动点，作R的另一个位置R. 得到P, Q, 设PQ, PQ交于C.只要证明A, B, C三点共线.,由OX, OY, OZ共点于O, 只要找到一对对应三点形，其三对对应顶点分别在OX, OY, OZ上, 且三双对应边交点恰为A, B, C即可.,如图，PQR, PQR正是所需.,例2 设OX, OY, OZ为三条定直线, A, B为定点, 其连线经过O. R为OZ上的动点, 直线RA, RB分别与OX, OY交于P, Q. 求证：PQ经过AB上的一个定点., 1.4 Desargues透视定理,二、应用举例,1、证明共线

20、点与共点线问题,证明：考察三点形PQR与ABC，它们有透视中心S，从而它们有透视轴，即A1, B1, C1三点共线.,引申：同理可证,例3 已知完全四点形PQRS, 其对边三点形为ABC. 设A1=BC RQ, B1=AC RP, C1=AB PQ. 求证：A1, B1, C1三点共线., 1.4 Desargues透视定理,二、应用举例,1、证明共线点与共点线问题,证明：设动点P的另一个位置为P, 依题意作图, 得交点X, Y.,考察三点形AXX与BYY, 因为其对应边的交点P, C, P共线，所以其对应顶点的连线AB, XY, XY共点, 此点为AB上的定点.,例4 设A, B, C为不共

21、线三点, P是过C的定直线上的动点, AP BC=X, AC BP=Y. 求证：XY经过定点.,思考：考察三点形PXY与PXY进行证明.,思考：本题实际上与例2为同一个题目！, 1.4 Desargues透视定理,二、应用举例,1、证明共线点与共点线问题,证明：考察三点形ZBC和YLM, 有透视轴A, X, D. 即得结论.,2、不可及点的作图问题,注：从现在开始，凡作图问题，均指仅用无刻度直尺作图.,例5 设XYZ为完全四点形ABCD的对边三点形, XZ分别交AC, BD于L, M. 求证：YZ, BL, CM共点.,思考：还能有其他方法吗？, 1.4 Desargues透视定理,二、应用举

22、例,2、不可及点的作图问题,例6. 已知平面上二直线a, b, P为不在a, b上的一点. 不作出a, b的交点a b, 过P求作直线c, 使c经过a b.,解. 作法：,(1). 在a, b外取异于P的一点O.,过O作三直,线l1, l2, l3.,设l1, l2, 分别交a, b于A1, A2; B1, B2.,(2). 连PA1, PB1分别交l3于A3, B3.,(3). 连A2A3, B2B3交于Q.,(4). PQ=c为所求直线.,证明：由作法，三点形A1A2A3, B1B2B3有透视中心O. 故其对应边的交点P=A1A3 B1B3, Q=A2A3 B2B3以及a b三点共线，即c

23、=PQ经过a, b的交点.,注：解作图题必须包括作法、画图、证明三部分！, 1.4 Desargues透视定理,引入目的,实现数、形结合，用解析法研究射影几何,基本要求,既能刻画有穷远点，也能刻画无穷远点,基本途径,从笛氏坐标出发，对通常点与笛氏坐标不矛盾,主要困难,来自传统笛氏坐标的干扰,必须注意,齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于齐次性，因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用线性代数知识。 尽管针对拓广平面, 但是今后通用,齐次性问题,几乎无处不在的非零比例常数和比例关系,二、齐次点坐标,定义2.1,有穷远点,无穷远点,非齐次,齐次坐标,关系,注,对一维齐次点坐标定义的进一步理解, 2 齐

24、次坐标,1. 一维齐次点坐标,(x1, x2) (x20),x,x= x1 / x2,(x1, 0) (x10),(1).,都有齐次坐标,反之，,都对应唯一一点,(0, 0)不是任何点的齐次坐标.,(2).,与,是同一点的齐次坐标. 因此，,直线上每个点都有无穷多个齐次坐标，同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数.,(3).,原点：(0, x2), 特别地，(0, 1).,无穷远点：(x1, 0), 特别地，(1, 0).,二、齐次点坐标,2 齐次坐标,1. 一维齐次点坐标,注：定义2.1没有解决无穷远直线的问题.,引入,可视为,P为,通常点,无穷远点,设 li: Ai x+Bi y

