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文档简介

1、第二节 留数定理,4.2.1 留数定义及留数基本定理,.,级数为,在 内取分段光滑正向简单曲线C ,0,0,曲线C包含z0在其内部. 考虑积分,即,定义 设z0是f (z)的孤立奇点, C是在z0的充分,小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向简单曲线，,积分,称为f (z)在z0点的留数(Residue), 记做,函数 f (z)在孤立奇点z0点的留数即是其在点 z0,的去心领域内Laurent级数-1次幂项的系数.,留数定理 设函数f (z)在区域D内除有限,包含所有奇点在其内部的分段光滑正向简单,闭曲线, 则,根据留数定理, 函数在闭曲线f (z)上的积分可,归结为函数在曲线内部各孤立奇点

2、处留数的计算,问题.,中心, 作半径充分小的正向圆周,使得它们中的每个,都在其余的外部, 而都在C的内部.,根据 ,再由留数的定义, 即得,第三节 留数的计算,成Laurent级数, 求,留数的计算方法,证明由于z0是 f (z)的1阶极点，所以在z0的,某个去心邻域内的Laurent级数展开式为,故,所以,在孤立奇点处的留数.,由于,z=0是g(z)的1阶极点，于是,易知z=1和z=2都是 f (z)的1阶极点，故,的1阶极点, 并且,证明 由条件易知z0是f (z)的1阶极点. 于是,处解析，且,所以 是 f (z)的1阶极点，并且,显然 和 都在,证明 由于z0是 f (z)的m阶极点，

3、所以在z0的,某个去心邻域内的Laurent级数展开式为,那么,因此,+(含有 正幂的项),例3求,在z= -1处的留数.,解 显然z= -1是f (z)的n阶极点，所以,如果z0是f (z)的m阶极点，有时在,中取,nm来计算更为方便.,例4求 在z=0处的留数.,根据,可知, z=0是f (z)的3阶极点, 在,法则3中取n=5, 则,如果在法则3中取n=3, 那么计算就要麻烦得多.,的正向.,的1阶极点，并且都在C的内部. 所以,根据留数定理和法则2,显然 是函数,极点z=3在 的外部.,分别是f (z)的3阶和1阶极点, 都在 的内部. 而,是 的正向.,于是，根据留数基本定理,例7 求 在z=0处的留数，并求,其中C是 的正向.,解 易见z=0是函数f (z)的本性奇点，并且,小结,留数定理 留数的计算法则,Karl Weierstrass,(1815.10.31-1897.2.19),德国数学家. 曾在波恩大学学,习法律, 1838年转学数学. 后来成,为中学教师, 不仅教数学、物理, 还教写作和体育,在这期间刻苦进行数学研究. 1856年到柏林大学任,教, 1864年成为教授.,Weierstrass是将严格

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