《经济数学基础》第二篇第三章讲义-积分的应用

1、经济数学基础微积分,E-MAiL : ,第二篇 第三章 积分应用,积分在经济分析中的应用、常微分方程,本章难点： 常微分方程,本章重点：,一、积分的几何应用,1、求曲线的方程,首先，回顾“导数”的几何 意义：,“切线方程”为：,这就是已知曲线方程，求切线方程的问题。,我们知道，积分是求导数的逆运算， 所以我们可以反过来计算，即：,已知曲线的切线斜率：,可以用积分来求曲线的方程：,这就是求已知切线斜率的曲线方程 的问题。（具体例子见P239 例1）,例1：,解：,于是所求的曲线方程为：,回顾“积分”的几何意义：,2、用定积分求平面图形的面积,因此，平面图形的几何面积可以用 定积分来表示。,曲边梯

2、形的面积。,例2：,解：,先画出所围平面的草图,y,x,O,P241,例2：,解：,P241,例3：,解：,P243,例4：,解：,x,P244,例5：,分析：,-2,x,解：,定理3.1的两个重要推论：,y,x,O,a,-a,y,x,O,a,-a,对称性,P14,P15,例3：,解：,由定理3.1的推论1，有,(P248练习),由定理3.1的推论1，有,由定理3.1的推论1，有,例4：不用计算，比较下列定积分的大小,解：,下面讨论,例6：,解：,求平图形面积的一般步骤：,(1) 画出所围平面图形的草图；,(2) 求出各有关曲线的交点及边界点， 以确定积分上下限；,(3) 利用定积分的几何意义

3、（即围成平面 图形的各函数式），确定所求面积的 被积函数，并计算定积分,练习：,解：,先画出草图，如下,2,1,由面积公式，有：,练习：,解：,先画出草图，如下,1,(选讲),由面积公式,第二节 积分在经济分析中的应用,回顾：导数在经济分析中的应用,已知经济函数，可以用导数来求边际经济函数。,已知边际经济函数，可以用积分来求 原经济函数。,在这里，我们反过来：,总结如下：, 需求函数, 成本函数, 收入函数, 利润函数,毛利,纯利,一般地，我们有统一的公式,由NL公式，也可求出经济函数从a 到b的变动值（或称增量）。即,例7：,解：,例6：,解：,三、 微分方程,（一） 微分方程的有关概念,（

4、1）方程含有未知数的等式叫做方程。,（2）函数方程含有未知函数的等式叫做 函数方程。,（3.1）常微分方程微分方程中的未知函 数是一元函数时，称为常微分方程,（3.2）偏微分方程微分方程中的未知函 数是多元函数时，称为偏微分方程,（3）微分方程含有未知函数的导数的函 数方程叫做微分方程。,1.微分方程的阶未知函数的导数的最高 阶数称为方程的阶。,2.线性微分方程未知函数及其各阶导数 都是一次的微分方程。,本课程仅讨论常微分方程。,是_阶常微分方程,二,例9：,解：,我们研究微分方程，就是为了求出它的解。,微分方程的求解过程就是确定方程中 未知函数的过程。,1、微分方程的解一个满足方程的函数，

5、称为一个解。也称为特解。,2、微分方程的通解含有任意常数c的解， 而且常数的个数等于方程的阶。,注：微分方程的解可以是由关系式g(x,y)=0 取定的隐函数。,（二）一阶可分离变量的微分方程,形如：,称为一阶可分离变量的微分方程。,解的步骤：,第一步，改写形式为：,第二步，分离变量为：,第三步，两边求不定积分，得到：,第四步，写出函数的表达式：,这就是微分方程的通解。（隐函数的表示）,例10：,解：,改写为：,分离变量为：,两边求不定积分，得到：,写出函数表达式，为：,例11：,解：,将方程写为：,求初值问题，实际上就是求特解,引进新变量：,则有：,两边求不定积分，得到：,将变量u还原，得到：,代入初始条件y(1)=0，得到：,故得初值问题的解为：,对于像例11这类一阶微分方程，我们 可以经过变量替换可以化为可分离变量的 微分方程。,例12：,解：,将方程写为：,引进新变量：,则有：,两边求不定积分，得到：,将变量u还原，得到：,（三）一阶线性微分方程,形如：,例如：例题11,两种方法求解：,第一种：经过变量替换可以化为可分离变量 的微分方程，如例题11;,第二种：记住公式,【例1