25、+Ci=0 (i=1, 2). 记 |AB| 表示,(1). P为通常点，,设 P(x, y). 则,令|BC|=x1, |CA|=x2, |AB|=x3. 则,从而 x : y : 1=x1 : x2 : x3. 于是, 可以把与(x, y, 1)成比例的任何有序实数组(x1, x2, x3)作为点P的齐次坐标.,2. 二维齐次点坐标, 2 齐次坐标,同样有|BC|, |CA|.,引入,(2). P=P, l1 / l2. 即P为l1, l2方向上的无穷远点.,目标：,构造P的齐次坐标，使之仅与l1, l2的方向(斜率)有关.,因l1 / l2. 故前述x3=0.考虑取(x1, x2, 0)

26、为P的齐次坐标. 只要证明x1, x2仅与li的方向(斜率)有关.,当li不平行于y轴时，即x10. 不难证明,其中为li的斜率, 即(x1, x2, 0)表示方向为的无穷远点. 特别地, 若x2=0, 则表示x轴上的无穷远点.,当li平行于y轴时， =. 可合理地取(0, x2, 0) (x20)为y轴上无穷远点的齐次坐标.,引出定义,2. 二维齐次点坐标,2 齐次坐标,定义2.2,有穷远点,方向为 =x2/x1的无穷远点,非齐次,齐次坐标,关系,注,对二维齐次点坐标定义的进一步理解,y轴上的无穷远点,2. 二维齐次点坐标, 2 齐次坐标,(x, y),x = x1 / x3, y = x2

27、 / x3,(x1, x2, x3) (x30),(x1, x2, 0) (x10),(=x2/x1),(0, x2, 0) (x20),无穷远点,(1). 对任意的P, 都有齐次坐标(x1, x2, x3). 对于通常点x30；对于无穷远点x3=0, 但x12+x220. 反之, 任给(x1, x2, x3) (x12+x22+x320), 都对应惟一一点P. (0, 0, 0)不是任何点的齐次坐标.,(2). 对任意的0R, (x1, x2, x3)与(x1,x2,x3)是同一点的齐次坐标. 因此, 平面上每个点都有无穷多个齐次坐标, 同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数.,(

28、3). 原点：(0, 0, x3), 特别地(0, 0, 1); 无穷远点(x1, x2, 0), 若x10, 则可表为(1, , 0), 其中为该无穷远点的方向. 特别地, x轴上的无穷远点为(1, 0, 0), y轴上的无穷远点为(0, 1, 0).,2. 二维齐次点坐标, 2 齐次坐标,二、二维齐次点坐标,例 1,求下列各点的齐次坐标.,(1).,齐次坐标(一般形式),特定一组,(2).,求直线,上的无穷远点.,斜率,代入,所求无穷远点为,也就是(4, 3, 0).,上的无穷远点为, 2 齐次坐标,三、直线的齐次坐标方程,定理 2.1,在齐次坐标下，直线的方程为,(1.14),反之，(1

29、.14)表示直线. 称(1.14)为直线的齐次方程.,注：,定理2.1不仅给出了拓广平面上直线的齐次方程，还对通常直线提供了齐次、非齐次方程互化的方法., 2 齐次坐标,推论,过原点的直线的齐次方程为u1x1+u2x2=0. 特别地, x轴: x2=0, y轴: x1=0, l: x3=0.,改变一下你的几何学观点,点,直线,曲线,坐标,方程,点的轨迹,点几何学,线几何学,方程,坐标,直线族的包络,四、齐次线坐标, 2 齐次坐标,线几何学：以直线为基本几何元素去表达其他几何对象,四、齐次线坐标,1. 定义,将直线l：,中的系数称为l的齐次线坐标，记作,注1,齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代

30、数结构和性质.,注2,y轴：,x轴：,过原点的直线：,思考：注2中这些直线的齐次坐标分别与哪些点的齐次坐标相同(忽略括号差别)？,注3,由定义,方程,系数,坐标,实现互化, 故由诱导., 2齐次坐标,定理2.3 在齐次线坐标下，点x在直线u上,2. 点的齐次方程, 2 齐次坐标,定义2.5 在齐次线坐标下，若方程 f(u1,u2,u3)=0 能且仅能被过点P的直线的齐次坐标所满足，则称 f=0 为点 P 的齐次方程.,2. 点的齐次方程, 2 齐次坐标,四、齐次线坐标,注,对(1.4)的新理解.,(1.4),变 (流动),不变(常数),直线u的方程,几何意义,动点x在定直线u上；,定直线u为动

