第一章 复数与复变函数

1、复变函数 与积分变换,主讲：王兴波教授 二零一零年九月,佛科院多媒体课件,2020/7/20,2,为什么要学这门课？,理解电学、磁学、电磁学理论的需要。 记得中学电学理论里面的安培环流定律？麦克斯韦电磁场方程吗？他们都是基于复变函数的形式推导出来的。 研究电学、磁学、电磁学理论的需要。 将来我们要进一步学习、深造，就需要相应的数学知识。对于电子专业的学生，本课程就是基础之一。 深层次科学技术理论的基础。 人类对太空的探测已经不是新鲜事，但是很多新鲜的东西要借助各种数学理论来研究。,2020/7/20,3,学习本课程的基础,n 高等数学、解析几何、三角函数、初等代数是学习本课程的基础。 n高等数

2、学主要研究对象是以实数为变量的函数。而复变函数主要是研究以复数为变量的函数。 n复变函数中的许多概念、理论和方法都是实变函数在复数领域内的推广和发展，因此我们在学习过程中要注意比较两者的共同点和不同点。 n复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用。,2020/7/20,4,参考用书,复变函数与积分变换, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社, 2003.6,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解, 华中科大, 高等教育出版社,复变函数, 西安交通大学高等数学教研室, 高等教育出版社, 1996.5,复变函数论第三版，钟玉泉，高等教育出版社,2020/7/20,5,目 录,第

3、二章 解析函数,第三章 复变函数的积分,第四章 解析函数的级数表示,第五章 留数及其应用,第六章 傅立叶变换,第七章 拉普拉斯变换,第一章 复数与复变函数,2020/7/20,6,第一章 复数与复变函数,内容提要： 复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广,2020/7/20,7,第一章 复数与复变函数,1.1 复数 1.2 复数的三角表示 1.3 平面点集的一般概念 1.4 无穷大与复球面 1.5 复变函数 本

4、章小结 思考题,2020/7/20,8,第一节 复数,一、复数的基本概念,2020/7/20,9,二、复数的代数运算,1. 复数的和、差、积、商、模,和与差：,积：,商：,复数的运算满足交换律、结合律、分配律,模：,2020/7/20,10,2共扼复数及性质,重要性质：,复数的共扼性质在实际计算和证明中有广泛应用,2020/7/20,11,例1计算复数,解：,法一（商的公式）,法二（共轭性质）,应用共扼性质来计算显得简单，在后面计算 中要灵活运用共轭,2020/7/20,12,例2,解：,由题意得,例3,解：,2020/7/20,13,例4,证明：,证法二：,2020/7/20,14,第二节

5、复数的表示法,一、复平面,定义：,复数的模：,复数的幅角：,主幅角：,即：一复数的辐角Argz是多值的,2020/7/20,15,二、复数的表示法,1复数的向量表示法,因此,显然有不等式：,复数、复平面上点、向量之间一一对应,2020/7/20,16,2复数的三角表示法,利用直角坐标与极坐标的关系：,复数的三角表示式：,3复数的指数表示法,利用欧拉公式：,复数的指数表示式：,注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有无 穷多种选择，如果有两个三角表示式相等：,则可以推出：,2020/7/20,例1,解：,于是,主幅角值的确定：,练习,主辐角,解：,模,2020/7/20,例2,解：,为复数形

6、式的直线方程,定义：复数形式的一般方程为,若平面上曲线的一般方程为：,则定义,为复数形式的一般方程。,2020/7/20,20,例3,解：,参数方程为,由参数式得复数形式参数方程为,若平面上曲线的参数方程为：,则定义,定义：复数形式的参数方程,2020/7/20,21,例5,参数方程为,解：,例4,解：,直线的参数方程,2020/7/20,22,例4求下列方程所表示的曲线,解：,2020/7/20,23,三、复数的三角表示及指数表示作乘除法,即：,模,辐角,定理1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，幅角等于它们的幅角之和,说明：,例如：,2020/7/20,24,定理2：两复数的商的模等于它们

7、模的商，幅角等于被除数与除数的幅角之差,证明：,即：,模,辐角,2020/7/20,25,例5用三角表示式和指数表示式计算下列复数,解：,2020/7/20,26,四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式,1乘方公式,这公式称棣摩弗公式,2开方公式,2020/7/20,27,例7计算下列各题：,解：,即：,2020/7/20,28,例8,解：,其解为,作业,2020/7/20,29,第三节 平面点集的一般概念,研究复变函数问题，和实函数一样，每个复变量都有自己的变化范围，复变量的变化范围同于二元函数的变化范围称为区域,一、开集与闭集,1.邻域：,2.内点：,3.开集：,4.余集：,2020/7/20,

8、30,5边界：,6孤立点：,7有界集与无界集：,2020/7/20,31,二、区域,1连通：,设G中任何两点都可以用完全属于G的折线连接起来，则称G是 连通的,2区域：,连通的开集称为区域，记为D,3闭区域：,区域D与它的边界一起构成闭区域，,4圆环域：,5.角形域：,2020/7/20,32,例1试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域：,解：,1光滑曲线,光滑曲线,由若干段光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线,三、平面曲线,2020/7/20,33,2简单闭曲线,则称这条曲线为简单闭曲线,简单闭曲线,非简单闭曲线,2020/7/20,34,3单连通区域与多连通区域,设D为一

9、平面区域，若在D中任作一条简单闭曲线，而曲线内部总属于D，,则称D为单连通区域，否则是多连通区域,单连通区域的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可经过连续 变形而缩成一点,单连通区域,多连通区域,洞,2020/7/20,35,第四节 无穷大与复球面,一、无穷远点,为了讨论问题方便，我们不但要讨论有限复数，还要讨论一个特殊的复数,-无穷大，,它是由下式定义的：,加法：,减法：,乘法：,除法：,而实部、虚部和辐角均没有意义，,2020/7/20,36,这个点称为无穷远点，,复平面加上无穷远点称为扩充复平面，,扩充复平面上的每一条直线都通过无穷远点.,（3）无穷远点的邻域：,复球面定义：球面上

10、的每一点都有唯一的复数与之对应，这样的球面称为复球面；,二、复球面,2020/7/20,37,第五节 复变函数,一、复变函数的概念,按照这一法则，,1定义：,设,设是一个复数的集合，,如果有一个确定的法则存在，,对于集合众的每一个复数,都有一个或几个复数,与之对应，,那么称,是,的复变函数，,记作：,2020/7/20,38,例1,解：,2复变函数与二元函数的关系,2020/7/20,39,3映射的概念,在高等数学中，常把函数用几何图形来表示，对于复变函数，,由于它反映了两对变量之间的对应关系，因而无法用同一个平面的,几何图形表示出来，必须把它看成两个复平面上点集之间对应关系。,2020/7/20,40,例3,2020/7/20,41,例4,解：,2020/7/20,42,二、复变函数的极限和连续,1复变函数的极限,定义1,2020/7/20,43,定理1设函数,证明：,说明：,这个定理是将复变函数,的极限问题转化为求两个二元函数,的极限问题.,2020/7/20,44,定理2如果,例1,证明：,2020/7/20,45,2复变函