中值定理的证明题

1、.第五讲中值定理的证明技巧一、考试要求1.理解和应用封闭部分中连续函数的特性(最大值、最小值定理、边界性定理、中间值定理)。2.理解为拉乌尔定理，拉格朗日中值定理(泰勒定理)，并使用柯西中值定理。把握这三个定理的简单应用(经济)。3，理解有限整数中值定理。二、内容摘要1，中间值定理(根存在定理)(1)介值定理在闭区间上连续的函数必须得到最大值M和最小值M之间的所有值。(2)零点定理如果F(x)在a，b中连续且f (a) f (b) 0，则至少有c(a，b)，因此f(c)=02、整理角色如果函数满足以下条件：(1)上演(2)可指导包含(3)必须存在。3，拉格朗日中值定理如果函数满足以下条件：(1

2、)上演(2)可指导包含必须存在。4，柯西平均值定理函数满足：(1)上演(2)可指导包含(3)至少有一件事5，泰勒公式如果包含函数的一个开放区间有阶导数，包含时可表示为的一阶多项式和剩余项的和，即其中(和之间)。当需要使用泰勒公式时，必须知道三点。1.展开的基准点2.展开的步骤数其馀项目的形式。其中，其余形式一般在求极限时使用佩亚诺剩余的泰勒公式，在证明不等式时使用拉格朗日剩余的泰勒公式。基准点和阶数由特定问题决定。6，积分中值定理如果F(x)在a，b中连续，则至少存在ca，bF(x)dx=f(c)(b-a)三、典型问题类型和实例问题问题类型1，与连续函数相关的问题(创建或方程f(x)=0证明根

3、存在)方法：大部分由中值定理f(x)满足：a，b中连续；F(a)f(b)0。想法：1)直接法2)间接或辅助函数方法例1，a，b上连续设置，证明存在，所以例2，通过证明a，b的连续、单调的增长和存在例3，a，b中连续安装，证明存在。例4，在a，b中连续安装以证明存在示例5，f(x)在0，1中连续，f(x)1。证明：(0，1)内只有一个实际根。示例6，建立实数满足关系，证明方程，至少有一个实际根。范例7，(0234，6点)证明一个事实，即函数f(x)，g(x)在a，b中连续，g(x)0在闭合区间中使用连续函数的性质问题类型2，验证满足平均值定理。例8，0，2中满足拉格朗日中值定理和满足定理的验证函

4、数问题3，通过证明存在(n=1，2，）方法：想法：示例9，可以在a，b中设置，并且一个或多个制作例10，0，3中连续(0，3)引导，证明有一种方法例11，0，2上连续的，(0，2)内有二阶导数，证明存在问题类型4，证明存在方法：想法：(1)使用滚动清理。1)原始函数方法：步骤：示例12，可以在a，b中连续，在(a，b)中推导，并验证存在示例13，(0134)将f(x)设置为在0，1中连续，在(0，1)中导出证明：(0，1)至少有一些x。示例14，f(x)在a，b中是连续的，可以在(a，b)中推导，可以将f(a)f(b)0，f(a) g(x)例15，f(x)在0，1中连续，(0，1)内可以进行一

5、阶导数。考试证明：制作。证据命令，F(0)=F(1)=0。又来了所以，所以，也就是说制定规则，就能制定。也就是说。2)常微分方程方法：适用：步骤：例16，可以在a，b中连续，在(a，b)中诱导，证明存在示例17，可以将f(x)从0，1连续设置为(0，1)，在(0，1)内推导，f(0)=0，f(1)=1，证明：对于所有错误(2)直接使用拉格朗日或柯西中值定理。例18，设置在上演中，可以在里面诱导，验证存在，所以例19，设置在上演中，可以诱导在里面，验证存在，所以例20，安装在上演中，可以在里面诱导，验证存在，所以例21，设置在上演中，可以在里面诱导，验证存在，所以问题类型5，包含(或更高的派生)

6、参数问题方法：例22，如果f(x)在0，1中是辅助推导且f(0)=f(1)=0，则至少存在一个证明示例23，(012，8分钟)在上面有二阶连续微分，并将f(0)=0用f(x)的拉氏余数的一阶麦克劳林公式。(2)证明以上至少有一个原因。示例24，证明f(x)设置-1，1具有三阶连续微分，f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0，3360例25，f(x)在-a，a中有三阶连续微分，证明F (0)=0，在-a，a中有一些x证明书=、我知道。根据泰勒公式其中，是0到x之间，所以其中m，m是-a，a到-a，a的最大、最小值。所以存在，所以，也就是说问题类型6，双参数问题方法：示例26，可以在a，b中连续推导，在(a，b)中推导，验证存在示例27，(051，12点)已知函数可以在0，1中连续，在(0，1)内推导证明：(1)存在，所