31、点x的轨迹,点几何观点,线几何观点,不变(常数),变 (流动),点x的 方程,动直线u过定点x；,定点x为动直线u的包络,因此，一般地，称(1.4)为点与直线的齐次关联关系. 点、直线统称为几何元素.,给定齐次方程,四、齐次线坐标,2. 点的齐次方程,例 2,求下列各点的齐次方程.,(1). x轴上的无穷远点,(2). y轴上的无穷远点,(3). 原点,(4). 点(1,2,2),(5). 方向为,的无穷远点,(6). 无穷远直线上的点,思考：本例中这些点的齐次方程分别与哪些直线的齐次方程形式上相同？, 2 齐次坐标,(3,1,0), 3 对偶原理,一、平面对偶原则,重要原理！ 贯穿全书！,1

32、. 基本概念,(1). 对偶元素,点,直线,(2). 对偶运算,过一点作一直线,在一直线上取一点,(4). 对偶图形,在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系,构成的图形，若对作对偶变换，则得到另一个图形. 称、 为一对对偶图形.,图形,图形,作对偶变换,互为对偶图形,(3). 对偶变换,互换对偶元素地位、作对偶运算,一、平面对偶原则,2. 基本对偶图形举例,(1) 点,(1) 直线,(2) 点列(共线点集),(2) 线束(共点线集),(3) 点场(共面点集),(3) 线场(共面线集),(4) 简单n点形：n个点(其中无三点共线)及其两两顺次连线构成的图形.,(4) 简单n线形：n条直线(其

33、中无三线共点)及其两两顺次相交的交点构成的图形.,顶点：n个；边：n条.,边：n条；顶点：n个.,下面分别考察n=3和n=4的情形, 3 对偶原理,简单n点(线)形：n=3,简单三点形,简单三线形,简单n点(线)形：n=4,简单四点形,简单四线形,显然，简单n点(线)形与其顶点(边)的顺序有关, 3 对偶原理,(5) 完全n点形：n个点(其中无三点共线)及其每两点连线构成的图形.,(5) 完全n线形：n条直线(其中无三线共点)及其每两直线交点构成的图形.,顶点：n个；,边：n条；,完全n点(线)形：n=3,完全三点形ABC,完全三线形abc,一对自对偶图形. 将不加区分, 简称三点形或三线形.

34、, 3 对偶原理,完全n点(线)形：n=4,完全四点形ABCD,完全四线形abcd,射影几何中最重要的一对图形, 3 对偶原理,完全四点形ABCD,完全四线形abcd,顶点,4个,边,6条,对边(没有公共顶点的边),3组,对边点(对边的交点),3个,对边三点形 XYZ,边,4条,顶点,6个,对顶(不在同一边上的顶点),3组,对顶线(对顶的连线),3条,对顶三线形 xyz,请课后画图，熟悉图形及名称. 今后将专门研究其重要性质,例 1,作下列图形的对偶图形,点,2个,直线,5条,关联关系,(1) P,Q在l上；,(2) a,b,l共点于P; c,d,l共点于Q,直线,2条,点,5个,关联关系,(

35、1) p,q过点L；,(2) A,B,L共线于p; C,D,L共线于q,一、平面对偶原则,2、对偶图形举例,1、基本概念,3、作一图形的对偶图形,翻译, 3 对偶原理,一、平面对偶原则,2. 基本对偶图形举例,1. 基本概念,3. 作一图形的对偶图形,4. 平面对偶原则,(1) 射影命题,在射影平面上，若命题P仅与点和直线的关联、顺序关系有关，则称P为一个射影命题.,(2) 对偶命题,射影命题P,射影命题P*,作对偶变换,互为对偶命题,(3) 平面对偶原则,定理,(平面对偶原则)在射影平面上，,射影命题P成立,射影命题P*成立, 3 对偶原理,一、平面对偶原则,2. 基本对偶图形举例,1. 基

36、本概念,3. 作一图形的对偶图形,4. 平面对偶原则,例 2,对偶命题举例,(1) P 过相异二点有且仅有一条直线.,(1) P* 两相异直线有且仅有一个交点.,(2) P 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则其对应边的交点必定共线.,(2) P* 如果两个三点形的对应边交点共线，则其对应顶点的连线必定共点.,注1,只有射影命题才有对偶命题.,注2,对偶原则是一个双射,F：,点几何,线几何,因此, 对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转化, 可以起到事半功倍的作用., 3 对偶原理,二、有关齐次坐标的基本结论,(1). 两点a, b重合,(1). 两直线a, b重合,3 对偶原理,(2)

37、. 相异两点a, b连线方程为,(2). 相异两直线a, b交点方程为,坐标为,坐标为,(3). 相异三点a,b,c共线,(3). 相异三直线a,b,c共点,(4). 点c在相异两点a,b连线上点c的齐次坐标可表示为la+mb(l,m不全为零)., 3 对偶原理,(4). 直线c经过相异两直线a,b交点直线c的齐次坐标可表示为la+mb(l,m不全为零).,二、有关齐次坐标的基本结论,注：若三点(直线)a, b, c不共线(点), 则上述矩阵满秩.,(5). 相异三点a,b,c共线存在p,q,r(pqr0)使得,即可适当选取a,b,c的齐次坐标使得, 3 对偶原理,二、有关齐次坐标的基本结论,

38、(5). 相异三直线a,b,c共点存在p,q,r(pqr0)使得,即可适当选取a,b,c的齐次坐标使得,a+b+c=0, 或 c=a+b.,a+b+c=0, 或 c=a+b.,例 3,已知共线三点 a=(3,1,1), b=(7,5,1), c=(6,4,1), 求, 使得,解,令,其中为非零比例常数.,可解得=3.于是，可适当选取 a, b, c 的齐次坐标，使得 c=a+3b., 3 对偶原理,二、有关齐次坐标的基本结论, 2.4 复元素,一、二维空间的复元素,实欧氏平面,实仿射平面,实射影平面,复射影平面,本课程不讨论复射影平面. 我们将实射影平面嵌入到复射影平面中进行讨论，即讨论带有虚

39、元素的实射影平面实-复射影平面, 2.4 复元素,一、二维空间的复元素,复点：设有一对有序复数,如果,都是实数，则,为一普通点即实点，若,或,为复数或均为复数，则规定一个新点称为复点，仍以,为其坐标。,复点的齐次坐标：,实点,规定为复点的齐次坐标。,与三个不全为零的实数成比例, 2.4 复元素,一、二维空间的复元素,同样的，对于,，当,表示普通点；,表示无穷远复点.,复直线的引入与此类似：,齐次复数线坐标,实直线,复直线,与复点坐标的引入相似,定义, 2.4 复元素,二、几点说明,比如，(i, i, i)为实点.,3、显然，实直线上可以有虚点，虚直线上可以有实点；过实点可以有虚直线，过虚点可以

40、有实直线.,复点、复直线统称复元素.,2. 4复元素,三、共轭复元素,定义1：若,为一元素（点或直线）的齐次坐标时，,为另一同类元素（点或直线）的齐次坐标，,则此二元素叫做共轭复元素。,两个元素可能在相差一个非零比例常数的前提下共轭。,注意：两个非无穷远共轭复元素，非齐次坐标必为共轭复数； 但齐次坐标不一定为共轭复数。, 2.4 复元素,四、几个结论,(3)、实直线上的点或为实点或为成对出现的共轭虚点.,(3)、过实点的直线或为实直线或为成对出现的共轭虚直线.,(4)、两共轭复点连线为实直线.,(4)、两共轭复直线交点为实点.,(5)、过一复点有且仅有一条实直线.,(5)、在一条复直线上有且仅

41、有一个实点., 2.4 复元素,五、例题：,求：(1)过点,的实直线；,(2)直线,上的实点.,解：(1)因为过点,的实直线必过其共轭复点,所以所求直线为：,即：, 2.4 复元素,(2)直线,上的实点为此直线与其共轭复直线,的交点，由方程：,解得实点为：,第三章 射影变换,本章地位,平面射影几何的核心内容之一,本章内容,在一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影不变量和不变性作初步地研究。, 3.1 交比与调和比,一、点列中四点的交比,1、定义,交比 最根本的射影不变量,定义3.1. 设P1,P2,P3,P4为共线四点，(P1P2,P3P

42、4)表示这四点,(3.1),称P1,P2为基点偶， P3,P4为分点偶.,构成的一个交比（或交叉比，复比）. 定义为：, 3.1 交比与调和比,注：(1)若点偶,不分离点偶,记作,(2)若点偶,分离点偶,记作,(3)当,重合时，,当,重合时，,一、点列中四点的交比,1.定义, 3.1 交比与调和比,显然，共线四点的交比值与这四点在交比记号中的次序有关. 改变次序一般会改变交比值.,因此，根据次序不同，共线四点可以构成,设(P1P2,P3P4 )=r. 我们来探讨这24个交比的规律.,2.交比的组合性质,性质1 设(P1P2,P3P4 )=r. 当改变这四点在交比符号中的次序,时，交比值变化规律

43、如下：,4!=24,个交比., 3.1 交比与调和比,一、点列中四点的交比,推论 由性质1，相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值：,不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！, 3.1 交比与调和比,一、点列中四点的交比,1、定义,2、性质,3、特殊情况,性质1中共线四点的交比值出现0, 1, 三者之一这四点中有,某二点相同.,性质2 一直线上的无穷远点分其上任何两点的单比等于1., 3.1 交比与调和比,定理2. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+ib(i=1,2,3,4). 则,3、特殊情况,一、点列中四点的交比,1、定义,2、性质,4、交比的代数表示,定理1. 设P1,P2,P3

44、,P4共线四点，其齐次坐标依次为a，b，,a+1b，a+ 2b. 则：,引理：已知两不同的普通点,，,为直,线AB上一点，且 ,则, 3.1 交比与调和比,证明定理2. 以P1,P2,为基点，参数表示P3,P4. 设,a+1b=a, a+2b=b.,从中解出a,b, 得,于是， P1,P2,P3,P4的坐标可表示为,即,由定理1，有,注：定理1可以作为交比的一般定义., 3.1 交比与调和比,定理3 若四个不同的共线点中的三点及其交比值为已知，,则第四点必惟一确定。,在共线四点的交比中，交比值为-1的情况在,射影几何中十分重要，称之为调和比。,3、特殊情况,一、点列中四点的交比,1、定义,2、

45、性质,4、交比的代数表示,5、调和比,定义 若(P1P2,P3P4 )= 1, 则称,推论1 若(P1P2,P3P4 )= 1, 则此四点互异.,推论2 相异四点P1,P2,P3,P4可按某次序构成调和比这四点,的6个交比值只有3个：, 3.1 交比与调和比,调和比是最重要的交比！, 3.1 交比与调和比,一、点列中四点的交比,1、定义,2、性质,3、特殊情况,4、调和比,对于(P1P2,P3P4 )= 1, 由定义可得：,此时, 若,则可合理地认为,于是,这表示P3为P1P2的中点，从而有,推论3 设P1,P2, P为共线的通常点. P为此直线上的无穷远点.则P为P1P2的中点,注：本推论建

46、立了线段的中点、调和比的联系,一、点列中四点的交比, 3.1 交比,例1. 设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点. 证明：若(12,34)=(14,32), 则(13,24)=-1.,由题设,已知四点相异, 3.1 交比与调和比,一、点列中四点的交比,1、定义,2、性质,3、特殊情况,4、调和比,5、交比的计算,(1). 由坐标求交比,例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2).,解 第一步. 验证四点共线.,第二步. 以P1, P2为基点, 用参数表示Q1, Q2. 令,i=1,2.,同理, 对于i=

47、2, 可求得,于是，,代入坐标, 可以得到, 3.1 交比与调和比,一、点列中四点的交比,1、定义,2、性质,3、特殊情况,4、调和比,5、交比的计算,(1). 由坐标求交比,(2). 由交比求坐标,例3 已知(P1P2,P3P4 )=2, P1, P2, P4的坐标依次为(1,1,1), (1,1,1), (1,0,1). 求P3的坐标.,解：设,则显然,由,可得,从而P3的坐标为(3,1,3).,一、点列中四点的交比,1、定义,2、性质,3、特殊情况,4、调和比,5、交比的计算,(1). 由坐标求交比,(2). 由交比求坐标,例4 已知P1, P2分别是x轴、y轴上的无穷远点, P3是斜率

48、为1的方向上的无穷远点, 且(P1P2,P3P4)=r. 求P4的坐标.,解：由题设知P1, P2, P3的坐标分别为(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0). 设,则显然,由,可得,从而P4的坐标为(r,1,0)., 3.1 交比与调合比,注：若要求P1, 或P2的坐标, 则需先据交比性质交换点的位置, 使得交换后第1,2位置为已知点, 再计算., 3.1 交比与调和比,一、点列中四点的交比,二、线束中四直线的交比,1、直线的交角,设a, b为线束S中取定的相异二直线.,在线束中任取一条不与a,b重合的直线u，,直线u的那一个角度，记作(a, b).,a,b,u,注：若a, b边的

49、顺序与逆时针方向一致，则 规定(a,b)为正值，反之则为负值。,S,则定义a, b的交角为不含, 3.1 交比与调和比,二、线束中四直线的交比,2、线束中三直线的单比,设a, b,c为线束S中的三直线. 则,a,b,u,叫做a, b,c三直线的单比， a, b叫基线，c 叫做分线。,c,注：如果直线c不在(a,b)中，则(a,b,c)0； 如果直线c在(a,b)中，则(a,b,c)0。,当c是(a,b)的角平分线时，有(a,b,c)= -1,这与u的选取相关。,定义：pi (i=1,2,3,4)是线束中的四直线，则, 3.1 交比与调和比,3、线束中四直线的交比,二、线束中四直线的交比,叫做,

50、的交比，其中,注：交比值与直线u的选择方法无关., 3.1 交比与调和比,二、线束中四直线的交比,定理4. 设线束S中四直线a,b,c,d被直线s 截于四点A,B,C,D. 则,证明：用,表示线段SA,SB,SC的长度，,向直线s所作的垂线SH的长度.,S,a,b,c,d,A,B,C,D,s,H,h,h表示从点S,则, 3.1 交比与调和比,S,a,b,c,d,A,B,C,D,s,H,h,在s上选择向右为正方向，u的选择如图：,u,则：,利用此公式代入交比定义：,推论1. 设Pi为点列l(P) 中四点, Pi与不在l上的定点S连线 依次为pi (i=1,2,3,4). 则, 3.1 交比与调和

51、比(续),注：此推论与定理4完全对偶；,由此可知，关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通 过对偶的方式相互移植、相互转化.,由定理4和推论, 立即可得下述重要结论：,定理5. 交比为射影不变量.（点交比与线交比）,，则称线偶,调和分离（共轭），也称,为第四调和线.,-1称为调和比。,调和比：, 3.1 交比与调和比,定理6：设p1, p2, p3, p4为线束S(p)中四直线，且p1p2，其齐次 坐标依次为a, b, a+1b, a+ 2b. 则：,定理7. 设线束S(p)中四直线pi的齐次坐标为a+ib(i=1,2,3,4). 则：,二、线束中四直线的交比,4. 交比的代数表示：, 3.1

52、 交比与调和比,二、线束中四直线的交比,5、直线交比的计算,(1). 由已知条件求交比.,方法一. 与点的交比计算完全对偶.,方法二. 以一条特殊直线截已知线束, 转化为点的交 比计算. 技巧是, 取合适直线, 使截点坐标简单, 易于计算.,(2). 由已知交比和其中三直线坐标, 求第四条直线.,与点的情况完全对偶。, 3.1 交比与调和比,二、线束中四直线的交比,例1：已知四直线,的方程顺次为,求证四直线共点，并求,的值。,证法一与点的交比计算完全对偶.,证法二以一条特殊直线截已知线束, 转化为点的交比计算., 3.1 交比与调和比,二、线束中四直线的交比,例2：求证：一角的两边与这个角的内

53、外角平分线调和共轭。,a,b,c,d,O,分析：寻找直线l，使得l与a,b,c,d的 交点调和共轭,证明：即求,作直线l与d平行，记直线d,l的,交点为 则,l,例3 证明：两直线a1x2+2h1xy+b1y2=0调和分离两直线a2x2+2h2xy+b2y2=0 a1b2+a2b1-2h1h2=0., 3.1 交比,证. 将已知直线方程分别写为,分解,韦达定理, 3.1 交比,(*), (*)代入化简,解. 设内外角平分线方程为,利用上题可得,例4. 求两直线ax2+2hxy+by2=0所成角的内外平分线方程.,所求方程为, 1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,一、调和性,定理1.12 完

54、全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离.,定理1.12 完全四线形的一对对顶被在此二对顶连线上的对顶三线形的二顶点调和分离.,如图, 经过三个对边点X,Y,Z各有一个调和直线组, 比如X,如图, 在三条对顶线x, y, z上各有一个调和点组, 比如x,此二定理说明：上述两图中各有三个调和元素组, 1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,一、调和性,证明定理.12,用综合法. 只要证明,以直线AB截此四直线，得,只要证明(AB, PZ)=1.,以点Y分别与上述等式两边的四点相连，据定理2.6可得,也就是,注意到A, B, P, Z四点互异，必有(AB, PZ)=1. 证毕.,

55、再以直线CD截此四直线，得, 1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,一、调和性,推论1 在完全四点形的对边三点形的每条边上, 有一个调和点组, 其中一对为对边点, 另一对为该边与第三组对边的交点.,推论1 通过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一个调和直线组, 其中一对为对顶线，另一对为该顶点与第三对对顶的连线.,比如经过顶点T, 有,此二推论说明：上述两图中又各有三个调和元素组,比如在边t上, 有, 1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,一、调和性,推论2 在完全四点形的每条边上有一个调和点组, 其中一对为顶点, 另一对中一个为对边点, 一个为该边与对边三点形的边的交点.,推论2 通过完

56、全四线形的每个顶点有一个调和直线组, 其中一对为边，另一对中, 一条为对顶线, 一条为该顶点与对顶三线形顶点的连线.,比如经过顶点ab, 有,此二推论说明：上述两图中又各有六个调和元素组,比如在边AB上, 有, 1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,一、调和性,二、应用,1、第四调和元素的作图,例1 已知直线l上相异三点P1, P2, P3. 求作第四调和点P4.,分析：利用推论1, 构造一个完全四点形, 以l为其对边三点形的一边, P1, P2是对边点, 使第三对对边中, 一条过P3, 则另一条与l的交点即为P4.,解. 作法: (1). 在l外任取一点A, 连AP1, AP2.,(2).

57、 过P3作直线分别交AP1, AP2于B, D.,(3). 连P1D, P2B交于C.,(4). 连AC交l于P4为所求.,证明: (略)据推论1(或2).,注1,上述实际上也是利用推论2作图.,注2,本例引申, 1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,一、调和性,二、应用,1、第四调和元素的作图,例1 已知直线l上相异三点P1, P2, P3. 求作第四调和点P4.,注2,本例引申,1、给定三点如图，如何作图?,2、给定共点三直线如图，求作第四调和直线.,3、给定共点三直线如图，求作第四调和直线., 1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,一、调和性,二、应用,1、第四调和元素的作图,例2

58、证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分上下底.,2、几何证明题,证明：如图, ABCD为梯形, AD/BC, E, F分别为两腰和对角线的交点. EF交AD, BC于P,Q. 只要证明P, Q分别是AD, BC的中点.,考察完全四点形EAFD. 设ADBC=G. 由推论1, 有(BC, QG)=1, 再据定理1.8, Q为BC的中点.,据推论2, (AD, PG)=1, 所以P为AD的中点.,本例引申,两个作图题：,1、已知一线段的中点, 求作该线段的任一平行线.,2、已知一线段及其一条平行线, 求作该线段的中点., 1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,一、调和性,二、应用,1、第四调和元素的作图,例3 设A, B, C为完全四线形的三个共线的顶点, 点偶A, B与M, C调和共轭. 求证：通过A, B的对顶线的交点在M与C的对顶